分数问题（2）
知识点复习 一．按比例分配 【知识点归纳】
1．按比例分配定义：
在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配．这种分配方法通常叫做按比例分配． 2．解题方法： （1）求总份数
（2）想各部分占总数量的几分之几 （3）用分数乘法求出各部分是多少．
【命题方向】
例1：一堆由苹果核梨子组成的水果，苹果的质量和梨子的质量之比是4：3，现加入8斤梨子，水果的总质量变为64斤，求加入梨子后，水果中苹果和梨子的质量之比为多少？
分析：根据题意，加入8斤梨子，水果总质量变为64斤，则原来这堆水果有64-8=56斤，已知苹果的质量和梨子的质量之比是4：3，所以1份为：56÷（4+3）=8斤，苹果：8×4=32斤，梨子：8×3+8=32斤，进而求出求加入梨子后，水果中苹果和梨子的质量之比即可． 解：1份量：（64-8）÷（4+3）=8（斤） 苹果：8×4=32（斤） 梨子：8×3+8=32（斤） 苹果：梨子=32：32=1：1．
答：加入梨子后，水果中苹果和梨子的质量之比为1：1．
点评：此题考查的目的是理解掌握按比例分配应用题的结构特征及解答规律．
二．正、反比例
【知识点归纳】
1．正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值一定，正比例关系可以用式子表示为：y=kx．
2．反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积一定，反比例的关系可以表示为：xy=k．
【命题方向】
2 千米/时，从A点到山顶的速度是2千米/37时．他到达山顶后立即按原路下山，下山速度是4千米/时，下山比上山少用了 小时．已知8例1：小华登山，从山脚到途中A点的速度是2途中B点到山顶的路程比A点到山顶的路程少500米，且小华从A点开始上山至下山到达B点恰好用了1小时．问：从山脚到山顶的路程是多少千米？
分析：如图：可以看到AB相距0.5千米，“小华从A点开始上山至下山到达B点恰好用了11小时”我们不妨让小华下山也走到A点，这样一共走了1+0.5÷4=1 小时，因为从A点上山8与从山顶到A点路程相同，根据反比例的意义，上山与下山的速度比是2：4=1：2，因此上山16与下山的时间比是2：1，把1 按2：1分配，上山用了 小时，可得出从A点上山路是28863× =1.5千米；可算出A点上山顶与山顶到A点所用的时间差为：1.5÷2= 小时，1.5÷8433337314= 小时， - = 小时，因此 - = 小时的时间差是在行山脚与A点这段路程中产848888221生的．这段路程中上、下山的速度比是2 ：4=2：3，则时间比为3：2，而时间差为 小时，321332可见3份与2份差1份是 小时，因此上山的3份时间是 小时， ×2 =4千米，也可2223求得结果为5.5千米．
解： 1如图：500米=0.5千米，1+0.5÷4=1 小时， 8上山与下山的速度比是2：4=1：2，因此上山与下山的时间比是2：1， 2+1=3， 1231 × = （小时）， 8341131 × = （小时）， 8386得出从A点上山路是2× =1.5千米； 831.5÷2-1.5÷4= 小时， 82下山的速度比是2 ：4=2：3，则时间比为3：2， 3732（ - ）÷（3-2）×3×2 +1.5， 8838=1.5× +1.5， 3=5.5（千米）； 答：从山脚到山顶的路程是5.5千米． 点评：此题属于较复杂的行程问题，解答此题应认真分析、进行分段解答：先求出山脚到A的路程，然后求出A到山顶的路程，然后相加即可． 三．工程问题 【知识点归纳】
工程问题公式
（1）一般公式：工效×工时=工作总量； 工作总量÷工时=工效； 工作总量÷工效=工时．
（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：
1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几； 1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间．
（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5…．特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便．）
