高中数学数列复习(十七)-教师

初中/高中数学教师 备课组 日期 上课时间 学生情况： -------- -------- -------- 班级 学生 主课题：数列综合复习（高二） 教学目标：1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项 2. 掌握等差数列、等比数列通项公式和求和公式并能加以灵活应用 3. 理解数列极限的概念，会求某些数列的极限 4. 理解数学归纳法原理，能运用数学归纳法证明一些简单的数学命题 教学重点：1.掌握求数列通项公式的常用方法（观察法、迭加累加法、迭乘累乘法、待定系数法，数学归纳法，求差（商）法、倒数法等） 2. 掌握数列求和的常用方法（公式法、裂项相消法、错位相加法、通项分组法、倒序相加法等） 3. 会求某些特殊数列的极限 教学难点：1.掌握求数列通项公式的常用方法 2. 掌握数列求和的常用方法 3.理解并掌握数列与函数的特殊关系，并能灵活运用其解决实际问题 4.了解衍生等差数列和等比数列的性质 考点及考试要求：1.掌握数列的概念和几种简单的表示方法，数列是一种特殊的函数 2.探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式和前n项求和公式 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 4.体会等差数列、等比数列、求和公式与一次函数、指数函数和二次函数的关系

教学内容 1.基本量法 在等差（或等比）数列中，有五个量，它们是项数n、首项a1、通项an、公差d（或公比q） 和前n项和Sn，它们之间满足关系： 等差数列ana1(n1)d，Snn(a1an)n(n1)na1d 22na1,q1n1等比数列ana1q，Sna1(1qn)a1anq,q1 1q1q在这五个量中最重要也是最基本的量是首项a1和公差d（或公比q），在解等差数列（或等 比数列）问题时，可以把求问题中的其它量转化为求基本量，使求解的数列问题转化为求关于a1和d（或q）的等式或不等式问题，这种解题方法称为基本量法 例1 已知等差数列{an}的公差d0，且a1,a3,a9又成等比数列，求a1a3a9的值 a2a4a10解： 13 16例2 已知等差数列{an}， （1） 若amn,anm，求a1,d,Sn和amn （2） 若Smn,Snm，求a1,d,an 解：利用公式法 （1）d=-1，a1nm1，amn0，Sn1n(n2m1) 2121a[n(m1)(mn)]mam(m1)dn11mn2（2）由条件有 na1n(n1)dmd2(mn)12mnm2(n1)(mn)故ana1(n1)d mn

例3 设等比数列{an}的公比为q，前n项之和为Sn，若Sn1,Sn,Sn2成等差数列，求公比q的值 解：q=-2 例4 已知数列{an}为等比数列，a26,a5162 （1） 求数列{an}的通项公式 （2） 设Sn是数列{an}前n项的和，证明：n1解：（1）an2•3 Sn•Sn21 2Sn1 （2）利用公式法和做差法即可证明 方法总结：一般来说，等差（或等比）数列问题，最后总可以归结到求基本量a1和d（或q）的问题，基本量法的思想其实是减元的思想，关键是正确地选好公式，向基本量a1和d（或q）转化，一般步骤可以归纳为： ① 设首项a1和公差d（或公比q）； ② 用a1和d（或q）表示题目中的其它量； ③ 利用题设条件通过代数运算求出a1和d（或q）； ④ 求出所要求的其它量 巩固练习 1. 等差数列{an}中，a12，公差不为零，且a1,a3,a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值为___4____ 2. 已知正项等比数列{an}中，a7•a916，且a51，则a12=___64____ 23. 如果a1,a2,...,a8为各项都大于零的等差数列，公差d0，则（ B ） A a1a8a4a5 B a1a8a4a5 C a1a8a4a5 D a1a8a4a5 4. 等差数列{an}中，若a1010,a19100，前n项和为Sn0，则n=（ C ） A 7 B 9 C 17 D 19

