一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，B={2，3}，则A∩B=（ ） A．{0，1，2，3} B．{2} C．{﹣1，0，1，2} D．∅ 2．（5分）“x＞0”是“x+1＞0”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
）=，则tanα的值为（ ） D．﹣3
3．（5分）已知tan（A．
B． C．3
4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为（ ） A．4
B．5
C．6
D．7
5．（5分）定义在R上的函数f（x）=﹣x3+m与函数g（x）=f（x）﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范畴是（ ） A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，﹣3]
C．[﹣3，+∞）
D．[0，+∞）
6．（5分）函数y=xln|x|的大致图象是（ ）
A． B． C．
D．
7．（5分）设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．α∥β，a⊂α，则a∥β
B．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b
C．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β D．a∥b，b⊂α，则a∥α
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8．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=的图象（ ） A．关于点（C．关于直线x=
，0）对称 B．关于点（对称 D．关于直线x=
处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）
，0）对称 对称
，它的顶点和底面的圆周都在
9．（5分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A．4π B．36π C．48π D．24π 10．（5分）已知函数f（x）=x（2x畴是（ ） A．（
） B．（
） C．（
），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范
） D．（）
11．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ） A．
B．
C．
D．
12．（5分）函数f（x）=x﹣ln（x+2）+ex﹣a+4ea﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（ ） A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2
D．﹣ln2﹣1
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）已知sinα+cosα=，则sinαcosα= ． 14．（5分）设函数f（x）=
，若f（a）=9，则a的值 ．
15．（5分）如图，CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A处时测得点D的仰角为30°，行驶300m后到达B处，现在测得点C在点B的正北方向上，且测得点D的仰角为45°，则此山的高CD= m．
16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透亮的长方体容器中装有部分液体，假如任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范畴是 ．
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三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为（1）求a的值；
（2）求f（x）≥0使成立的x的集合． 18．（12分）设f（x）=aex﹣cosx，其中a∈R．
（1）求证：曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点； （2）若函数f（x）在（0，
）上存在极值，求实数a的取值范畴．
．
19．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA=2sin（A+B），它的面积S=（1）求sinB的值；
（2）若D是BC边上的一点，cos
，求
的值．
c2．
20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=
，侧面SAD⊥底面ABCD．
（1）求证：平面SBD⊥平面SAD；
（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为21．（12分）已知函数f（x）=
﹣ax+alnx．
，求侧面△SAB的面积．
（Ⅰ）当a＜0时，论f（x）的单调性； （Ⅱ）当a=1时．若方程f（x）=x1＜x2．证明x1＜
．
+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且
请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为极坐标方程为ρ=4acosθ（a＞0）． （1）设t为参数，若y=﹣2
，求直线l参数方程；
），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，
=3，曲线C的
（2）已知直线l与曲线C交于P，Q，设M（0，
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求实数a的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|． （1）若a=2，解不等式f（x）≤3；
（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，求实数a的取值范畴．
2020年四川省泸州市高考数学一诊试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，B={2，3}，则A∩B=（ ） A．{0，1，2，3} B．{2} C．{﹣1，0，1，2} D．∅
【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}={0，1，2}，B={2，3}， ∴A∩B={2}． 故选：B．
2．（5分）“x＞0”是“x+1＞0”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：“x+1＞0”⇔“x＞﹣1”， 故“x＞0”是“x+1＞0”的充分不必要条件， 故选：B．
3．（5分）已知tan（A．
B． C．3
）=，则tanα的值为（ ） D．﹣3
【解答】解：由tan（）=，得，
∴故选：A．
，解得tanα=．
4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条
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数为（ ） A．4
B．5
C．6
D．7
【解答】解：由右边的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， 直线CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD， 共有6条直线与直线BA1是异面直线， 故选：C．
5．（5分）定义在R上的函数f（x）=﹣x3+m与函数g（x）=f（x）﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范畴是（ ） A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，﹣3]
C．[﹣3，+∞）
D．[0，+∞）
