一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，2，3}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，2，3}
B．{2，3} C．{0，2，3}
D．{3}
2．（5分）命题“∀x∈R，ex＞x”的否定是（ ） A．∃x∈R，ex＜x
B．∀x∈R，ex＜x C．∀x∈R，ex≤
x D．∃x∈R，ex≤x
3．（5分）设a＝lnπ，b＝ln，c＝（），则下列关系正确的是（ ） A．a＞b＞c
B．c＞b＞a
C．a＞c＞b
D．c＞a＞b
4．（5分）已知函数f（x）＝（ ） A．
，则函数f（x）的最小正周期为
B．
C．π
的图象大致为（ ）
D．2π
5．（5分）函数y＝
A．
B．
C．
D．
6．（5分）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（ ） A．充分而没必要要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也没必要要条件
7．（5分）实数a，b知足2a＝5b＝10，则下列关系正确的是（ ） A．
＝2
B．
＝1
C．
＝2
D．
8．（5分）在△ABC中，∠ABC＝，AB＝3，BC＝4，将△ABC绕AC所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（ ） A．
π
B．
π
C．
π
D．
π
9．（5分）如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） A．4
B．8
C．16
D．20
10．（5分）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的一个锐角为α，且小正方形与大正方形面积之比为9：25，则sin2α的值为（ ） A．
11．（5分）已知函数
B．
C．
D．
的部份图象如图所
示，将函数y＝（fx）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度，取得的函数图象关于直线x＝
对称，则θ的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣+（a﹣1）x+a（a＞0）的值域与函数
f（f（x））的值域相同，则a的取值范围为（ ） A．（0，1]
B．（1，+∞）
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）已知函数f（x）＝log2（2x﹣a），若f（2）＝0，则a＝ ． 14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边别离为a，b，c，若asinA＝csinC+（a﹣b）sinB，则角C的大小为 ． 15．（5分）已知函数（fx）＝
，则（fx+1）﹣9≤0的解集为 ．
16．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有极点都在同一球面上，底面ABC是正三角形且和球心O在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为表面积等于 ．
三、解答题：共70分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.第17～21题为必考题，每一个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生按照要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边别离是a，b，c，已知a＝6，
．
（1）若b＝5，求sinC的值； （2）△ABC的面积为
，求b+c的值．
+cosx．
，则球O的
18．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间[0，π]上是增函数，求实数a的取值范围．
19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在单位圆O上，∠xOA＝α，且（Ⅰ）若
，求x1的值；
．
（Ⅱ）若∠AOB＝
，求y＝x12+y22的取值范围．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且∠BCD＝
，BC⊥PD，平面PBC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：PC＝PD；
（Ⅱ）若底面ABCD是边长为2的菱形，四棱锥P﹣ABCD的体积为，求点B到平面PCD的距离． 21．（12分）已知函数
．
（1）若f'（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）＝f'（x）﹣x﹣alnx的单调性； （2）若
（e是自然对数的底数），求证：f（x）＞0．
(二)选做题[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）
22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为相交于A，B两点．
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （2）若|PA||PB|＝|AB|2，求a的值． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知概念在R上的函数f（x）＝|x﹣m|+|x|，m∈N*，若存在实数x使f（x）＜2成立．