5. 等差数列{an}中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项的和为33，且a1am18，求此数列的通项公式 a1amm772m7，a1am22，再利用a1am18可得 解：aam11m4422a120,am2,d3 所以通向公式为an3n23 6. 设{an}是一个公差为d（d0）的等差数列，它的前10项和S10110，且a1,a2,a4成等比数列 （1）证明a1d（2）求公差d的值和数列{an}的通项公式 解：（1）证明略 （2）d=2，an2n 7.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q 解：利用公式法可得q 8. 在等差数列{an}中，公差d0，a2是a1和a4的等比中项，已知数列31 2a1,a3,ak1,ak2,...,akn,...成等比数列，求数列{kn}的通项公式 n1解：由已知条件可得a1d，annd，则a33d,ak19d,ak227d,...,akn3d n1又因为aknknd，所以kn3 2.递推法 已知数列的任意一项an，通过给定的规律求出紧接着后面的一项an1称为递推，能表达出这种递推规律的等式叫做递推式.利用递推式求数列的通项或前n项之和的方法叫做递推法 常用的数列递推法有：

S1,n1（1） 利用an，适用于Snf(n)、Snf(an)、anf(Sn) SS,n2n1n已知数列{an}的前n项Sn与an的关系式，通常是把已知关系式anS1,n1转化SnSn1,n2为数列{an}或Sn的递推关系，至于向Sn或an哪种方向转化，视题目而定 （2） 累加法 若anan1f(n)(n2)，则a2a1f(2),a3a2f(3),...,anan1f(n)， 两边分别相加，得ana1f(2)f(3)...f(n) (3) 累乘法 若anaaaf(n)(n2)，则2f(2),3f(3),...,nf(n)，两边分别相乘，得 an1a1a2an1anf(2)f(3)...f(n) a1(4) 待定系数法（构造法） 对于ancan1d（c、d为常数，c0,c1,d0），通过构造可得{an为a1d}是首项c1ddd，c为公比的等比数列，所以an(a1)•cn1 c1c1c1an13an1111如：，设an1x3(anx)，展开后可得x，所以{an}是以a1222a11为首项，3为公比的等比数列，an （5）数学归纳法 适用于可以归纳an的递推式，方便找出通项规律的，可以先归纳猜想，然后用数学归纳法证明 （6）求差（商）法，适用于无穷递推数列 若{an}满足11(a1)•3n1 22111a12a2...nan2n5，n=1时，a114 222111n2时，a12a2...n1an12(n1)5，两式相减得 222

14,n11n1 an2，an2，所以ann12n2,n2（7）倒数法，适用于某些特殊递推式 如：若an12an1111，即{}成等差数列 ，两边同取倒数可得an2an1an2an（8）换元法，适用于可观察规律的递推式 如：an22an1an2,a11,a22，由题意可得(an2an1)(an1an)2 令bnan1an，则bn1bn2，可得bn2n1，所以an1an2n1，然后用累加2法，ann2n2 n例5 在数列{an}中，an1an2•31,a13，求{an}的通项公式 解：an3nn1 例6 已知数列{an}满足a1解：利用累乘法可得an 例7 已知数列{an}满足a11,an3an12(n2)，求{an}的通项公式 n1解：an231 1,Snn(2n1)an，求{an}的通项公式 31或者先猜测通项公式，再利用数归证明 (2n1)(2n1) 例8已知数列{an}满足a12，an12an，求{an}的通项公式 an2解：an 2 n

n例9 （1）等比数列{an}，当n2时，a2a3...an2p（p为常数），求a1,p和an （2）数列{bn}的前n项和为Sn，b12,nbn1Snn(n1)，求bn和Sn （3）在（1）、（2）的条件下，若Tn值 n12解：（1）a11,p2,an2 （2）bn2n,Snnn （3）Cmin3 Sn对一切正整数n都有TnC恒成立，求C的最小an 巩固练习 2,n111. 数列{an}中，a12,an1(a1a2...an)，则an=___an3n2______ (),n2222. 数列{an}中，a11，ann(an1an)，则a7____7____ 3. 数列{an}中，a11，前n项和Sn满足Sn12Snn5，则a10___1023____ 4. 已知数列{an}满足a10,an1an33an1*（nN），则a20=____3_____ 2*5. 在数列{an}中，a13,an1an（nN），则数列{an}的通项公式是___an32______ 22*6. 设{an}是首项为1的正项数列，且(n1)an1nanan1an0（nN），求数列 n1{an}的通项公式 解：利用累乘法可得an 7. 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a11,an1（1）数列{解：（1） 1 nn2Sn（nN*），证明： nSn}是等比数列 （2）Sn14an nSn2n1 （2）略 n