【解答】解：f′（x）=﹣3x2≤0在[﹣1，1]恒成立，故f（x）在[﹣1，1]递减， 结合题意g（x）=﹣x3+m﹣kx在[﹣1，1]递减， 故g′（x）=﹣3x2﹣k≤0在[﹣1，1]恒成立， 故k≥﹣3x2在[﹣1，1]恒成立，故k≥0， 故选：D．
6．（5分）函数y=xln|x|的大致图象是（ ）
A． B． C．
D．
【解答】解：令f（x）=xln|x|，易知f（﹣x）=﹣xln|﹣x|=﹣xln|x|=﹣f（x），因此该函数是奇函数，排除选项B；
又x＞0时，f（x）=xlnx，容易判定，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除D选项； 令f（x）=0，得xlnx=0，因此x=1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，因此C选项满足题意． 故选：C．
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7．（5分）设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．α∥β，a⊂α，则a∥β
B．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b
C．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β D．a∥b，b⊂α，则a∥α 【解答】解：由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，知：
在A中，α∥β，a⊂α，则由直线与平面平行的判定定理得a∥β，故A正确；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；
在C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误； 在D中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故D错误．故选：A． 8．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=的图象（ ） A．关于点（C．关于直线x=
，0）对称 B．关于点（对称 D．关于直线x=
，0）对称 对称
处取得最大值，∴sin（
+φ）=1，
处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）
【解答】解：∵函数y=sin（2x+φ）在x=∴cos（
+φ）=0，∴函数y=cos（2x+φ）的图象关于点（，0）对称，
故选：A．
9．（5分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A．4π B．36π C．48π D．24π 【解答】解：设球的半径为R， 则∵圆锥的高h=5，底面圆的半径r=
，
，它的顶点和底面的圆周都在
∴R2=（R﹣h）2+r2，即R2=（R﹣5）2+5， 解得：R=3，
故该球的表面积S=4πR2=36π， 故选：B
10．（5分）已知函数f（x）=x（2x畴是（ ）
），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范
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A．（） B．（） C．（） D．（）
【解答】解：x＞0时，f（x）在（0，+∞）递增， 而f（﹣x）=f（x），f（x）是偶函数， 故f（x）在（﹣∞，0）递减， 若f（x﹣1）＞f（x），
则|x﹣1|＞|x|，即（x﹣1）2＞x2， 解得：x＜， 故选：A．
11．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ） A．
B．
C．
D．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体， 三棱锥的长宽高分别为：2，1，2，故体积为：， 半圆柱的底面半径为1，高为2，故体积为：π， 故组合体的体积V=+π， 故选：D
12．（5分）函数f（x）=x﹣ln（x+2）+ex﹣a+4ea﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（ ） A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2
D．﹣ln2﹣1
【解答】解：令f（x）=x﹣ln（x+2）+ex﹣a+4ea﹣x， 令g（x）=x﹣ln（x+2），g′（x）=1﹣
=
，
故g（x）=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数， 故当x=﹣1时，g（x）有最小值﹣1﹣0=﹣1， 而ex﹣a+4ea﹣x≥4，
（当且仅当ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln2时，等号成立）； 故f（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）； 故x=a+ln2=﹣1，
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即a=﹣1﹣ln2． 故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）已知sinα+cosα=，则sinαcosα= ﹣ ． 【解答】解：∵sinα+cosα=， ∴（sinα+cosα）2=， ∴1+2sinαcosα=， 解得sinαcosα=﹣， 故答案为：﹣．
14．（5分）设函数f（x）=
，若f（a）=9，则a的值 3 ．
【解答】解：若a＞2，由f（a）=9，得2a+1=9，得a=3， 若0＜a≤2，由f（a）=9，得log2a+4=9，得a=32，舍去． 综上a=3， 故答案为：3．
15．（5分）如图，CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A处时测得点D的仰角为30°，行驶300m后到达B处，现在测得点C在点B的正北方向上，且测得点D的仰角为45°，则此山的高CD= 150m．
【解答】解：设此山高h（m），由题意在点A处时测得点D的仰角为30°，得AC=
h，
在△ABC中，∠CBA=90°，测得点D的仰角为45°， ∴BC=h，AB=300．
依照勾股定理得，3h2=h2+90000， ∴h=150即CD=150
． m．
．
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故答案为：150
16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透亮的长方体容器中装有部分液体，假如任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范畴是 （，） ．
【解答】解：长方体ABCD﹣EFGH，若要使液面不为三角形， 则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC；
而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体， 液面的形状都不可能是三角形；
因此液体体积必须大于三棱柱G﹣EHD的体积，
同时小于长方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣=， 故答案为：（，）．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为（1）求a的值；
（2）求f（x）≥0使成立的x的集合． 【解答】解：（1）∵f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a==∴∴a=；
（2）由（1）知，f（x）=由f（x）≥0，得即∴
≥0，
，k∈Z． ，k∈Z．
]，k∈Z．
，
=， ，
．
∴f（x）≥0成立的x的集合为[
18．（12分）设f（x）=aex﹣cosx，其中a∈R．
（1）求证：曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点；
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（2）若函数f（x）在（0，）上存在极值，求实数a的取值范畴．
