导数在中学数学解题中的应用

导数在中学数学解题中的应用

摘 要

导数不仅是中学教材中必不可少的一部分，也是历年高考的考点。导数在中学数学

解题中的应用是十分广泛的，它包含了导数对不等式的证明、求曲线在某一点的切线斜率、分析函数的图像、极值与最优化、函数单调性等方面的应用。应用导数知识解决中学数学问题不仅可以锻炼学生的思维，同时也简化了解题的难度，因此对导数知识进行整理是十分有必要的。本文对导数在中学数学解题中的应用进行了归纳整理，同时也对导数应用中需要注意的几点事项做出了标注，分析了导数应用中的易错点。从而为初学者查询导数相关知识提供了资料。

关键词： 导数 中学数学 应用

1 / 211 / 211

导数在中学数学解题中的应用

ABSTRACT

Derivative is not only an essential part of the middle school textbooks, but also the college entrance examination over the years. The application of derivative in high school in mathematics is very extensive, it contains a proof, derivative of inequality in the analysis of the demand curve, tangent at a point in the application of function optimization, image, extremum and monotony of function etc.. The application of derivative knowledge to solve mathematical problems in middle school can not only train the students' thinking, but also simplify the difficulty of solving the problem. This paper summarizes the application of derivative in the middle school in mathematics, but also on some matters needing attention in the application of derivative made annotation, analyzes the application of derivative in error prone points. So as to provide useful information for beginners to query derivative knowledge.

Keywords: Derivatives；Middle school mathematics；application

2 / 212 / 212

导数在中学数学解题中的应用

1.绪论

导数是微积分中一个重要的核心内容，导数的推广已经十分广泛，大多数的国家已经将导数列入到了中学教材中。在我国，导数也是历年高考常常出现的考点。导数是解决许多数学问题的有力工具，利用导数知识可以解决中学的很多数学问题。可以解决中学数学中计算曲线在某一点的切线斜率、分析函数的性质与图像、求解方程的根、证明不等式、判断函数的单调性、求解最值的最优化问题等。

2．导数在中学数学解题中的应用

2.1导数在计算曲线在某一点的切线斜率中的应用

在计算曲线在某一点的切线斜率的问题时，主要就是利用到导数的几何意义：

fx在某一点

px0,y0的导数fx0就是曲线yfx在xx0处切线的斜率。

例2.1已知曲线L：yx2x1，求经过点

2p2,1的曲线L的切线方程。

p2,1，此时便可根据点斜式能够计

分析：主要是计算出曲线L在P点处的斜率K，又因为点算出过点P的曲线L的切线方程了。

解：由题意可知： 曲线L： yx2x1

2y2x2

过点P的斜率K为：

p2,1

22222 kyx曲线L过P点的切线方程为：

y12x2

化简得：

2xy30

点评：本题在计算曲线L的切线方程时，主要考查的对象是导数的几何意义。 例2.2在x2y上求一点P，使P到直线yx4的距离最短。

2

分析：本题的解法有多种，它可以利用初等解法，也可以利用导数的几何意义进行计算。下面

3 / 213 / 213

导数在中学数学解题中的应用

我将用不同的解法进行作答，进行对比。便可以充分的体现出导数解题时的便利性。

解法1：

平移直线yx4，使其与曲线x2y相切，可知P点即为所求。 设切线yxb，代入曲线方程x2y，得：

2212（1） xxb2

又因为直线yxb与曲线x2y相切，

212b0

解得：

b（1）式为

12

121xx0 22故切点为1, 解法2： 设点

12px0,y0则点P到直线的距离为：

171272x01x1x02x04x0y0422202 d22222由上式可知，当x01时d取得最小值72 4故点P为1, 解法3：

由题可知，点P必为平行于直线yxb的直线与抛物线x2y的切点。 因此过P点的切线必定平行于直线yx4 由导数的几何意义可知，y又

21212x在P点的数值为1 2yx设px0,y0则yx01

4 / 214 / 214

导数在中学数学解题中的应用

x011，故p11,

y202点评：利用不同的解法，我们可以清楚地认识到利用导数工具进行求解的简洁性与便利性，掌握导数这一工具，可以提高我们解题的效率。本题在导数方面主要运用的是导数求解曲线的斜率的知识，即利用导数的几何意义进行求解。