解答工程问题利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等．抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．
【命题方向】
例1：师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工9个，徒弟每小时加工5个，完成任务时，徒弟比师傅少加工120个．这批零件共有多少个？
分析：求出师傅比徒弟每小时多加工零件个数，然后依据工作时间=多的工作总量÷每小时多做零件个数，求出两人完成任务需要的时间，最后根据工作总量=工作效率×工作时间即可解答． 解：120÷（9-5）×（9+5） =120÷4×14 =420（个）
答：这批零件共有420个．
点评：解答本题的关键是求出两人完成任务需要的时间，解答依据是工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系． 例2：一项工程，甲、乙两人合做8天可完成．甲单独做需12天完成．现两人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3．这个工程实际工期为多少天？ 1分析：由题意可知，甲、乙合作8天完成，甲、乙的合作工作效率为 ，甲单独12天完成，81111 ．人合做几天后，余下的工程由乙独自甲的工作效率为 ，那么乙的工作效率 - =1281224完成，使乙前后两段所用时间比为1：3，设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方11程： x+ ×3x=1，解此方程求出两人的合作时间后，即能求出实际工期为多少天． 824111解： - = ． 8122411 ×3x=1， 设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程： x+82411 x+ x=1， 881x=1， 4x=4． 4+4×3 =4+12， =16（天）． 答：这个工程实际工期为16天． 点评：首先根据题意求出乙的工作效率，然后通过设未知数列出等量关系式是完成本题的关键． 四．利润和利息问题 【知识点归纳】
主要公式：
①商品利润=商品售价-商品进价； ②商品利润率=商品利润/商品进价×100%； ③商品销售额=商品销售价×商品销售量； ④商品的销售利润=（销售价-成本价）×销售量． ⑤商品售价=商品标价×折扣率．
利息=本金×利率×存期；（注意：利息税）． 本息=本金+利息， 利息税=利息×利息税率．
注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率=月利率×12=日利率×365．
【命题方向】
例1：商店购进了一批钢笔，决定以每支9.5元的价格出售．第一个星期卖出了60%，这时还差84元收回全部成本．又过了一个星期后全部售出，总共获得利润372元．那么商店购进这批钢笔的价格是每支多少元？
分析：又过了一个星期全部售出后，总共获得利润372元，在这之前是还差84元才可以收回全部成本，说明又买出的这部分的总额为372+84=456（元），买出的这部分钢笔的数量是456÷9.5=48（支），而这48支相当于总数的1-60%=40%，求出总支数为48÷40%=120（支）；然后求出每支钢笔盈利为372÷120=3.1（元），再用每支钢笔的定价减去盈利的部分即为购进价．
解：这批钢笔的总数量： （372+84）÷9.5÷（1-60%）， =456÷9.5÷0.4， =48÷0.4， =120（支）； 每支钢笔的购进价： 9.5-372÷120，
=9.5-3.1， =6.4（元）；
答：商店购进这批钢笔的价格是每支6.4元．
点评：此题条件较复杂，需认真分析，先求出这批钢笔的数量是解决此题的关键．
五．浓度问题 【知识点归纳】
基本数量关系：
溶液质量=溶质质量+溶剂质量； 溶质质量=溶液中所含溶质的质量分数．
这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意．
【命题方向】
例1：A，B，C三个试管中各盛有10克、20克、30克水．把某种浓度的盐水10克倒入A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又从B中取出 10克倒入C中．现在C中盐水浓度是0.5%．问最早倒入A中的盐水浓度是多少？