【解答】解：（1）设f（x）=aex﹣cosx，其中a∈R．可得f′（x）=aex+sinx，f′（0）=a，
f（0）=a﹣1，
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣（a﹣1）=ax，即a（x+1）﹣（y+1）=0，
切线恒过（﹣1，﹣1）点．
（2）由（1）可知：f′（x）=aex+sinx=0，函数f（x）在（0，说明方程有解， 可得a=令h（x）=h′（x）=当x∈（0，当x∈（
，，
，
，x∈（0，
），
）上存在极值，
）时，h′（x）＜0，函数是减函数， ）时，h′（x）＞0，函数是增函数，
函数的最小值为：=，函数的最大值为：x=0时的函数值，即：h（0）
=0．
因此实数a的取值范畴：[
，0）．
19．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA=2sin（A+B），它的面积S=（1）求sinB的值；
（2）若D是BC边上的一点，cos【解答】解：（1）∵sinA=2sin（A+B）， ∴sinA=2sinC，a=2c，
，求
的值．
c2．
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∴S=sinB•c•2c=故sinB=
；
c2，
（2）由（1）sinB=∴cosB=
，sin∠ADB=
，cos，
，
∴sin∠BAD =sin（B+∠ADB）
=sinBcos∠ADB+cosBsin∠ADB ==由得：
=×+，
=
，
，解得：BD=c， ×
故=3．
20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=
，侧面SAD⊥底面ABCD．
（1）求证：平面SBD⊥平面SAD；
（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为
，求侧面△SAB的面积．
，
【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，∠BCD=90°， 可得BD=
a，∠CBD=45°，∠ABD=45°，
=
a，
由余弦定理可得AD=则BD⊥AD，
由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD， 又BD⊂平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD；
（2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，
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由AD=SD=a，
a，
a，
在△SAD中，可得SA=2SDsin60°=△SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=由SH⊥平面BCD，可得 ×
a××a2=
，
解得a=1，
由BD⊥平面SAD，可得BD⊥SD， SB=又AB=2a，
在等腰三角形SBA中， 边SA上的高为
=
a， a=
a=
．
=
=2a，
则△SAB的面积为×SA×21．（12分）已知函数f（x）=
﹣ax+alnx．
（Ⅰ）当a＜0时，论f（x）的单调性； （Ⅱ）当a=1时．若方程f（x）=x1＜x2．证明x1＜
．
﹣ax+alnx（a＞0）的定义域为（0，+∞） +m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且
【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）=f′（x）=x﹣a+=
，（a＜0），△=a2﹣4a．
＜0，
＞0
当a＜0时，△＞0，f′（x）=0的根
x∈（0，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，x2）递减，（x2，+∞）上单调递增， （Ⅱ）证明：当a=1时，若方程f（x）=x2
⇔方程lnx﹣x﹣m=0（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2．
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+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，
令g（x）=lnx﹣x﹣m，定义域为（0，+∞），g′（x）=﹣1 令g′（x）＜0得x＞1，令g′（x）＞0得0＜x＜1
因此函数g（x）=lnx﹣x﹣m的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间（0，1）， 又lnx1﹣x1﹣m=lnx2﹣x2﹣m=0， 由题意可知lnx2﹣x2=m＜﹣2＜ln2﹣2，
又可知g（x）=lnx﹣x﹣m在（1，+∞）递减，故x2＞2， 令h（x）=g（x）﹣g（h（x）=g（x）﹣g（h′（x）=﹣
），（x＞2）， ）=）=﹣x+，
+3lnx﹣ln2（x＞2），
当x＞2时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，因此h（x）＜h（2）=2ln2﹣＜0． 因此当x2＞2 时，g（x2）﹣g（
）＜0，即g（x1）＜g（
），
因为g（x）在（0，1）上单调递增， 因此x1＜
，
请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为极坐标方程为ρ=4acosθ（a＞0）． （1）设t为参数，若y=﹣2
，求直线l参数方程；
），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，
=3，曲线C的
（2）已知直线l与曲线C交于P，Q，设M（0，求实数a的值． 【解答】解：（1）由
直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣∵y=﹣2
+t，∴x=
y+6=
=3，即ρcosθcos
﹣ρsinθsin=3，
y﹣6=0．
ρsinθ=3，化为直角坐标方程：x﹣t，
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∴直线l的参数方程为：（t为参数）．
（2）曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ，∴ρ2=4aρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4ax=0．
将（1）中的直线参数方程代x2+y2﹣4ax=0，并整理得：t2﹣2又△=12（1+a）2﹣4×12=12（a2+2a﹣3）＞0，解得：a＞1， 设P、Q对应参数分别为t1，t2，则t1+t2=2
（1+a），t1•t2=12，
（1+a）t+12=0，
由t的几何意义得|PQ|2=|t1﹣t2|2=（t1+t2）2﹣4t1•t2=12（1+a）2﹣4×12， |MP|•|MQ|=|t1|•|t2|=|t1t2|=12， 因此12（1+a）2﹣4×12=12，解得：a=∴实数a的值
﹣1．
﹣1，
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|． （1）若a=2，解不等式f（x）≤3；
（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，求实数a的取值范畴．
【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3， 可得
或
或
，
解得：﹣≤x≤；
故不等式的解集是[﹣，]；
（2）不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立， 即|3x﹣a|﹣|3x+6|≤1﹣a， 由绝对值不等式的性质可得：
||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|， 即有f（x）的最大值为|a+6|， ∴
或
，
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解得：a≥﹣．
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