2.2导数在分析函数的性质与图像中的运用

在利用导数分析图像时应着重注意其切线变化的大小关系。理清导数与函数图像之间的关系。倒数图像与函数的图像有者密不可分的联系，下面我将用3个例题来简单讲解他们之间的关系。

2.2.1已知函数图像，画出其导函数的图像 例2.3已知函数

图2.1 函数图像

图2.2 函数图像

fx的图像如图2.1、图2.2所示，请画出其导函数fx图像的大致情况

y y 0 0 x 分析：根据导数与函数图像之间的关系，在已知函数图像的情况下要求其导函数的图像，我们就只需判断出其函数图像在其各个切点的斜率的变化情况，便可以得出其导函数图像的大致情况。

解：①图2.1的

fx的曲线上的切点的斜率变化是越来越大，当x0时，斜率大于0；当x0时，斜率等于0；当x0时，斜率小于0.其图2.1的导函数图像如图2.3所示。

②图2.2的

fx的曲线上的切点的斜率变化是各切点每处都不小于0，当x0时斜率越来越

大；当x0时，斜率等于0；当x0时斜率越来越小。其图2.2的导函数图像如图2.4所示。

5 / 215 / 215

图2.3 导函数图像

y y 0 x 0 x 图2.4 导函数图像

导数在中学数学解题中的应用

点评：此类题目在解题时主要应用的是导数与函数图像之间的关系以及利用到导数的几何意义，在解决此类问题时要紧紧抓住切线的斜率的大小变化的情况。

2.2.2已知导函数图像，画出其原函数的图像 例2.4已知函数y像是（）

-2 -1 0 1 A

B 图2.5 导函数图像

xfx的图像如图2.5所示，下面4个图像中能大致表示yfx的图

y -1 0 1 x

yy -1 0 2 3 x-1 0 1 2 x y y x -1 0 1 2 x

C 6 / 216 / 216 图2.5-2 选择原函数图 D 导数在中学数学解题中的应用

分析：根据x的符号变化，可以得到

fx的符号变化。因此而得到其fx的单调性的变化，

便能够以此来画出其原函数的大致图像。

解：由图2.5可知，当x1时xfx0，则

fx0，原函数为增函数，图像上升；当

1x0时xfx0，则fx0，原函数为减函数，图像下降；当0x1时xfx0，

则

fx0，原函数为减函数，图像下降；当x1时xfx0，则fx0，原函数为增函

数，图像上升。

综上所述，只有C选项满足上述条件，故选C。

点评：本题解题时所用方法与例2.3相同，但例2.3与例2.4是两个完全相反的问题，在做此类题目时要注意题目要求，分清两个题目类型之间的区别。

2.2.3已知导函数图像，求解原函数 例2.5已知函数

fxax3bx2cx在点x0处取得极大值5，其导函数yfx的图像经

过点1,0，2,0如图2.6所示，求：（1）x0的值；（2）函数的解析式。

图2.6 导函数图像

y 0 1 2 x

分析：首先根据图像信息，判断出其极大值点即x0的值。再利用题干信息，找出三个已知点，再分别代入其相应的函数式中，解出待定系数，从而得到函数的解析式。

解：（1）由图像可知，当x1时

fx0，fx在,1上递增；当1x2时fx0，

fx在1,2上递减；当x2时fx0，fx在2,上递增。

因此

fx在x1处取得极大值。x01

7 / 217 / 217

导数在中学数学解题中的应用

（2）由题意可知：

fxax3bx2cx

f10 f20 f15

fx3ax22bxc又

3a2bc0a212a4bc0解得b9 abc5c12故函数的解析式为

fx2x39x212x

点评：本题主要利用的是导函数的性质，结合图像信息来进行解题的。在利用导数解题时，我们不仅要找寻题干中蕴含的信息，同时也不能忽视图像中所包含的信息。

2.3导数在求解方程的根中的应用

利用导数求解方程的根可以分为以下几个方面:1.利用导数解决根的唯一性。2.利用导数求方程根的个数。3.利用导数求解待定系数的取值范围。4.利用导数求解有关超越方程的根。下面本人将结合实例对以上几个方面进行分析。

2.3.1利用导数解决根的唯一性 判断方程

fx0在某区间内有唯一实根，即判断函数yfx在该区间上有唯一零点。我

1xInx x0在区间0,e上有唯一零点。3们可以通过探究函数的单调性，利用零点存在定理进行判断。

例2.6证明函数fx

分析：对于证明函数有唯一零点（方程有唯一实根）的问题上，首先应考虑的是零点是否存在，利用导数研究函数区间的单调性，证明函数在该区间上单调就可证明出函数在该区间上有唯一零点。

