一．选择题（共6小题）
1．（2018?新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（ ） A．﹣50
B．0
C．2
D．50
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C
2．（2018?新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：的左顶点，点P在过A且斜率为的离心率为（ ） A． B． C． D．
的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C
3．（2018?上海）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转A．
B．
C．
后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（ ） D．0
，
4．（2018?浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为向量满足A．
﹣4?+3=0，则|﹣|的最小值是（ ）
+1
C．2
D．2﹣
﹣1 B．
5．（2018?浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（ ）
A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1 6．（2018?浙江）函数y=2xsin2x的图象可能是（ ）
||
A． B． C．
D．
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右焦点
7．（2018?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线F（c，0）到一条渐近线的距离为
c，则其离心率的值为 ．
8．（2018?江苏）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为 ． 9．（2018?天津）已知a＞0，函数f（x）=
恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是 ． 10．（2018?北京）已知椭圆M：
+
=1（a＞b＞0），双曲线N：
﹣
=1．若双曲线
．若关于x的方程f（x）=ax
N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 ；双曲线N的离心率为 ．
11．（2018?上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则
+
的最大值为 ．
12．（2018?上海）已知常数a＞0，函数f（x）=2p+q=36pq，则a= ．
13．（2018?浙江）已知λ∈R，函数f（x）=
的图象经过点P（p，），Q（q，）．若
，当λ=2时，不等式f（x）＜
0的解集是 ．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ． 14．（2018?浙江）已知点P（0，1），椭圆
+y2=m（m＞1）上两点A，B满足
=2
，
则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大．
15．（2018?浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一
共可以组成 个没有重复数字的四位数．（用数字作答） 三．解答题（共2小题）
16．（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x． （1）若f（x）为偶函数，求a的值； （2）若f（
）=
+1，求方程f（x）=1﹣
在区间[﹣π，π]上的解．
17．（2018?浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=
，求cosβ的值．
2018年高考数学压轴题小题
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2018?新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（ ） A．﹣50
B．0
C．2
D．50
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x）， ∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，
则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）， 即函数f（x）是周期为4的周期函数， ∵f（1）=2，
∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2， f（4）=f（0）=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50） =f（1）+f（2）=2+0=2， 故选：C．
2．（2018?新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：的左顶点，点P在过A且斜率为
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C
的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0）， 直线AP的方程为：y=
（x+a），
c），
由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，代入直线AP：
c=
（2c+a），整理得：a=4c，
∴题意的离心率e==． 故选：D．
3．（2018?上海）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转A．
B．
C．
后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（ ） D．0
个
【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转单位后与下一个点会重合．
我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=
，
，0时，此时得到的圆心角为
，
，0，
然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=案就选：B． 故选：B．
4．（2018?浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为向量满足A．
﹣4?+3=0，则|﹣|的最小值是（ ）
+1
C．2
D．2﹣
，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答
，
﹣1 B．
【解答】解：由∴（
）⊥（
﹣4?+3=0，得）， ，
，
如图，不妨设
则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，
又非零向量与的夹角为不妨以y=即故选：A．
，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．
为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线
．
的距离减1．
5．（2018?浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（ ）
A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1
【解答】解：∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心． 过E作EF∥BC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N， 连接SN，
取AB中点M，连接SM，OM，OE，则EN=OM， 则θ1=∠SEN，θ2=∠SEO，θ3=∠SMO． 显然，θ1，θ2，θ3均为锐角． ∵tanθ1=∴θ1≥θ3， 又sinθ3=∴θ3≥θ2． 故选：D．
6．（2018?浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（ ）
，sinθ2=
，SE≥SM，
=
，tanθ3=
，SN≥SO，
A． B． C．
D．
【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数， 故排除A和B． 当x=
时，函数的值也为0，
故排除C． 故选：D．
二．填空题（共9小题）
7．（2018?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线F（c，0）到一条渐近线的距离为【解答】解：双曲线离为
c，
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右焦点
c，则其离心率的值为 2 ．
=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距
可得：=b=，
可得，即c=2a，
．
所以双曲线的离心率为：e=故答案为：2．
8．（2018?江苏）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为 ﹣3 ．
【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点， ∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞）， ①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去； ②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞， ∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增， 又f（x）只有一个零点， ∴f（）=﹣
+1=0，解得a=3，
f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]， f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），
f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减， f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，
∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1， ∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为： f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．
9．（2018?天津）已知a＞0，函数f（x）=
恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是 （4，8） ． 【解答】解：当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax， 得x2+ax+a=0， 得a（x+1）=﹣x2， 得a=﹣
，
，则g′（x）=﹣
=﹣
，
．若关于x的方程f（x）=ax
设g（x）=﹣
由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，
由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4， 当x＞0时，由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax， 得x2﹣ax+2a=0，
得a（x﹣2）=x2，当x=2时，方程不成立， 当x≠2时，a=设h（x）=
，则h′（x）==，
由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，
由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，
要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解， 则由图象知4＜a＜8， 故答案为：（4，8）
10．（2018?北京）已知椭圆M：
+
=1（a＞b＞0），双曲线N：
﹣
=1．若双曲线
N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 【解答】解：椭圆M：
；双曲线N的离心率为 2 ． +
=1（a＞b＞0），双曲线N：
﹣
=1．若双曲线N的两条
渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，可得
，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），
），可得：
，
解得e=．
，即
，
同时，双曲线的渐近线的斜率为可得：
，即
，
可得双曲线的离心率为e=故答案为：
；2．
=2．
11．（2018?上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则
+
的最大值为 + ．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， =（x1，y1），
=（x2，y2），
由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=， 可得A，B两点在圆x2+y2=1上， 且
?