（1）求实数m的值；
（2）若a＞1，b＞1，f（a）+f（b）＝4，求证：
．
（t为参数），直线l与曲线C
2021年四川省泸州市高考数学一诊试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，2，3}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝（ ） A．{﹣1，0，2，3}
B．{2，3}
C．{0，2，3}
D．{3}
【分析】先别离求出集合A，B，由此能求出A∩B． 【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，2，3}， B＝{y|y＝2x}＝{y|y＞0}， ∴A∩B＝{2，3}． 故选：B．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集概念等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）命题“∀x∈R，ex＞x”的否定是（ ） A．∃x∈R，ex＜x B．∀x∈R，ex＜x
C．∀x∈R，ex≤x D．∃x∈R，ex≤x
【分析】直接利用全称命题是不是定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，e＞x”的否定是：∃x∈R，ex≤x． 故选：D．
【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，大体知识的考查．
3．（5分）设a＝lnπ，b＝ln，c＝（），则下列关系正确的是（ ） A．a＞b＞c
B．c＞b＞a
C．a＞c＞b
D．c＞a＞b
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：a＝lnπ＞1，b＝ln＜0，c＝（）∈（0，1）． ∴a＞c＞b． 故选：C．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）已知函数f（x）＝A．
，则函数f（x）的最小正周期为（ ） C．π
D．2π
B．
【分析】切化弦，结合二倍角公式，利用周期公式可得答案；
【解答】解：函数＝＝＝．
概念域知足：tan2x≠1，cos2x≠0，cosx≠0 可得∴周期T＝故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，化简能力，比较基础． 5．（5分）函数y＝
的图象大致为（ ）
且．
A．
B．
C．
D．
【分析】利用函数的奇偶性，对称性和特殊点的特殊值别离进行判断即可． 【解答】解：因为
关于原点对称，所以排除A． 当x＝1时，y＞0，所以排除C． 因为
1，所以排除D． 故选：B．
【点评】本题主要考查函数图象的识别，要充分利用函数的性质去判断． 6．（5分）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”
，所以当x→+∞时，y→，所以函数为奇函数，图象
的（ ）
A．充分而没必要要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件
D．既不充分也没必要要条件
【分析】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可． 【解答】解：l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”可能“l∥α”也可能l⊂α，
反之，“l∥α”必然有“l⊥m”，
所以l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件． 故选：B．
【点评】本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，大体知识的考查．
7．（5分）实数a，b知足2a＝5b＝10，则下列关系正确的是（ ） A．
＝2
B．
＝1
C．
＝2
D．
【分析】将指数式化为对数式，再倒过来相加即得． 【解答】解：∵2a＝5b＝10， ∴a＝log2 10，b＝log5 10， ∴＝lg2，＝lg 5
∴+＝lg2+lg5＝lg（2×5）＝1， 故选：B．
【点评】本题考查了对数的运算性质．属基础题． 8．（5分）在△ABC中，∠ABC＝
，AB＝3，BC＝4，将△ABC绕AC所在的
直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（ ） A．
π
B．
π
C．
π
D．
π
【分析】按照题意画出图形，结合图形求出将△ABC绕AC所在的直线旋转一周所围成几何体的表面积． 【解答】解：△ABC中，∠ABC＝
，AB＝3，BC＝4，如图所示；
将△ABC绕AC所在的直线旋转一周， 围成几何体是两个同底的圆锥， 且底面圆的半径为r＝AD＝
＝
，
则该几何体的表面积为S几何体＝πr（l1+l2） ＝π×
×（3+4）＝
．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转体的表面积计算问题，是基础题．
9．（5分）如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） A．4
B．8
C．16
D．20
【分析】通过三视图苹果几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．
【解答】解：三视图的几何体是四棱锥，底面的边长为二、6的矩形，四棱锥的极点在底面的射影落在矩形的长边的一个三等份点，由三视图的数据可知，几何体的高是4，