分析：混合后，三个试管中的盐水分别是20克、30克、40克，又知C管中的浓度为0.5%，可算出C管中的盐是：40×0.5%=0.2（克）．由于原来C管中只有水，说明这0.2克的盐来自从B管中倒入的10克盐水里．
B管倒入C管的盐水和留下的盐水浓度是一样的，10克盐水中有0.2克盐，那么原来B管30克盐水就应该含盐：0.2×3=0.6（克）．而且这0.6克盐来自从A管倒入的10克盐水中．
A管倒入B管的盐水和留下的盐水的浓度是一样的，10克盐水中有0.6克盐，说明原A管中20克盐水含盐：
0.6×2=1.2（克），而且这1.2克的盐全部来自某种浓度的盐水．即说明倒入A管中的10克盐水含盐1.2克．所以，某种浓度的盐水的浓度是1.2÷10×100%=12% 解：B中盐水的浓度是： （30+10）×0.5%÷10×100%， =40×0.005÷10×100%，
=2%．
现在A中盐水的浓度是： （20+10）×2%÷10×100%， =30×0.002÷10×100%， =6%．
最早倒入A中的盐水浓度为： （10+10）×6%÷10， =20×6%÷10， =12%．
答：最早倒入A中的盐水浓度为12%．
点评：不管是哪类的浓度问题，最关键的思维是要抓住题中没有变化的量，不管哪个试管中的盐，都是来自最初的某种浓度的盐水中，运用倒推的思维来解答．
六．折扣问题 【知识点归纳】
1．折扣问题公式：商品售价=商品原价×折扣
2．通常所说的打几折就是原来价格的百分之几十．（比如打8折，就是80%）
【命题方向】
例1：某校六年级有140名师生去参观自然博物馆，某运输公司有两种车辆可供选择： （1）限坐40人的大客车，每人票价5元，如满坐票价可打八折； （2）限坐10人的面包车，每人票价6元，如满坐票价可按75%优惠． 请你根据以上信息为六年级师生设计一种最省钱的租车方案，并算出总租金．
分析：两种方案：方案一是用大客车，载不了的用面包车，用3辆大客车和2辆面包车，然后算出总租金；再一种是全部都有面包车，需140÷10=14辆，然后算出总租金．
解：方案一：
大客车：140÷40=3（辆）…20（人）， 40×5×3×80%=480（元）， 面包车：20÷10=2（辆）， 10×6×2×75%=90（元），
480+90=570（元）； 方案二：
面包车：140÷10=14（辆）， 10×14×6×75%=630（元）， 570＜630，
即第一种方案：用3辆大客车和2辆面包车合算． 答：用3辆大客车和2辆面包车合算，总租金为570元．
点评：此题做题的关键是要根据题意进行分析，设计出租车方案，进而找出最佳租车方案，然后算出总租金进行比较，然后得出结论．
同步测试
一．选择题（共10小题）
1．科学课上，同学们做“平衡架”实验（如图，使用的钩码重量都相同）．张老师在平衡架的两边挂了一些钩码．要使平衡架平衡，a处应挂（ ）个钩码．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．张师傅以10元钱4个的价格买进苹果若干个，又以20元钱5个的价格把这些苹果卖出．如果要赚得150元的利润，那么他必须卖出苹果（ ）个．
A．10 B．100 C．20 D．160
3．为了尽快收回资金，某公司同时以30万元的价格卖出两套设备，其中一套设备盈利20%，另一套设备亏本20%．那么该公司卖出这两套设备（ ） A．赚2.5万元
B．亏2.5万元
C．赚2万元
D．不赚也不亏
4．甲、乙、丙、丁四个杯子中都盛有糖水，甲杯中含糖1.2%，乙杯中的糖和水分别为3克和297克，丙杯 中含水98.7%，丁杯中原含糖3克水240克，后来又加了70克水．则四杯糖水含糖百分比最低的是（ ）A．甲．
B．乙．
C．丙．
D．丁．
5．一辆客车从甲地到乙地，第一天行驶了全程的，第二天行驶了450千米，这时已行路程和剩下路程的比是3：7．甲乙两地相距（ ）千米． A．750
B．900
C．2250
D．4500
6．3，明明把750ml果汁倒入9个小杯和2个大杯中，正好倒满．一个小杯的容量与一个大杯的容量比是1：每个大杯的容量是（ ）ml． A．50
B．150
C．300
7．百货商场举行“满200减100”的促销活动，即“满200元减100元，满400元减200元，满600元减300元，…”．如果买一套原价750元的服装，那么实际上相当于打（ ）折． A．四
