知识讲解-导数的计算-基础

【学习目标】 1. 牢记几个常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。

2. 熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。 3. 能熟练运用四则运算的求导法则，

4. 理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”．

【要点梳理】

知识点一：基本初等函数的导数公式

（1）f(x)C（C为常数），f'(x)0

n（2）f(x)x（n为有理数），f'(x)nxn1

（3）f(x)sinx，f'(x)cosx （4）f(x)cosx，f'(x)sinx （5）f(x)e，f'(x)e

x（6）f(x)a，f'(x)alna

xxx1 x1（8）f(x)logax，f'(x)logae。

x

（7）f(x)lnx，f'(x)要点诠释：

1．常数函数的导数为0，即C＇=0（C为常数）．其几何意义是曲线f(x)C（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴．

2．有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的（n－1）次幂的乘积，即(x)'nxnn1（n∈Q）．

特别地111(x)''，。 2xx2x 3．正弦函数的导数等于余弦函数，即（sin x）＇=cos x．

4．余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cos x）＇=－sin x．

5．指数函数的导数：(a)'alna，(e)'e． 6．对数函数的导数：(logax)'xxxx11logae，(lnx)'． xx11有时也把(logax)'logae 记作：(logax)'

xxlna

以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．

知识点二：函数的和、差、积、商的导数

运算法则：

（1）和差的导数：[f(x)g(x)]'f'(x)g'(x) （2）积的导数：[f(x)g(x)]'f'(x)g(x)f(x)g'(x)

（3）商的导数：[要点诠释：

f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)]'（g(x)0） 2g(x)[g(x)]1. 上述法则也可以简记为：

（ⅰ）和（或差）的导数：(uv)'u'v'， 推广：(u1u2Lun)'u'1u'2Lu'n． （ⅱ）积的导数：(uv)'u'vuv'， 特别地：(cu)'cu'（c为常数）．

（ⅲ）商的导数：uu'vuv'(v0)， '2vv 两函数商的求导法则的特例 f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)'(g(x)0)， 2g(x)g(x)11'g(x)1g'(x)g'(x)'(g(x)0)． 22g(x)g(x)g(x) 当f(x)1时， 这是一个函数倒数的求导法则．

2．两函数积与商求导公式的说明

（1）类比：(uv)'u'vuv'，uu'vuv'（v≠0），注意差异，加以区分． '2vv （2）注意：uu'uu'vuv'（v≠0）． '且'2vvv'v 3．求导运算的技巧

在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可

将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．

知识点三：复合函数的求导法则 1．复合函数的概念

对于函数yf[(x)]，令u(x)，则yf(u)是中间变量u的函数，u(x)是自变量x的函

数，则函数yf[(x)]是自变量x的复合函数．

要点诠释： 常把u(x)称为“内层”， yf(u)称为“外层” 。 2．复合函数的导数

u'x'(x)， 设函数u(x)在点x处可导，函数yf(u)在点x的对应点u处也可导y'uf'(u)，

则复合函数yf[(x)]在点x处可导，并且y'xy'uu'x，或写作f'x[(x)]f'(u)'(x)． 3．掌握复合函数的求导方法

（1）分层：将复合函数yf[(x)]分出内层、外层。

（2）各层求导：对内层u(x)，外层yf(u)分别求导。得到'(x),f'(u) （3）求积并回代：求出两导数的积：f'(u)'(x)，然后将u用(x)替换，即可得到

yf[(x)]的导数。

要点诠释： 1. 整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复

合，可以相应地多次用中间变量。

2. 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。 【典型例题】

类型一：求简单初等函数的导数 例1. 求下列函数的导数： (1) x3 (2)

1 (3)x（4）ysinx（5）lnx x2【解析】

33－12

(1) (x)′=3x=3x； (2) (

1－2－2－1－3

)′=(x)′=－2x=－2x 2x12111111(3) (x)(x)x2x2

222x（4）y'(sinx)'cosx； （5）y'(lnx)'1； x【点评】（1）用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁。利用常用函数的导数公式，可以简化

