大学物理学-电磁感应教案

授课章节 第11章 变化的电磁场 掌握法拉第电磁感应定律和楞次定律，并能熟练地运用分析电磁感应问题．理解涡旋电场的概念，掌握动生电动势和感生电动势的计算方法． 了解自感和互感现象及其规律，了解自感系数和互感系数的计算方法．理解磁场具有能量，并能计算典型磁场的磁能． 理解位移电流的物理意义，并能计算简单情况下的位移电流． 理解麦克斯韦方程组积分形式中各方程的物理意义．了解电磁场的能量及计算． 电磁感应定律及楞次定律; 动生电动势和感生电动势的计算；位移电流；麦克斯韦方程组的积分形式。 教学目的 教学重点、难点 教学内容 §11.1 电磁感应定律 一、电磁感应现象 在导体回路中由于磁通量变化而产生电流的现象。可分为两种情况： 一是回路某一部分相对磁场运动或回路发生形变使回路中磁通量变化而产 生电流，另一种情况是回路静止而磁场变化使回路中磁通量变化而产生电流。 二、楞次定律 闭合回路中感应电流的方向，总是使感应电流的磁场通过闭合回路的磁通量 去补偿或反抗引起感应电流的磁通量的变化。注意：“补偿或反抗”的是磁通量 的变化，而不是磁通量。 楞次定律还可以表述为：电磁感应的“效果”总是抵消引起电磁感应的“原 因”。例如：当ab向右运动时、cd也向右运动。 c a × × × × × × × × B  × ×c × × × × ×c × d b 三、电动势 要在导体中维持稳恒电流，必须在其两端维持恒定不变的电势差． 1．非静电力与电源 能把正电荷从电势较低的点(如电源负极板)送到电势较高的点(如电源正极 板)的作用力称为非静电力，记作Fk 1

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IA B 电容器的放电 用电器 IE IEk电 源 提供非静电力的装置叫做电源． 2. 电动势 非静电场作用在单位正电荷上的非静电力，记作Ek。所以 EkFk。 q电动势个电源的电动势，定义为把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，电源中的非静电力所作的功，即  Ekdl。 电动势与电势一样，也是标量。规定自负极经电源内部到正极的方向为电动势的正方向。 由于电源外部Ek为零，所以电源电动势又可定义为把单位正电荷绕闭合回路一周时，电源中非静电力作的功。即 Ekdl。 L此定义对非静电力作用在整个回路上的情况（如电磁感应）也适用。这时电动势的方向与回路中电流的方向一致。 四、法拉第电磁感应定律 不论任何原因使通过回路面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势与磁通量对时间的变化率成正比．即 εKdΦ dt式中负号表明电动势的方向，K为比例系数．在(SI)制中ε以伏特计，Φ以韦伯计，t以秒计，则K=1，所以 若线圈密绕N匝，则 d dtNdd dtdt其中N叫磁通链 磁通计原理 设回路为纯电阻R的电路，则电流I与电动势同位相2

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tt1d11 qIdtdtd(0) RdtRR000 可见，q与(0)成正比，而与磁通量改变快慢无关。设t0时00， 只要测出R和q、即可得到；如果已知回路面积、就可以算出磁感应强度B。 这就是磁通计原理。 §11. 2 动生电动势与感生电动势 一、动生电动势 1.在磁场中运动的导线内的感应电动势 电动势的定义：电源的电动势定义为单位正电荷绕闭合回路运动一周时、电 源中非静电力作的功。即 Ekdl Ek为单位正电荷受的非静电力。 如果导线不闭合、则单位正电荷从导线一端a运动到另一端b时，非静电力 Ek作的功就是导线a、b两端的电动势。即 babEkdl a 2、动生电动势： 当导线ab在磁场B中以速度v运动时，导线ab中的电子也以速度v运动， 磁场B作用在上的电子洛伦兹力 fevB  f B就是动生电动势中的非静 而单位正电荷受的洛伦兹力Eke 电力。所以，动生电动势 1dI，在从t0到t时间内，通过电路的电量 Rdt3

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ab a 当导线回路闭合时、回路中的动生电动势  (B)dl。 这是动生电动势的一般表示式。对此式要注意两个角度的关系： （1） 与B的夹角1； （2）（×B）与dl的夹角2。  如1=0（或），或2，都会使得0。 2 例11.1 在长直导线电流I的附近有一长度为L 的共面导线ab与长直导线 垂直，a端距长直导线为d、ab以平行于长直 导线的速度v向上运动。求：ab上的感应电 动势。 解：在ab上取d l、与长直导线的距离为 r，该点的磁场 μ0ΙB 2r 所以d l上的感应电动势 0I0Ivd(B)dldrcosπ-dr 2r2r Ldμ0Ivμ0IvLdab上的感应电动势 εab- dr-ln 2πr2πdd 感应电动势εab为负值表示其方向从b到a ，即a点电势高。 例11.2 在匀强磁场 B中，导线oA绕与B平行的轴oo以旋转。OA =l， OA与轴的夹角为。求：OA上的感应电动势。 解：取OA上一段dr、距o点为r，则其速度υωrsinθ，v的方向垂直纸 面向内。 ∵ B与B垂直又与垂直  ∴ B在纸面内且与dr的夹角= 2 (B)dl。 b4