B．五
C．六
8．含糖量是10%的糖水200克，糖不变，要使含糖量降低到8%，需要加水（ ） A．4克
B．50克
C．250克
9．王师傅计划加工一批零件，如果实际工作时效率比计划提高20%，那么可提前1小时完成任务；如果王师傅要想比计划提前2小时完成任务，那么王师傅的工作效率就要比计划提高（ ） A．40%
B．50%
C．60%
D．70%
，剩下的由甲单独完成，甲
10．（北京市第一实验小学学业考）一项工程，甲、乙合作完成了全工程的
一共做了10天．这项工程由甲单独做需要15天，如果由乙单独做需要（ ）天． A．18
B．19
C．20
D．21
二．填空题（共8小题）
11．有浓度（即药与药水的比）为5%的药水800克，再加入200克水，这时药水浓度为 ． 12．故事书与科技书本数比是7：3，已知故事书比科技书多56本，故事书有 本．
13．一个蓄水池有甲、乙两个进水管，如果单独开甲管需12小时注满，单独打开乙管需15小时注满．现在同时打开甲、乙两个进水管，需要 小时注满水池．
14．一部手机如果降价7%售出，可得635元的利润；如果按定价的七三折卖出，就会亏损265元．那么这部手机的成本价是 元．
15．希望小学五年级四个班的班长赵军、李丽、叶梅、王笑一起到同一文具店购买圆珠笔和铅笔作为奖品，奖励班上在口算比赛中的优胜者，4个人购买的数量和总价如下表所示，若其中有一个人的总价算错了．这个人是 ．
圆珠笔（支） 铅笔（支） 总价（元）
赵军 15 25 450
李丽 12 20 360
叶梅 21 35 636
王笑 18 30 540
16．一个长方体棱长总和为80分米，长、宽、高的比是5：3：2，这个长方体的体积是 立方分米．17．1000千克葡萄含水率为96.5%，一周后含水率降为96%，这些葡萄的质量减少了 千克． 18．商店出售一种圆珠笔，单价为2.4元，实行优惠，买4送1，这种圆珠笔打 折出售，张老师想买20支，他实际应付 元． 三．判断题（共5小题）
19．国债的利息和教育储蓄存款的利息，不需要缴纳利息税． ．（判断对错） 20．三角形三内角度数的比是1：2：4，这个三角形是直角三角形． （判断对错） 21．一种商品打“八五折”出售，也就是把这种商品优惠了85%． ．（判断对错）
22．一种商品打5折销售，正好保本，如果不打折销售，那就获得5%的利润． （判断对错） 23．把10克糖放入到90克水中，这时糖水的含糖率为10%． ．（判断对错） 四．应用题（共7小题）
24．被减数、减数、差的和是300，减数与差的比是3：2，减数是多少？
25．花园路小学2019年度办学经费有72万元，学校打算将经费的40%用来修建操场，用于教师培训学习．剩下的按3：1分别用于办公开支和奖励表彰．花园路小学今年用于奖励表彰的经费有多少万元？ 26．张老师每天坚持登山，上山时她以平均90米/分的速度需要27分钟；下山时速度提高50%，张老师下山只要多少分钟？（用比例解答）
27．一件衣服按进价15%的利润来定价，因卖不出去，就降低定价的二成卖出，结果亏损100元．这件衣服的进价是多少元？
28．某绿化工程，有3个工程队施工．单独完成，甲队要10天，乙队要12天，丙队要15天．若让甲、乙两队先合作2天，余下的由丙队单独做，丙队还要几天才能完工？
（北京市第一实验小学学业考）某酒厂有48°的白酒（含酒精48%）125千克，现在要把它勾兑成50°29．
的白酒，需要添加酒精多少千克？
30．甲、乙两件商品成本共600元，已知甲商品按45%的利润定价，乙商品按40%的利润定价；后来甲打八折出售，乙打九折出售，结果共获利110元．两件商品中成本较高的那件商品的成本是多少？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】在科学课上，学过“杠杆原理”．根据这一原理，要使平衡架平衡，两边钩码重量与它们离支点的距离相乘的积相等．左边有4个钩码，离支点有1格，列式是4×1＝4．同样，右边b处挂了1个钩码，离支点有2格，列式为1×2＝2．很显然，这时平衡架不平衡．因为天平架两边的计算结果不相等，右边的计算结果比左边少4﹣2＝2．那么，在a处挂几个钩码，就能得到2呢？这个问题很容易解答了
【解答】解：左边：1×4＝4， b处：1×2＝2， a处：4﹣2＝2， 2÷1＝2． 故选：B．