所以几何体的体积为：×6×2×4＝16． 故选：C．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查学生的视图能力，空间想象能力与计算能力．
10．（5分）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的一个锐角为α，且小正方形与大正方形面积之比为9：25，则sin2α的值为（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系可得 5sinα﹣5cosα＝3，两边平方并利用二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．
【解答】解：∵小正方形与大正方形面积之比为9：25， 设小正方形的边长为3，则大正方形边长为5，
由题意可得，小直角三角形的三边别离为5cosα，5sinα，5，
∵4个小直角三角形全等，故有5cosα+3＝5sinα，即 5sinα﹣5cosα＝3， 平方可得sin2α＝故选：D．
【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系，二倍角的正弦公式的应用，属于中档题． 11．（5分）已知函数
的部份图象如图所
，
示，将函数y＝（fx）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度，取得的函数图象关于直线x＝A．
对称，则θ的最小值为（ ）
B．
C．
D．
【分析】由函数的图象的极点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式．再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得θ的最小值． 【解答】解：按照函数可得A＝2.3，•
＝
﹣
，∴ω＝1．
，∴（fx）＝2.3sin（x﹣
）．
的部份图象如图，
再按照五点法作图可得1×+φ＝0，∴φ＝﹣
将函数y＝f（x）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得y＝2.3sin（4x﹣
） 的图象；
再将所得图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度，可得y＝2.3sin（4x﹣4θ﹣
） 的图象．
对称，∴4×
﹣4θ﹣
＝kπ+
，即 θ
∵取得的函数图象关于直线x＝＝﹣
+
，k∈Z，
，
令k＝2，可得则θ的最小值为故选：A．
【点评】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部份图象求解析式，由函数的图象的极点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．还考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣
+（a﹣1）x+a（a＞0）的值域与函数
f（f（x））的值域相同，则a的取值范围为（ ） A．（0，1]
B．（1，+∞）
C．
D．
【分析】求出f（x）的单调区间和值域，从而得出f（x）的最大值与单调区间端点的关系，从而得出a的范围 【解答】解：函数f（x）＝lnx﹣x＞0．
则f′（x）＝﹣ax+（a﹣1）（a＞0） 令f′（x）＝0，可得x＝
（舍去），x＝1．
+（a﹣1）x+a（a＞0），其概念域知足：
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）在区间（0，1）递增； 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在区间（1，+∞）递减； ∴当x＝1时，f（x）取得最大值为f（x））的值域为（﹣∞，
]，
]， ；
∴函数f（f（x））的值域为（﹣∞，则
≥1；
．
解得：a
则a的取值范围为（0，]； 故选：C．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方式、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）已知函数f（x）＝log2（2x﹣a），若f（2）＝0，则a＝ 3 ．
【分析】按照x＝2时，函数值为0，即可求解a的值； 【解答】解：由题意，f（2）＝0，即log2（4﹣a）＝0 可得4﹣a＝1， 则a＝3． 故答案为：3．
【点评】本题考查的知识点是对数大体运算，难度不大，属于基础题． 14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边别离为a，b，c，若asinA＝csinC+（a﹣b）sinB，则角C的大小为
．
【分析】利用正弦定理与余弦定理即可得出． 【解答】解：asinA﹣csinC＝（a﹣b）sinB，
由正弦定理可得：a2﹣c2＝ab﹣b2，即a2+b2﹣c2＝ab， 由余弦定理可得：cosC＝又C∈（0，π）， ∴C＝
．
．
＝，
故答案为：
【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（5分）已知函数f（x）＝4，+∞） ． 【分析】按照f（x）＝
，求解f（x+1），分段求解可得解集；
，则f（x+1）﹣9≤0的解集为 [﹣
【解答】解：由f（x）＝，
∴f（x+1）＝∵f（x+1）﹣9≤0 即f（x+1）≤9
当x≤﹣1时，可得2﹣x﹣1+1≤9， 可得：x≥﹣4； 当x＞﹣1时，可得显然恒成立
综上可得f（x+1）﹣9≤0的解集为[﹣4，+∞）； 故答案为：[﹣4，+∞）；