=1×1×cos∠AOB=，
即有∠AOB=60°，
即三角形OAB为等边三角形， AB=1，
+
的几何意义为点A，B两点
到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，
显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行， 可设AB：x+y+t=0，（t＞0）， 由圆心O到直线AB的距离d=可得2
=1，解得t=
，
，
即有两平行线的距离为即
故答案为：
++
．
=，
+
，
的最大值为
12．（2018?上海）已知常数a＞0，函数f（x）=2p+q=36pq，则a= 6 ． 【解答】解：函数f（x）=
的图象经过点P（p，），Q（q，）．若
的图象经过点P（p，），Q（q，）．
则：，
整理得：
解得：2p+q=a2pq， 由于：2pq=36pq，
+
=1，
所以：a2=36， 由于a＞0， 故：a=6． 故答案为：6
13．（2018?浙江）已知λ∈R，函数f（x）=
，当λ=2时，不等式f（x）＜
0的解集是 {x|1＜x＜4} ．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是 （1，3]∪（4，+∞） ．
【解答】解：当λ=2时函数f（x）=
，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解
集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}． 函数f（x）恰有2个零点， 函数f（x）=
的草图如图：
函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4． 故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）． 14．（2018?浙江）已知点P（0，1），椭圆则当m= 5 时，点B横坐标的绝对值最大． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由P（0，1），
=2
，
+y2=m（m＞1）上两点A，B满足
=2
，
可得﹣x1=2x2，1﹣y1=2（y2﹣1）， 即有x1=﹣2x2，y1+2y2=3， 又x12+4y12=4m， 即为x22+y12=m，① x22+4y22=4m，②
①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m， 可得y1﹣2y2=﹣m， 解得y1=
，y2=
，
则m=x22+（即有x22=m﹣（
）2，
）2=
=
，
即有m=5时，x22有最大值4， 即点B横坐标的绝对值最大． 故答案为：5．
15．（2018?浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 1260 个没有重复数字的四位数．（用数字作答） 【解答】解：从1，3，5，7，9中任取2个数字有从2，4，6，0中任取2个数字不含0时，有可以组成
种方法，
种方法，
=720个没有重复数字的四位数；
=540，
含有0时，0不能在千位位置，其它任意排列，共有故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数． 故答案为：1260． 三．解答题（共2小题）
16．（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x． （1）若f（x）为偶函数，求a的值； （2）若f（
）=
+1，求方程f（x）=1﹣
在区间[﹣π，π]上的解．
【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x， ∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x， ∵f（x）为偶函数， ∴f（﹣x）=f（x），
∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x， ∴2asin2x=0， ∴a=0； （2）∵f（∴asin∴a=
）=
+1， ）=a+1=
+1，
+2cos2（，
∴f（x）=
sin2x+2cos2x=， ）+1=1﹣）=﹣
，
sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，
∵f（x）=1﹣∴2sin（2x+∴sin（2x+∴2x+∴x=﹣
=﹣
，
+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，
π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，
∵x∈[﹣π，π]， ∴x=
或x=
或x=﹣
或x=﹣
17．（2018?浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=
，求cosβ的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）． ∴x=﹣，y=
，r=|OP|=
； ，r=|OP|=1， ， ，
=
，
， ．
，
∴sin（α+π）=﹣sinα=（Ⅱ）由x=﹣，y=得
，
又由sin（α+β）=得
则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=∴cosβ的值为
或
．
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