8. 设数列{an}的前n项和Sn412， an2n1（nN*）333n（1） 求证：{an2}是等比数列 （2）求数列{an}的通项公式 解：（1）Sn412412an2n1， Sn1an12n，作差可得 333333an4an12n，利用构造法an2n4(an12n1)，所以{an2n}是以4为首项，4为公比的等比数列 nn （2）an42 9. 在无穷数列{an}中，a11，且当n2时，前n项之和Sn与an的关系是：2S2n2anSnan （1）求证数列{1}是等差数列，并求数列{Sn}的通项公式和limSn nSnn（2）求数列{an}的通项公式，并求liman 解：（1）Sn1,limSn0 2n1n1,n1 （2）an，liman0 2n(2n1)(2n3),n1 3. 数列求和的常用方法 （1） 常用公式法 ① 等差数列求和公式：Snn(a1an)n(n1)na1d 22na1,q1② 等比数列求和公式：Sna1(1qn)a1anq,q1 1q1q222③Sn123...n=1n(n1)(2n1) 6注：一般来说，等差（或等比）数列问题，最后总可以归结到求基本量a1,d（或q）的问题，这是解决有关等差（或等比）数列问题最基本的方法，但它并不一定是最好的方法，不过，对于条件不复杂的问题还是够用的，解题步骤一般可归纳为：

① 设首项a1,d（或q）； ② 用a1,d（或q）表示题目中的其它量 ③ 利用题设条件通过代数运算求出a1,d（或q） ④ 求出所要求的其它量 （2） 裂项相消法 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 例如： anf(n1)f(n) ；an（3） 错位相减法 111111(nkn) =()；n(nk)knnknknk{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求数列{anbn}的前n项和，可由SnqSn求Sn，q是 {bn}的公比，例如：Sn12x3x2...nxn1， 23n1n xSnx2x3x...(n1)xnx 两式相减 2n1n (1x)Sn1xx...xnx 1xnnxnn(n1)当x=1时，Sn123...n，当x1时，Sn 2(1x)1x2（4） 通项分组法 数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 n例如：求满足通项an2n3前n项和Sn，可看成是一个等差数列和一个等比数列求和再相加 （5） 倒序相加法 将一个数列倒过来排列，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an)，如： Sna1a2...an1an Snanan1...a2a1 两式相加得2Sn(a1an)(a2an1)...(ana1) （6）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和. n形如an＝(－1)f(n)或周期数列等类型，可采用并项求和 n2222例10等比数列an的前n项和Sn2p，求a1a2a3an的值

解：a1a2a3an 22221n(41) 3例11 数列an的通项公式为an3n1，则 (1)、求数列an的前n项和Sn的公式； （2）、设Pna1a4a7a3n2，Qna10a12a14a2n8，其中n1,2,,试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论 解：（1）Sn321nn； 22（2）当n20时,PnQn；当n19时,PnQn；当n18时,PnQn 例12 求数列的前n项和: （1） 1,(12),(122),,(122（2） 11,2n1), 1114,27,,n13n2, aaan1解：（1）Sn22n aa1n(3n1)n(3n1)n （2）当a1时,Sn； 当a1时,Sn a122 例13求数列的前n项和: （1）1121231nn1 （2）1111 12123123n解：（1）n11 （2）2n n11， 2例14 已知函数f(x)满足f(x)f(1x)（1）求f()及f()f(121nn1)； n

（2）数列an满足anf(0)f()f()f()f(断该数列是否是等差数列 解：（1） 例15设数列an满足a13a23a332n11n2n3nn1)f(1)，求an，并判nn111； （2）an；是等差数列 442nan,nN* 3n，求数列bn的前n项和Sn an（1）、求数列an的通项公式； （2）、设bn(2n1)3n131 解：（1）ann （2）Sn443 例16 （1）求123499100的和 n2（2） 若数列an满足an(1)•n，求其前n项和Sn 222222解：（1）5050 n(n1)*,n2k,kN2 （2）Sn n(n1),n2k1,kN*2 巩固练习 1. 函数f(x)11xx1f(x)f(x)，若，则= ，又若(xR)1212x422n112n1nnN*，则f()f()f()f()=  ____ nnnn4122. 等差数列an共有n项，若前n项之和Sn=324，前4项之和为6，后4项之和为30，则n=____72____ 3. 设Sn11113...，且Sn•Sn1，则n的值为____6____ 2612n(n1)44. 已知数列an满足a11,a22,anan21，则该数列前26项的和为___-10_____