求导过程，降低运算难度。 （2）准确记忆公式。

（3）根式、分式求导时，先将根式、分式转化为幂的形式。

举一反三：

【变式】求下列函数的导数：

(1)y =【答案】

(1) y′=(

13223xylogxlog2x； (2)y = （3）y=2x―3x+5x＋4 （4）23x1－3－3－1－4

)′=(x)′=－3x=－3x 3x1321111(2y(x)(x)x3x3

333（3）y'2(x)'3(x)'5(x)'(4)'6x6x5

2（4）∵ylog2xlog2xlog2x，∴y'(log2x)'3221. xln2类型二：求函数的和、差、积、商的导数

例2. 求下列函数导数： (1) y＝3x＋xcosx； (2)y＝【解析】

(1)y′＝6x＋cosx－xsinx.(2)y′＝

2

xx

； (3)y＝lgx－e；（4）y=tanx. 1x1xx11xx.(3)y′＝(lgx)′－(e)′＝－e. 22(1x)(1x)xln10(4)=tanx+.

【点评】

（1）熟记基本初等函数的导数公式和灵活运用导数的四则运算法则，是求导函数的前提。 （2）先化简再求导，是化难为易，化繁为简的基本原则和策略。

举一反三：

【变式1】函数y(x1)(x1)在x1处的导数等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D

法一： y'[(x1)]'(x1)(x1)(x1)' 2(x1)(x1)(x1)3x2x1

∴y'|x14.

32法二：∵y(x1)(x1)(x1)(x1)xxx1

2222222∴y'(x)'(x)'x'1'3x2x1 ∴y'|x14.

【变式2】 求下列各函数的导函数

（1）y=(x+1)(x+2)(x+3)。 （2）y=xsinx; （3）y=【答案】

（1）∵y=(x+3x+2)(x+3)=x+6x+11x+6，∴y＇=3x+12x+11。

222

（2）y′=（x）′sinx＋x（sinx）′=2xsinx＋xcosx

2

3

2

2

2

322xcosx

xsinx(xcosx)(xsinx)(xcosx)(xsinx)（3）y'

(xsinx)2=

(1sinx)(xsinx)(xcosx)(1cosx) 2(xsinx)xcosxxsinxsinxcosx1

(xsinx)2=

【变式3】求下列函数的导数.

2x（1） y ＝（2 x－5 x ＋1）e；

（2）y(x1)(11)； x（3） y ＝

sinxxcosx

cosxxsinx【答案】

2x 2x

（1） y′＝(2 x－5 x ＋1)′e ＋(2 x－5 x ＋1) (e )′

x 2x＝（4 x －5）e ＋（2 x －5 x ＋1）e

2x＝（2x －x －4）e

111x1x（2）y(x1)x2x2，

xx13112∴y'xx2.

22（3）y′＝

1[(sin x －x cos x)′(cos x ＋x sin x)－(sin x －x cos x)·(cos 2(cosxxsinx)x ＋x sin x)′]

＝

1[(cos x －cos x ＋x sin x) (cos x ＋x sin x)－(sin x －x cos x)

(cosxxsinx)2(x cos x)]

xsinxcosxx2sin2xxsinxcosxx2cos2xx2＝＝ 2(cosxxsinx)cosxxsinx类型三：求复合函数的导数

例3求下列函数的导数： （1）y1； （2）ycos(3x)； 4(13x)62（3）yln(2x3x1)； 【解析】

（1）设μ=1-3x，y4，则

5 y'xy''x4 （2）设3x(3)12。

(13x)56，y=cosμ，则

y'xy''xsin33sin(3x6)。

22（3）设u2x3x1,则u'4x3，y'ulnuln(2x3x1)

y'xy'uu'x(4x3)ln(2x23x1)

【点评】

把一部分量或式子暂时当作一个整体，这个整体就是中间变量。求导数时需要记住中间变量，注意逐层求导，不能遗漏。求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数。 举一反三：

【变式】 求下列函数导数.

（1）yln(x2)； （2）ye【答案】

（1）ylnu，ux2

∴y'xy'uu'x(lnu)'(x2)' （2）ye，u2x1.

uu2x1∴y'xy'uu'x(e)'(2x1)'2e2e

2x1； （3）ycos(2x1).