证明： 对函数fx在区间0,e上又

111x3 xInx进行求导，得：fx33x3xfx0，fx为减函数

1e0 fe10

33f0f1f0fe0

故函数yfx在区间o,e上有唯一零点

点评：在此问题上，如果区间两端的函数值是一正一负且函数单调，则在该区间内函数必有唯一零点（方程有唯一实根）。

2.3.2利用导数求解方程根的个数

用导数来求解方程根的个数，实际上用导数来探究函数y像有几个交点的问题。

fx的图像与函数ygx的图

8 / 218 / 218

导数在中学数学解题中的应用

例2.7已知

fx4In1x，gxx2k1，若fx与gx在0,有两个不同

的交点，求k的取值范围。

分析：此题主要考查的是对数函数与二次函数的交点问题且含有参数k，因为对数函数与二次函数曲线结构的特点，我们很难具体有效地把握它们交点的情况，所以对于此类问题我们可以用导数将曲线交点的问题转化为

解： 令

fxgx在0,有实根的问题。

fxgx则4In1xx2k1

4In1xx2k1

构造函数hx4In1xx

2hx2x要让hx0则x0,1

4 1xx0,1时hx0，hx在0,1上递增； x1,时hx0，hx在1,上递减。

故hx的极大值点为1，极大值为h14In21 又

h00且4In1xx2k1 （1）

转化为hx与yk1的交点问题。 要使（1）式在0,有两个不同的实根，则

0k14In21解得1k4In22

当1k4In22时（1）式有两个不同的实根，即在该区间

fx与gx有两个不同的

交点。

点评：用导数工具来探究

fx与gx的交点问题时有下面五个步骤：1.构造函数

hxfxgx；2.求hx；3.求出hx的单调性与极值;4.找出hx与x轴的交点情况,

列出不等式;5.求解不等式,得出结论。 2.3.3利用导数求解待定系数的取值范围

例2.8：a取何值时，关于x的方程x2ax20在0,1上有解？



9 / 219 / 219

导数在中学数学解题中的应用

分析：可以先将a与x分离开，再利用导数求函数的值域。 解：

x2ax20则ax2将a看作是x的函数 xx0,1，a12ax在0,1上是增函数

x2x20 故a123 1点评：此题也可以结合二次函数

fxx2ax2的图像，使其问题转变为区间根的分布问

题，但需分类讨论，然而利用导数来求其函数的值域，就可以将其运算量减少，从这个方面看，也可以看出其导数解题的简洁性。

2.3.4利用导数求解有关超越方程的根

例2.9证明方程x2Inxx2x2有唯一解。

2

分析：此方程由观察易知x1是其一个实根，但我们无法说明此方程根的唯一性。我们可以利用导数工具来解决这一问题，在解题过程中我们应注意函数的定义域，必须要在定义域范围内进行求解。

证明：

x22Inxx2x2

移项得：

x22Inxx2x20

令

fxx22Inxx2x2 x0

212x22xxfx2x1xxxx12xx2xx2x

x0

当

2xx2xx20

xx10即x1时fx0，fx为增函数；

10 / 2110 / 2110

导数在中学数学解题中的应用

当x10即0x1时

fx0，fx为减函数.

y 0 1 x

图2.7 函数图像

fx极小值f10 如图2.7所示，此时图像与x轴相切，与x轴只有唯一的一个交点。

故方程x2Inxx2x2有唯一解x1

点评：在解决有关超越方程根时，我们很难进行猜根求解，但我们可以通过构造函数后，进行求导，画出草图。结合图像，便可以找出其交点，使我们能够较快地解决问题。

2.4导数在证明不等式中的应用

利用导数证明不等式，可以根据导数的定义、函数的单调性、最值性以及构造函数来证明不等式。其中构造函数可以通过作差法、换元法、取对数等方法进行构造，然后再通过求导的方法加以证明。在构造函数证明不等式方面我将以其中的换元法来进行叙述。

2.4.1利用导数的定义证明不等式

21221xInx，求证x1时，x3x2Inx 232211分析：令gxx3x2Inx，x1,.因为g10要证当x1时，gx0326例2.10已知函数fx即gxg10，只需证gx在1,上单调递增。