5. 求数列的前n项和 （1）13x5x(2n1)x（2）2n1 2462n23n 2222n2,x1解：（1）Sn(2n1)xn1(2n1)xn(1x) ,x1(1x)2 （2）Sn4 6. 已知数列an：a11,a23,a32,an2an1an，（1）求S2002（2）求其前n项和Sn 解：（1）5 n2 n121,n6k14,n6k26,n6k3 （2）Sn,kN 5,n6k42,n6k50,n6k6 4 数列与函数 （1） 数列通项公式与函数 {an}为等差数列anknb（k,b为常数，可看成关于n取整的一次函数）SnAn2Bn（可看成关于n取整的二次函数） {an}为等比数列，ankqn(k0,q0)，若q1，Snbqnc,bc0(q0)（可看成关于n取整的指数函数） （2） 求数列{an}的最大、最小项的方法 02①an1an...0，如an2n29n3 0

1an19n(n1)...1(an0)，如an② n10an1③anf(n)，研究函数f(n)的增减性，如ann 2n156注：若Sn是数列{an}前n项和，则Sn的最大、最小值可由最后一个使得an0、an0的n确定 例17 已知数列{an}中，an(n3)()，试问n取何值时，an最大？并求此最大值 89n86解：n=5或6时，an取值最大，最大值为5 9 例18 已知数列{an}中，an4n11，（1）试问n取何值时，an最大？并求此最大值 2n7（2）n5的所有项的值应在哪两个整数之间？ 解：（1）当n=4时，an有最大值a45 （2）n5的所有项的值应在2, 3之间 例19 定义：称n为n个正数p1,p2,...,pn的“均倒数”. 已知数列{an}的p1p2...pn前n项的“均倒数”为a1(nN*) （1）求{an}的通项公式 （2）设cnn，判2n12n1a断并证明数列{cn}的单调性 （3）已知bntn(t0)，数列{bn}的前n项和为Sn，求 limSn1的值 nSn解：（1）an4n1 （2）单调递增 （3）bntant4n1,Snt3t7...t4n1 ①当t=1时，Snn，limSn1=1； nSn

Sn1Sn14t3(1t4n)limlim②当t1时，Sn 当01时，=t nSnS1t4nn 例20. xOy平面上点列Pn(an,bn)均在函数y2002(ax)(0a10)的图像上，且点Pn、10点（n,0）与点（n+1,0）构成一个顶角的顶点为Pn的等腰三角形 （1）求点Pn的纵坐标bn的表达式 （2）若对每一个自然数n，bn,bn1,bn2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围 *（3）设Bnb1b2...bn(nN)，若a取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列{Bn}的最大项的项数 an11解：（1）Pn的横坐标为n，所以bn2002()2 102 （2）由{bn}单调递减，若能构成三角形，则bn1bn2bn，代入化简可得 aa()21a(555,10) 10107n1 （3）bn2002()2，bn1且bn11时Bn最大，解得n20.81 10 所以B20最大 巩固练习 1. 在等差数列{an}中，a10,S9S12，若要使该数列前n和最小，n=__10或11____ 2. 若数列{an}的通项公式满足an3sin=__-2____ 3. 等差数列{an}中，ann2n2ncos，该数列的最小项的值331919，记bna2a4a8...a2n，则数列{bn}的最大项9

的值为____b446 ______ 92n23n14. 在等差数列｛an｝中，an，求非零常数p,q满足的条件 pnq解：p+2q=0 1n15. 记数列｛an｝前n项积bna1a2...an，设Tnb1b2...bn，若数列an2007()， 2n为正整数，求使Tn达到最大的n的值 解：n=22