【点评】本题主要考查了正反比列问题．根据“杠杆原理”，要使平衡架平衡，两边钩码重量与它们离支点的距离相乘的积相等．
2．【分析】先根据单价＝总价÷数量，求出买进和卖出一个苹果的单价，每卖出一个苹果赚20÷5﹣10÷4＝1.5元，再根据单价，数量，和总价的关系，即可求出答案． 【解答】解：150÷（20÷5﹣10÷4） ＝150÷（4﹣2.5） ＝150÷1.5 ＝100（个）
答：那么他必须卖出苹果100个． 故选：B．
【点评】解答此题的关键是，知道一个苹果的利润是卖出和买进的差价，再根据单价，数量，和总价的关系，即可求出答案．
3．【分析】本题有两个不同的单位“1”，分别求出这两套设备的进价，再求出赚了和亏了多少钱，进行比较．盈利20%，把这套设备的进价看成单位“1”，那么30万元就是单位“1”的1+20%，用除法就可以求出进价，进而求出赚了多少钱．亏本20%，这一套设备的进价是单位“1”，那么30万元就是单位“1”的1﹣20%，用除法就可以求出进价，进而求出亏了多少钱．然后比较赚的钱数与亏的钱数即可求解．
【解答】解：第一套设备盈利20%： 30÷（1+20%）×20% ＝30÷120%×20% ＝25×20% ＝5（万元）； 第二套设备亏本20%： 30÷（1﹣20%）×20% ＝30÷80%×20% ＝37.5×20% ＝7.5（万元）； 7.5﹣5＝2.5（万元）；
所以该公司卖出这两套设备亏了2.5万元． 故选：B．
【点评】解答此题的关键是分清两个单位“1”的区别，已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”用除法计算．
4．【分析】要求四杯糖水含糖百分比最低的是哪杯，含糖百分比相当于含糖率，含糖率＝糖的重量÷糖水的重量×100%，则甲杯已知是1.2%；乙杯糖的重量是3克，糖水的重量未知，要用糖的重量加水的质量求出，再代入公式求解；丙杯已知含水率是98.7%，杯中除了水其他的就是糖，则含糖率就用1﹣98.7%求解；丁杯先求出加水后一共有水多少克，进而求出糖水的重量，再代入公式即可． 【解答】解：含糖百分比： 甲：1.2%
乙：3÷（297+3）×100% ＝3÷300×100% ＝1%
丙：1﹣98.7%＝1.3% 丁：3÷（240+70+3）×100% ＝3÷313×100% ≈0.96%
0.96%＜1%＜1.2%＜1.3%
所以则四杯糖水含糖百分比最低的是丁．
故选：D．
【点评】完成本题要认真审题 弄清每个选项中的数据是关于糖、水、还是糖水的． 5．【分析】行了两天后，已行的路程与剩下的路程的比是3：7，即前两天共行了全程的行了全程 的，则第二天行了全程的【解答】解：450÷（＝450÷（＝450÷
﹣）
﹣）
﹣，则甲、乙两地相距450÷（
，由于第一天
﹣）．
＝4500（千米）
答：甲乙两地相距4500千米． 故选：D．
【点评】首先根据前天两天已行的路程与剩下的路程的比求出前两天行的占全程的分率是完成本题的关键．
6．【分析】把小杯的重量看做“1”，则大杯的容量是3，即750ml果汁可以装：9+2×3＝15（杯），用750ml除以15，再乘以3就是每个大杯的容量． 【解答】解：9+2×3＝15（杯） 750÷15×3 ＝50×3 ＝150（毫升）
答：每个大杯的容量是150毫升． 故选：B．
【点评】解答本题的关键是求出每个小杯的容量，注意单位之间的换算．
7．【分析】先判断出750元应该减少的钱数，然后用实际付的钱数除以原价求出付钱数是原价的百分之几十，然后根据百分数判断折扣数．
【解答】解：750元是满600，减少300元， （750﹣300）÷750 ＝450÷750 ＝60%
就相当于打六折．
故选：C．
【点评】本题是求一个数是另一个数的百分之几，关键是看把谁当成了单位“1”，单位“1”的量为除数．
8．【分析】抓住糖的重量不变，先根据一个数乘分数的意义，用“200×10%＝20”计算出糖水中糖的质量；后来糖水的8%是20克，根据已知一个数的几分之几是多少，用除法求出后来糖水的质量，根据“后来糖水的质量﹣原来糖水的质量＝加入水的质量”解答即可． 【解答】解：200×10%÷8%﹣200 ＝250﹣200 ＝50（克）
答：需要加水50克． 故选：B．
【点评】解答此题的关键是应抓住“糖的重量”不变，进行分析解答，继而得出结论．