【点评】本题考查的知识点是分段函数不等式的解法，属于基础题．
16．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有极点都在同一球面上，底面ABC是正三角形且和球心O在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为表面积等于 64π ．
【分析】由球心在正三角形ABC所在平面内，利用正弦定理得出正三角形的边长为
，由三棱锥S﹣ABC的高的最大值为R，结
，则球O的
≤9，
合三棱锥的体积公式可计算出R的值，再利用球体的表面积公式可得出球的表面积．
【解答】解：设外接球的半径为R，由于球心在三角形ABC所在平面，由正弦定理可得
，所以，
，
三角形ABC的面积为为
，三棱锥S﹣ABC的体积的最大值
，解得R＝4，
因此，球O的表面积为4πR2＝4π×42＝64π． 故答案为：64π．
【点评】本题考查球的表面积的计算，解决本题的关键主要在于对问题的转化，和找准三棱锥的体积取最大值时极点的位置，属于中等题．
三、解答题：共70分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.第17～21题为必考题，每一个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生按照要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边别离是a，b，c，已知a＝6，
．
（1）若b＝5，求sinC的值； （2）△ABC的面积为
，求b+c的值．
【分析】（1）由已知及同角三角函数大体关系式可求sinA的值，由正弦定理可得
，进而由
，可求
，利用三角形内
角和定理，诱导公式，两角和的正弦函数公式可求sinC的值；
（2）利用三角形的面积公式可求bc＝20，利用余弦定理可得b2+c2＝41，联立可求b+c的值． 【解答】解：（1）由则
，且
， ，
，
由正弦定理可得：因为b＜a， 所以所以
，
，
可得：sinC＝sin（A+B）＝（2）∴bc＝20，
可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝
，
，
，
∴b2+c2＝41，可得：（b+c）2＝b2+c2+2bc＝41+40＝81， ∴b+c＝9．
【点评】本题主要考查了同角三角函数大体关系式，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣
+cosx．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间[0，π]上是增函数，求实数a的取值范围．
【分析】（1）代入a的值，求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，问题转化为a≥x+sinx，令g（x）＝x+sinx，按照函数的单调性求出函数的最大值，从而求出a的范围即可． 【解答】解：（1）当a＝1时，则f'（x）＝1﹣x﹣sinx，
当x＝0时，f（0）＝1，f'（0）＝1，
所以曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为x﹣y+1＝0． （2）f'（x）＝a﹣x﹣sinx，
因为f（x）在区间[0，π]上是增函数， 所以f'（x）≥0在区间[0，π]上恒成立， 令a﹣x﹣sinx≥0，即a≥x+sinx，
令g（x）＝x+sinx，则g'（x）＝1+cosx≥0， 所以g（x）在区间[0，π]上单调递增， 所以g（x）max＝g（π）＝π， 故实数a的取值范围是[π，+∞）．
【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用和转化思想，是一道综合题．
19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在单位圆O上，∠xOA＝α，且（Ⅰ）若（Ⅱ）若∠AOB＝
，求x1的值；
，求y＝x12+y22的取值范围．
． ，
【分析】（Ⅰ）由题意利用任意角的三角函数的概念，同角三角函数大体关系求得cos（
+α）的值，再利用两角差的余弦公式，求得
的值．
（Ⅱ）先化简y＝x12+y22的解析式为
，再按照正弦函数的概
念域和值域求得它的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由三角函数的概念有x1＝cosα， 因为所以所以＝
（Ⅱ）若∠AOB＝
＝．
，由题知x1＝cosα，
，
，，
＝
，
，
＝
＝
，
．
所以y的取值范围是
． ＝
，
，
，
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的概念，同角三角函数的大体关系，两角和差的三角公式，正弦函数的概念域和值域，属于中档题．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且∠BCD＝
，BC⊥PD，平面PBC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：PC＝PD；
（Ⅱ）若底面ABCD是边长为2的菱形，四棱锥P﹣ABCD的体积为，求点B到平面PCD的距离．
【分析】（Ⅰ）过P作PE⊥BC，垂足为E，连接DE，推导出PE⊥平面ABCD，BC⊥平面PDE，从而DE⊥BC，由此能证明PD＝PC．
（Ⅱ）设点B到平面PCD的距离为h，由VP﹣BCD＝VB﹣PCD，由此能求出能求出点B到平面PCD的距离．