证明： 令gx2312xxInx则 321gx2x2x

x当x1时

11 / 2111 / 2111

导数在中学数学解题中的应用

gx2x2x1xx12x2x1x

x1 x10 2x2x14

gx0，gx在1,上单调递增

故

10 62121x3x2Inx0即x3x2Inx 3232gxg1点评：在利用导数的定义来证明不等式时，先要将函数的一阶导数给计算出来，然后在确定函数在某点的导数值和函数值，接着便利用导数的定义来证明其不等式。

2.4.2利用函数的单调性来证明不等式

例2.11已知mn0，a,bR.且a1b10，求证：anbn分析：

mambmn

anbnambmInanbnInambmmInanbnnInambmmnmnInabnnnInambmmInaxbxfnfmfx，在0,上单调递xmn0减。

证明： 令fxInaxbxxxx x0则

xaxInabxInbfxabxxInaxbx2xaxInabxInbaxbxInaxbxx2axbx

axbxaxbxaxbxxxxaInxbInxaInxbInxxxxxabababab0 2xx2xxxabxabfx又

Inaxbxx在0,上单调递减

mn0fnfm12 / 2112 / 2112

导数在中学数学解题中的应用

即

InanbnnInambmmmInanbnnInambm

mnInanbnInambm anbnambm

mn点评：利用函数的单调性证明不等式，首先是利用导数工具先计算出函数的导函数，再利用导函数的性质判断出函数的单调性，再证明不等式。

2.4.3利用最值性证明不等式

xb例2.12：gAx11的定义域是Aa,b，其中a,bR，ab，若

axx1Ikk2,k122222，x2Ik1k1,k2求证：gIix1gIi1x24

kk1kN

分析：首先构造一个函数，然后求出在某区间中的全部驻点和不可导之处的函数的极值和区间两个端点之处的函数值，将它们进行比较，证明不等式成立。

证明：

xbgAx11

ax2x22b2b2x233令gAx0时， gAaxax则

22x4ax3a2b2a2bx0

即

x化简得

4a2b2axx2ab0

x2abx2axab0

x2axab0或x2ab0

0ab x2axab0无解

由x2ab0解得：xab或xab舍去

13 / 2113 / 2113

导数在中学数学解题中的应用

gx0时xab,b，gx在ab,b上单调递增； gx0时xa,ab，gx在a,ab上单调递减

xab是gAx的极小值点

又

gAx在a,b上只有一个极值点

gAbab21a是gAx的最小值

3故gIIx1的最小值为：

k12gIi3k2k1k322k121213， kk2gIi1x2的最小值为：

k2221 k1k1又

22222242 k2k13k3k13kk1x1Ikk3,k12，xI2k1k1,k222时

gIix1gIi1x24 kN成立

kk1点评：根据连续函数在封闭区间上的连续性、顺序性等可得到如果函数在封闭区间

a,b上连

续时，则一定存在其最大（最小）值。这就是我们用来求解连续函数的最大（最小）值的理论依据。如果函数

fx在x0处可导。那么x0还是其稳定点。因此我们只需通过比较fx的稳定点、区间

fx在区间上的最大（最小）值，从而证明不等式的

端点和不可导处的所有函数值，便可以找出成立。

2.4.4利用构造函数证明不等式（换元法） 例2.13已知函数

fxInx，gxfxax23x，函数gx的图像在点1,g1处

fx的切线平行于x轴（1）求a的值；（2）求函数gx的极小值；（3）设斜率为k的直线与函数

14 / 2114 / 2114

导数在中学数学解题中的应用

的图像交于两点Ax1,y1,Bx2,y2，其中x1x2，证明

11kx2x1

分析：此题是一道综合性较强、难度较大的题目，它属于函数与导数的综合性题目，主要运用到导数的几何意义以及导数的性质等方面来证明不等式，下面是利用换元法来构造函数，再利用导数知识对不等式进行证明。