9．【分析】从开始提高20%，那么工作效率是原来的1+20%＝，工作时间与工作效率成反比例，工作时间是原来的，工作时间提前了，它对应的时间是1小时，由此求出原来用的时间；如果王师傅要想比计划提前2小时完成任务，可以求出现在的工作时间和工作效率，对比计划的效率即可求出现在比计划提高了多少． 【解答】解：1+20%＝
因为工作总量一定，工作效率与工作时间成反比，所以工作时间变为原来的 计划用的时间：1÷（1﹣）＝6（小时） 现在的时间：6﹣2＝4（小时） 现在的工作效率：1÷4＝ 计划的工作效率：1÷6＝
×100%＝50%
所以工作效率比计划提高了50%． 故选：B．
【点评】本题主要考查工程问题，解决本题的关键是先根据第一次效率提高20%求出计划完成全部工作量需要的时间．
10．【分析】把这项工程的工作总量看成单位“1”，甲单独做需要15天，则甲的工作效率为合作完成了全工程的÷﹣
，剩下的由甲单独完成，则甲独做了全部的1﹣
）÷
，甲、乙
）
，所以甲单独做了（1﹣
天，又甲一共做了10天，所以甲乙合作了10﹣（1﹣×6，所以乙的工作效率是：（
）÷
﹣
＝6天，则乙做了全部工程的
×6）÷6，据此即能求出乙独做需要多少天．
【解答】解：10﹣（1﹣＝10﹣＝10﹣ ＝6（天） 1÷[（＝1÷[（＝1÷（＝1÷
﹣
×6）÷6]
﹣）÷6] ÷6）
＝20（天）
答：乙独做需要20天． 故选：C．
【点评】首先根据已知条件求出甲后来独做的天数是完成本题的关键． 二．填空题（共8小题）
11．【分析】先把原来药水的总质量看成单位“1”，用原来药水的总质量800克乘上5%，求出药的质量，然后用原来药水的质量加上200克，求出后来药水的总质量，再用药的质量除以药水的总质量即可求出后来的浓度．
【解答】解：800×5%÷（800+200）×100% ＝40÷1000×100% ＝4%
答：这时药水浓度为4%． 故答案为：4%．
【点评】解决本题理解浓度的含义，找出计算的方法，根据药的质量不变进行求解．
12．【分析】已知故事书比科技书多56本，相当于7﹣3＝4份，用除法求出每份的数量，然后再乘故事书的份数7即可．
【解答】解：56÷（7﹣3）×7 ＝56÷4×7 ＝98（本）
答：故事书有 98本． 故答案为：98．
【点评】本题考查了按比例分配应用题，这种类型的应用题关键根据两个数（或三个数）的比求出已知 数量对应的份数，然后用除法求出一份的量，再乘两个数（或三个数）各自所占的份数，即可解决问题．13．【分析】把这蓄水池水的总数量看成单位“1”，根据题意可得，甲的工作效率是1÷12＝作效率是1÷15＝
，乙的工
，求出它们工作效率的和就是合作的工作效率；再用工作总量除以合作的工作效率
就是需要的工作时间．
【解答】解：甲的工作效率是：1÷12＝乙的工作效率是：1÷15＝甲、乙的工作效率和是：1÷
＝
（小时）
小时注满水池．
+
＝
答：现在同时打开甲、乙两个进水管，需要故答案为：
．
【点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系．
14．【分析】根据题意，设这部手机的定价为x元，有关系式：定价×（1﹣7%）﹣635元＝定价×73%+265，列方程求解即可求出定价，然后根据其中一种销售情况求其成本价即可． 【解答】解：设该手机的定价为x元， 七三折＝73%
（1﹣7%）x﹣635＝73%x+265 0.93x﹣635＝0.73x+265 0.2x＝900 x＝4500
成本价：
4500×（1﹣7%）﹣635 ＝4500×0.93﹣635 ＝4185﹣635 ＝3550（元）
答：这部手机的成本价为3550元． 故答案为：3550．
【点评】本题主要考查利润问题，关键根据题意设未知数，利用关系式列方程求解．
15．【分析】设圆珠笔的单价为x，铅笔的单价为y，．由此可得：15x+25y＝5（3x+5y）＝450，12x+20y＝4（3x+5y）＝360，21x+35y＝7（3x+5y）＝636，18x+30y＝6（3x+5y）＝540，如果没有算错的话，3x+5y的值应是一定的，由此计算后即能得出哪个人的总价算错了． 【解答】解：设钢笔的单价为x，笔袋的单价为y，则： 赵军：15x+25y＝5（3x+5y）＝450， 3x+5y＝450÷5＝90；
李丽：12x+20y＝4（3x+5y）＝360， 3x+5y＝360÷4＝90；
叶梅：21x+35y＝7（3x+5y）＝636， 3x+5y＝636÷7＝90…6；