【解答】证明：（Ⅰ）过P作PE⊥BC，垂足为E，连接DE， 因为平面PBC⊥平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，
因为PD⊥BC，所以BC⊥平面PDE，所以DE⊥BC， 因为
，所以DE＝EC，因为△PED≌△PEC，所以PD＝PC．
（Ⅱ）因为底面ABCD的边长为2，则，
由（1）知PE⊥平面ABCD，即PE是四棱锥P﹣ABCD的高， 所以四棱锥P﹣ABCD的体积为所以
，所以PC＝PD＝2，
，
设点B到平面PCD的距离为h， ∵VP﹣BCD＝VB﹣PCD，∴所以
，即点B到平面PCD的距离是
．
，
【点评】本题考查两线段相等的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 21．（12分）已知函数
．
（1）若f'（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）＝f'（x）﹣x﹣alnx的单调性； （2）若
（e是自然对数的底数），求证：f（x）＞0．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可； （2）求出函数的导数，令
，问题转化为证明h（x）在区间
上有唯一零点x0，按照函数的单调性证明即可．
【解答】解：（1）因为
＝
，所以，
，
（ⅰ）当﹣a≤0即a≥0时，所以x+a＞0，且方程g'（x）＝0在（0，+∞）上有一根，
故g（x）在（0，1）上为增函数，（1，+∞）上为减函数， （ⅱ）当﹣a＞0即a＜0时，
所以方程g'（x）＝0在（0，+∞）上有两个不同根或两相等根，
（ⅰ）当a＝﹣1时，f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（ⅱ）当a＜﹣1时，由f'（x）＞0得1＜x＜﹣a，
所以f（x）在（1，﹣a）上是增函数；在（0，1），（﹣a，+∞）上是减函数； （ⅲ）当﹣1＜a＜0时，由f'（x）＞0得﹣a＜x＜1，
所以f（x）在（﹣a，1）是增函数；在（0，﹣a），（1，+∞）上是减函数； （2）证明：因为因为
，所以
，令
，
，则
，
即h（x）在（0，+∞）是增函数， 下面证明h（x）在区间因为又因为
上有唯一零点x0，
，h（2a）＝ln2a+1，
，所以
，
上有唯一零点x0，
，
由零点存在定理可知，h（x）在区间
在区间（0，x0）上，h（x）＝f'（x）＜0，f'（x）是减函数， 在区间（x0，+∞）上，h（x）＝f'（x）＞0，f'（x）是增函数， 故当x＝x0时，f（x）取得最小值因为所以因为所以
，所以
＝
，所以f（x）＞0， ，f（x）＞0．
，
， ，
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用和分类讨论思想，转化思想，老师的零点定理，是一道综合题．
(二)选做题[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）
22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为
（t为参数），直线l与曲线C
相交于A，B两点．
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （2）若|PA||PB|＝|AB|2，求a的值．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
（2）利用（1）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果． 【解答】解：（1）由ρsin2θ＝2acosθ（a＞0）， 得：ρ2sin2θ＝2aρcosθ（a＞0）， 所以曲线C的直角坐标方程y2＝2ax， 因为所以
， ，
直线l的普通方程为y＝x﹣2；
（2）直线l的参数方程为代入y2＝2ax， 得：
，
（t为参数），
设A，B对应的参数别离为t1，t2， 则
，
t1t2＝32+8a，t1＞0，t2＞0
由参数t1，t2的几何意义得|t1|＝|PA|，|t2|＝|PB|，|t1﹣t2|＝|AB|， 由|PA||PB|＝|AB|2， 得所以所以
即a2+3a﹣4＝0，
故a＝1，或a＝﹣4（舍去），
，
，
，
所以a＝1．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知概念在R上的函数f（x）＝|x﹣m|+|x|，m∈N*，若存在实数x使f（x）＜2成立．
（1）求实数m的值；
（2）若a＞1，b＞1，f（a）+f（b）＝4，求证：
．
【分析】（1）要使不等式|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，再由m∈N*，能求出实数m的值．
（2）先求出α+β＝3，从而能证明：
．
＝
，由此利用大体不等式
【解答】解：（1）因为|x﹣m|+|x|≥|（x﹣m）﹣x|＝|m|．…（2分） 要使不等式|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，解得﹣2＜m＜2．…（4分） 因为m∈N*，所以m＝1．…（5分）
证明：（2）因为α，β＞1，所以（fα）+（fβ）＝2α﹣1+2β﹣1＝4，则α+β＝3．…（6分） 所以（8分） （当且仅当
，即α＝2，β＝1时等号成立）…（9分）
恒成立．
．…
又因为α，β＞1，所以故
．…（10分）
【点评】本题考查实数值的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意大体不等式性质的合理运用．
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