解：

（1）a1 （2）gx的极小值为g12 （3）由题意，可得：ky2y1Inx2Inx1即Inx2kx2Inx1kx1

x2x1x2x11k x令hxInxkx则hx当x11时hx0，hx在,上为减函数； kk11时hx0，hx在0,上为增函数。 kk1x2 k当0x又

hx1hx2 x1故

11k x2x1点评：此题运用导数求函数的单调性、极值、柯西不等式的应用及不等式证明等方面的知识进行解题，在本题的处理上运用换元法便大大减小了计算时的难度。

2.5导数在判断函数单调性中的应用 如果函数

fx是连续函数，若fx在xx0处其导函数fx0，也就是指其该点处切线

fx在点x0处附近单调递增；若fx在xx0处其导函数fx0，

fx在点x0处附近单调递减。

的斜率大于0，那么函数

也就是指其该点处切线的斜率小于0，那么函数

例2.14讨论函数

fx3x2x3的单调性。

分析：函数的单调性与其导函数的正负有关。如果导函数为正，则函数为增函数；如果导函数为负，则函数为减函数。

解：

15 / 2115 / 2115

导数在中学数学解题中的应用

fx3x2x3 fx6x3x23x2x

令

fx0解得：x0,2 令fx0解得：x,02,

fx3x2x3在0,2上单调递增，在,02,上单调递减。

点评：假设函数

fx在a,b上连续，在a,b内处处可导，则有如果在a,b内fx0，则

fx在a,b上为增函数；如果在a,b内fx0，则函数fx在a,b上为减函数；如fx在a,b内fx0，则函数fx在a,b上为常函数。

果函数

2.6导数在求解最值和最优化问题中的运用 2.6.1导数在求解函数的最大(小)中的应用 例2.15求函数

fx2x33x212x14在闭区间3,4上的最大值和最小值。 fx进行求导，再找出其极值点，最后对所有的极值点、区间端点的函数值

分析：先将函数

进行对比找出其最大值和最小值。

解：

fx2x33x212x14

fx6x26x126x2x1

令

fx0解得：x12,x21且没有不可导的点存在

x12,x21是fx的极值点

又

f323 f234 f17 f4142

比较上述四个值：

f1f3f2f4

fx在3,4上的最大值为142，最小值为7

点评：在求解可导函数的最值问题时要将所有的极值点、不可导点、区间端点的函数值进行对比，要做到不重不漏。

2.6.2导数在求解最优化问题中的应用

例2.16某新农村需要围建一个面积为512m2矩形晒谷场，一边可以利用原来的石条沿，其它三边也需要砌新的石条沿。问：晒谷场的长和宽各为多少，才能使材料用得最省？

16 / 2116 / 2116

导数在中学数学解题中的应用

分析：在求解本题时，首先设出晒谷场的宽为xm，则长为于x的函数

解：

512m。因此，便可以设出一个关xfx，再利用导数工具便可以算出材料最省的方案。

512m x512令石条沿的总长为fx2x x0

x设晒谷场的宽为xm，则长为

5122x16 fx222xx2fx在0,内只有一个极值点x16即fx的极小值点为16

又

51232 16当晒谷场的长为32m，宽为16m，才能使材料用得最省。

点评：在求解最优化问题时，应利用导数求出极值点，找出其最值。从中找到解决问题的最佳方案。

3．导数在中学数学解题时的几点评注及易错点

3.1对导数的几何意义不明确而导致在应用中的错误

对导数的几何意义理解地不够透彻，也可能会使其在解题时出错，函数几何意义是函数曲线在点P数的曲线的切线方程。

例3.1求解曲线y2xx经过点1,1的切线方程。

2（fx）在x0处的导数的

x,fx处的切线斜率。利用导数的几何意义使我们更加容易求解函

00错解：

y2x2x y4x1

将1,1代入y4x1，可得：

ky14113

切线方程为:

y3x4

17 / 2117 / 2117

导数在中学数学解题中的应用

错因：本题时由于思维上的定势而造成的错误，因为点1,1不在曲线上，故在解题时盲目地将

1,1代入导数方程求出的切线斜率是错误的。

正解：

2设Px1,y1则y12x1x1

ky14x11 1 y112x12x11又k 2 x11x11联立12得：x10或2

当x10时切线方程为yx；当x12时切线方程为y7x8 3.2导数在解题时对极值点、驻点和拐点的区分 极值点定义：令函数y有

fx。给定x0的一个小邻域x0,，对于任意xx0,，都

fxfx0，称x0是fx的极小值点；否则，称x0是fx的极大值点。极小值点和极大

值点统称为极值点。

驻点定义：令函数yfx，若fx00，称x0是驻点。

拐点定义：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。 拐点的判定定理：令函数yfx，若fx00，且xx0，fx0；xx0时

fx0或xx0，fx0；xx0时，fx0，称点x0,fx0为fx的拐点。

极值点的必要条件：令函数yfx，在点x0处可导，且x0是极值点，则fx00。

在区分极值点、驻点与拐点时需从上述的几个定义、定理进行仔细理解与区分。驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。在可导的情况下，极值点一定是驻点。