王笑：18x+30y＝6（3x+5y）＝540， 3x+5y＝540÷6＝90； 赵军、李丽、王笑的都为90， 叶梅是90…6， 所以叶梅算错了总价． 故答案为：叶梅．
【点评】由于两种商品的单价是一定的，根据单价、购买数量及总价之间的数量关系进行分析推理是完成本题的关键．
16．【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，已知一个长方体的棱长总和是80分米，它的长、宽、高之比是5：3：2，首先根据按比例分配的方法分别求出长、宽、高；再根据长方体的体积公式解答． 【解答】解：5+3+2＝10（份）
80÷4×80÷4×80÷4×
＝10（分米） ＝6（分米） ＝4（分米）
长方体的体积：10×6×4＝240（立方分米） 答：这个长方体的体积是240立方分米． 故答案为：240．
【点评】此题主要考查长方体的特征和积的计算，首先根据按比例分配的方法求出长、宽、高；再根据长方体的体积公式解答即可．
17．【分析】含水率下降，这一过程中纯葡萄的质量不变，先把原来葡萄的总质量看成单位“1”，用原来葡萄的质量乘96.5%，求出原来水的质量，进而求出纯葡萄的质量；再把后来葡萄的总质量看成单位“1”，它的（1﹣96%）就是纯葡萄的质量，再根据分数除法的意义求出后来葡萄的总质量，用原来的总质量减去现在的总质量，就是减少的质量． 【解答】解：1000﹣1000×96.5% ＝1000﹣965 ＝35（克） 35÷（1﹣96%） ＝35÷4% ＝875（千克）
1000﹣875＝125（千克）
答：这些葡萄的质量减少了 125千克． 故答案为：125．
【点评】解决本题关键是抓住不变的纯葡萄的质量作为中间量，根据分数乘法的意义求出纯葡萄的质量，再根据分数除法的意义求出后来葡萄的总质量，从而解决问题．
18．【分析】由“单价2.4元，买4送1”，则实际售价为（2.4×4）÷（4+1）＝1.92（元），因此1.92÷2.4＝0.8＝8折；
求买20支，他实际应付多少元，根据单价×数量＝总价，解答即可． 【解答】解：实际售价为： （2.4×4）÷（4+1）， ＝9.6÷5，
＝1.92（元）； 1.92÷2.4＝0.8＝8折； 1.92×20＝38.4（元）；
答：这种圆珠笔打八折出售，张老师想买20支，他实际应付38.4元． 故答案为：八，38.4．
【点评】此题也可这样理解：花了4支圆珠笔的钱买了5支，因此折扣为：4÷5＝0.8＝8折． 三．判断题（共5小题）
19．【分析】国债利息不需交利息税（其实就是不需交所得税）；教育储蓄存款是自然人储蓄的，现在自然人储蓄的利息收入都免征个人所得税，也就是所谓的利息税．
【解答】解：国债的利息和教育储蓄存款的利息，不需要缴纳利息税；教材中的原话； 故答案为：正确．
【点评】解答此题应根据教材和生活实际进行分析，即可得出结论．
20．【分析】根据三角形的内角和为180°，三角形的最大的角的度数占内角度数和的一个数乘分数的意义求出最大角的度数，然后根据三角形的分类的方法进行判断即可． 【解答】解：1+2+4＝7 180°×≈103°
所以，这个三角形的最大角是103度，它是钝角，故这个三角形是钝角三角形；所以原题说法错误． 故答案为：×．
【点评】此题主要利用三角形的内角和与按比例分配来解答问题．
21．【分析】打“八五折”出售，也就是按原价的85%出售，把原价看作“1”，即优惠了（1﹣85%），由此进行判断．
【解答】解：1﹣85%＝15%， 答：优惠了15%， 故答案为：×．
【点评】此题解题关键是判断出单位“1“，然后根据题意，进行解答，继而得出结论．
22．【分析】设原价是1；打五折是指现价是原价的50%，是把原价看成单位“1”，由此用乘法求出现价，现价正好保本，说明现价就是成本价；用原价减去成本价再除以成本价就是获取的利润． 【解答】解：设原价是1，则成本价是： 1×50%＝0.5
；然后根据
（1﹣0.5）÷0.5 ＝0.5÷0.5 ＝100%
可获得100%的利润； 故答案为：×．
【点评】解决本题关键是要分清楚单位“1”的不同，找清各自以谁为标准，再把数据设出，根据基本的数量关系求解．
23．【分析】应正确理解含糖率，即糖的重量占糖水重量的百分之几，计算方法为：进行解答继而进行判断； 【解答】解：故答案为：√．
【点评】解答此题应根据含糖率的计算方法进行计算，然后进行判断即可． 四．应用题（共7小题）