211 1ux2u（3）ycosu，u2x1，

22∴y'xy'uu'x(cosu)'(2x1)'4xsinu4xsin(2x1).

2例4 求下列函数导数.

(1)y(12x)； （2）yx1x2； （3）ysin2(2x【解析】

(1) 令u12x2,yu,

82727yxyuux(u)(12x)8u4x32x(12x).

283)

8（2）y'(x1x2)'x'1x2x(1x2)'

1xx22(1x2)'21x21x2x21x212x21x2。

（3）设y，μ=sinv，v2x y'xy''Vv'x2cosv2

3，则

2sin(2x322sin(4x)3)cos(2x3)2

在熟练掌握复合函数求导以后，可省略中间步骤： y'sin(2x2)'2sin(2x)sin(2x)' 333)cos(2x2sin(2x

3322sin(4x)3)(2x3)'

【点评】

（1）复合函数求导数的步骤是：

①分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）； ②分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）； ③将中间变量代回为自变量的函数。

简记为分解——求导——回代，当省加重中间步骤后，就没有回代这一步了， 即分解（复合关系）——求导（导数相乘）。

（2）同一个问题可有多种不同的求导方法，若能化简的式子，则先化简，再求导。 举一反三：

44

【变式1】 求y ＝sinx ＋cos x的导数．

【答案】

解法一 y ＝sin x ＋cos x＝(sinx ＋cosx)－2sincosx＝1－

＝1－

4422222

12

sin2 x 2131（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x． 4444433

解法二 y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝4 sin x(sin x)′＋4 cos x (cos x)′

＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2

x)

＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x

【变式2】求下列函数导数：

（1）y22； x2212x212cosx（2）．求函数y。 的导数（sinx0）2sinx【答案】 （1）设u=1－2x，则yu2

12。

13∴y'xy'uu'xu2(4x)

23312x2222 (12x)(4x)2x(12x)。

222(12x)12xcosxcosx2cosx(cosx)'sin2xcosx(sin2x)'2'（2）．方法一：y'2 226sinxsinxsinxsinx2cosx(sin3x2cos2xsinx)2cosx4cos3x 。 35sin6xsinxsinxcos2x(cos2x)'sin4xcos2x(sin4x)'方法二：∵y，∴y'

sin4xsin8x2cosx(sinx)sin4xcos2x4sin3xcosx2cosx4cos3x 。 835sinxsinxsinx类型四：利用导数求函数式中的参数

例5 （1）f(x)ax3x2，若f'(1)4，则a的值为（ ）

A．

3210131619 B． C． D． 3333（2）设函数f(x)cos(3x)(0)，若f(x)f'(x)是奇函数，

则=________。

【解析】 （1）∵f'(x)3ax6x， ∴f'(1)3a64，∴a210，故选A。 3（2）由于f'(x)3sin(3x)，

∴f(x)f'(x)cos(3x)3sin(3x)2sin3x56， 若f(x)f'(x)是奇函数，则f(0)f'(0)0，即02sin所以56， 5k(kZ)。 6又因为0，所以6。

【点评】 求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数运算法则以及复合函数的导

数运算法则，转化为常见函数的导数问题，再利用求导公式来求解即可。

举一反三： 【变式1】

已知函数f(x)axbxcx过点（1，5），其导函数yf'(x)的图象 如图3-2-1所示， 求f(x)的解析式。 【答案】∵f'(x)3ax2bxc，

由f'(1)0，f'(2)0，f(1)5，得

2323a2bc0a212a4bc0，解得b9， abc5c12∴函数yf(x)的解析式为f(x)2x9x12x。 【变式2】已知f(x)是关于x的多项式函数， （1）若f(x)x2xf(1)，求f(0)；

（2）若f(x)3x6x且f(0)4，解不等式f(x)0. 【解析】显然f(1)是一个常数，所以f'(x)2x2f(1)

所以f'(1)212f(1)，即f'(1)2

2232所以f'(0)202f(1)4

∵f(x)3x6x，∴可设f(x)x3xc ∵f(0)c4 ∴f(x)x3x4(x1)(x2) 由f(x)0，解得x|x1且x2

322232