3.3导数在中学解题时不可导点的判定

在判定不可导点时可以从导函数、导数的定义以及假想延拓法来判定不可导点。

x2,x1例3.2fx为了使函数fx在x1处连续且可导，a,b应该取何值。

,x1axb解：

据已知函数在x1处连续且可导，因此在x1处左右导数均存在。 根据假想延拓法知，函数在x1左导数为f12

18 / 2118 / 2118

导数在中学数学解题中的应用

于是再根据假想延拓法知，函数在x1处右导数为f1af12 再根据函数fx在x1处连续，得：

ab1

解得：

b1

3.4导数在中学数学解题时忽视了定义域的错误分析 例3.3求函数yIn23x的单调区间。 错解：

yIn23x

y令y0即

33 23x3x230解得：

3x2x2 3函数的单调增区间为22,，减区间为,

33错因：忽视了定义域。 正解：

2yIn23x y的定义域为,

3又

y故函数的单调减区间为,

30

3x223３.5导数在解题中因极值点与导数为零的点区分不清的错误分析 例3.4已知函数错解：

fxx3ax2bxa2在x1处有极值为10，求a,b的值。

fxx3ax2bxa2 fx3x22axb

a4a3f102ab30故即2解得：或

f110aab110b11b319 / 2119 / 2119

导数在中学数学解题中的应用

错因：函数可导时在xx0处取得极值的充要条件为①数值的符号相反。错解没有对条件②加以检验。

正解：

fx00；②在xx0左右两侧的导

fxx3ax2bxa2 fx3x22axb

a4a3f102ab30故即2解得：或

f110aab110b11b3a32当时，fx3x26x33x1，易知fx在x1的两侧同号，故fx在

b3x1处不存在极值。

当a4时，fx在x1的两侧异号，故fx在x1处存在极值。

b11综上所述：

a4,b11

本文将归纳总结出利用导数解决中学数学问题的若干方法及在利用导数解题时需注意的方面和易错点，从而方便导数初学者便于查找，在学习导数的初级阶段能够有更多的资料进行学习借鉴，在利用导数解题时注意到自己平时忽略到的方面。由于篇幅的原因，对于运用导数知识解题的错误类型1.函数在某点的导数是一个函数值；2.曲线过某点的切线方程，其点不在曲线上；3.单调区间的记法错误；4.把极值误认为最值；5.忽视其定义域等不再一一列举。

参考文献

[1] 王锦. 导数在中学数学中的应用[J]. 中学时代,2012,24:131. [2] 吴涛. 关于导数教学的建议[J]. 中学数学月刊,2004,02:13-14.

[3] 蒋金鹏. 函数与导数图像关系问题解析[J]. 中学生数理化(高二版),2012,Z1:19. [4] 谢喆. 如何用导数思想探究方程根的分布问题[J]. 甘肃教育,2012,19:87. [5] 李萍. 导数和方程的根[J]. 数学通讯,2005,06:17.

[6] 鞠桥兴. 借助导数、数形结合研究二类方程的根[J]. 中学课程辅导(江苏教师),2011,06:88. [7] 苏明慧. 导数在不等式证明中的应用[J]. 科技信息,2012,30:360-361.

[8] 金钟植,岳海学. 利用导数证明不等式的2种通法[J]. 高中数理化(高三版),2007,Z2:10-12. [9] 孙红梅. 看似无法实有法 构造函数解汝忧——浅析用导数证明不等式[J]. 中学数学,2014,17:48-49.

[10] 杨雯. 正确认识导数与函数单调性、极值、最值之间的关系[J]. 科技信息,2010,10:487.

20 / 2120 / 2120

导数在中学数学解题中的应用

[11] 周学勤. 导数求最值与最优化[J]. 吕梁教育学院学报,2008,04:56-57+70. [12] 商喜英. 例析导数在高中数学解题中的易错点[J]. 高中数理化,2015,02:10. [13] 郭卫霞. 正确认识驻点、极值点与拐点[J]. 科技信息,2009,30:101.

[14] 谷振涛,白俊霞,刘琦. 不可导点的一些注记[J]. 中国科技信息,2010,14:204-205. [15] 王芳. 导数中易错问题[J]. 数学学习与研究,2016,11:113.

[16] 李刚豪. 导数应用中的五大易错点[J]. 中学生天地(C),2010,03:31-33.

21 / 2121 / 2121