24．【分析】根据被减数、减数、差之间的关系，被减数＝减数+差，300÷2＝减数+差，把减数与差的和看作单位“1”，其中减数占减数与差的【解答】解：300÷2×＝150× ＝90
答：减数是90．
【点评】解答此题的关键一是根据根据被减数、减数、差之间的关系；二是把比转化成分数． 25．【分析】把总的钱数看作单位“1”，学校打算将经费的40%用来修建操场，用于教师培训学习；那么还剩下总数的（1﹣40%﹣），然后把它按3：1的比例分配，即办公开支占剩下的占剩下的
；然后根据分数乘法的意义解答即可．
，奖励表彰
，差占
，根据分数乘法的意义即可求出减数．
×100%＝10%；
×100%；
【解答】解：1﹣40%﹣＝72×（＝72×
×
）
＝4.8（万元）
答：花园路小学今年用于奖励表彰的经费有4.8万元．
【点评】此题主要考查按比例分配应用题的特点：已知两个数的比（三个数的比），两个数的和（三个数的和），求这两个数（三个数），用按比例分配解答．
26．【分析】因为速度×时间＝路程，所以路程一定（乘积一定），所以速度和时间成反比，求出下山时速度是90×（1+50%），张老师下山只要x分钟，然后根据路程相等，列出比例式解答即可． 【解答】解：设张老师下山只要x分钟， 90×（1+50%）x＝90×27 1.5x＝27 x＝18 答：张老师下山只要18分钟．
【点评】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可．27．【分析】先把进价看成单位“1”，定价是进价的（1+15%），降低二成卖出，那么实际的售价就是定价的（1﹣20%），根据分数乘法的意义，用（1+15%）乘（1﹣20%）即可求出实际的售价是进价的百分之几，进而得出亏损的占进价的百分之几，它对应的数量是100元，再根据分数除法的意义求解即可． 【解答】解：（1+15%）×（1﹣20%） ＝115%×80% ＝92%
100÷（1﹣92%） ＝100÷8% ＝1250（元）
答：这件衣服的进价是1250元．
【点评】解决本题先根据分数乘法的意义把单位“1”统一到进价上，再根据分数乘法的意义求解． 28．【分析】由题意可知，用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：1÷工作时间＝单位时间内完成工作总量的几分之几； 单独完成，甲队要10天，乙队要12天，丙队要15天则他们的工作效率分别是
、
、
，甲、乙两队先合作2天完成总工程的（
÷
+＝
）×2＝．
，所以余下1﹣
＝
，
余下的由丙队单独做根据工作总量÷工效＝工时可知【解答】解：（
+
）×2＝
，
1﹣÷
＝＝
， （天） 天才能完工．
答：丙队还要
【点评】首先根据题意求出甲、乙、丙的工作效率，然后根据工作总量÷工效＝工时可计算而得． 29．【分析】根据题意，加入酒精，把含酒精48%的白酒变成含酒精50%的白酒，那么水的质量不变，先把原来白酒的总质量看成单位“1”，用原来白酒的总质量乘（1﹣48%），求出水的质量，再把后来白酒的总质量看成单位“1”，它的（1﹣50%）就是水的质量，然后根据分数除法的意义求出后来白酒的总质量，再减去原来白酒的总质量，就是加入酒精的质量． 【解答】解：125×（1﹣48%） ＝125×52% ＝65（千克） 65÷（1﹣50%） ＝65÷50% ＝130（千克） 130﹣125＝5（千克） 答：需要添加酒精5千克．
【点评】解决本题抓住不变的水的质量作为中间量，先根据原来的含量求出水的质量，再根据分数除法的意义求出后来的总质量，进而求解．
30．【分析】设甲种商品的成本价为x元，则乙种商品的成本价为（600﹣x）元．甲种商品的卖价就是（1+45%）x80%元，乙种商品的卖价就是（600﹣x）×（1+40%）×90%元．根据”甲种商品卖价+乙种商品卖价﹣成本价＝获利“即可列方程解答．
【解答】解：设甲商品成本为x元，乙商品成本为（600﹣x）元． x×（1+45%）×80%+（600﹣x）（1+40%）×90%﹣600＝110
1.16x+756﹣1.26x﹣600＝110 0.1x＝46 x＝460 600﹣460＝140（元） 460＞140
答：两件商品中成本较高的那件商品的成本是460元．
【点评】此题列方程解答，虽然解答麻烦，但比较好理解，如果根据百分数除法的意义解答，比较难理解．
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