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A   dr B  O llπ εoA(Bsin)drcosrsinBdrsin 200 l1222ωBsinθrdrωBlsinθ 20 ∵ εoA0，∴ A点电势高。 d 本题也可以用法拉第电磁感应定律求。 dt dφω122222επrΒ/ΤπlsinθΒΒωlsinθ dt2π2 的方向由(vB)dl决定、得从o到A 。 例11.3 在匀强磁场中以匀角速度旋转的线圈中的交变电动势和交变电 流。 解：设B与轴 oo垂直、时刻t线圈法线方向n 与B夹角为， θθ0ωt 则通过线圈的磁通量 ΦBScosθ O n  B O dΦd(cosθ)εiNNBS dtdt dθNBS(sinθ)NBSωsin(ωtθ0) dt 取t=0时0=0、令0=NBS为电动势的 峰值，则 /B O /5

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一般线圈并非纯电阻，所以电流与电动势有一位相差； 即 II0sin(t)，为交变电流。 dB dt二、感生电动势 1.涡旋电场： E涡（1）涡旋电场是由变化的磁场产生的。 放在变化的磁场附近的静止导体回路中会产生感生电 流、表明回路中有电动势，由于导体回路静止、所以产生电动势的非静电力不是 洛沦兹力。 Mexwell指出这个非静电力就是涡旋电场、它是由变化的磁场产生 的。 （2）涡旋电场的环流 按 Mexwell的观点，在涡旋电场力的作用下，单位正电荷沿闭合回路L移 动一周时、涡旋电场力作的功即感应电动势，由法拉第定律知 dΦ E涡dl L dt ddΦ即 E涡dl BdS LdtSdt dBE涡与成左旋关系。E涡的电力线是闭合的、环流与积分路径有关。 dt dB 例11.4 均匀磁场B充满半径为R的圆柱形体积内，B以的变化率变化； dt 长L的金属棒放在磁场中且与圆柱形轴线垂直，如图。求：AB。 dΦ 解: ∵ E涡dl ,设逆时针方向为闭合回路正向（即设定E涡的 dt 正向为逆时针方向） 由E涡的对称性有： dB2πrE涡πr2(rR) dt i0sint 为交变电动势、周期T。 6

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LrdBεAB()dlcosθ 2dt0 LrcosaR2()2 2 LdBLR2()2 ∴ AB2dt2 AB0时电动势方向从A到B；反之,从B到A.。 本题也可以用法拉第电磁感应定律求解。 ddBLdBLSR2()2 AB2dt2dtdt （Bo0） 若OA = OB > R，仍可取一同心圆 L为积分路径。在L上各点 B = 0， 但不能因此认为E涡0。因为L所包围的面积内是有磁通 量变化的。 此时 有： dB 2rE涡R2 dt R2dB E涡 2rdt AB要分圆柱内、外两段的E涡积分计算。 §11. 3 自感应与互感应 一、自感应与自感系数 1、自感应现象：回路中变化电流产生的变化磁通量在回路自身激起感应电 动势的现象。 2.自感系数： 从毕-萨定律知，在回路形状、大小和磁介质（非铁磁质）一定的条件下 BI、I ∴ E涡7 rdB 2dt大学物理学

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可以令LI、比例系数L称为回路的自感系数。即 Φ L ， 单位：亨利（H）。 I自感系数是回路“电磁惯性”的量度。 3.自感电动势 dLI ∵ dt d(LI) ∴ 、当L为常数时 dt dI L dtNdI 当线圈有N匝时，定义L，仍有L。 IIdt例11.5 计算长直螺线管（长l、截面半径R 、单位长度匝数n 、充满磁 导率的磁介质）的自感系数。 N 解： ∵ BnII lN ∴ NNSBNSI l N2 Sn2lSn2V。 LIl 二、互感应与互感系数 1.互感应现象：两邻近线圈的电流分别是I1和I2，一个回路的电流变化在 另一个回路中引起电磁感应的现象叫互感应。 2.互感系数： 在两回路形状、相对位置及磁介质（非铁磁质）固定的条件下， B1I121B1S2I1 同理 12I2 2112,M12可以定义 M21 ； I1I2 8

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N22121N11212,M12 M21； I1I1I2I2 并可证明 M21M12M 叫两线圈的互感系数。单位：亨利。 3.互感电动势： d21d(M21I1)dIdI 21M211M1 dtdtdtdtdI 同理 12M2。 dt例11.6 无磁漏、完全耦合的两线圈的互感系数（如上图）。 解：设线圈1总匝数为N1,长度为l1、单位长度匝数为n1，截面积S，电流 I1；线圈2总匝数为N2,长度为l2、单位长度匝数为n2，截面积S，电流I2。磁介 质的磁导率均为。 电流I1在 线圈2中产生的互感磁链 21N2B1SN2n1I1S、所以 21N2n1S， M21 I1 同理 M12N1n2S 。 因为无磁漏、两线圈完全耦合.N2l2n2N1l1n1 ；有 M21N2n1Sl2n2n1Sn1n2l2Sn1n2V2， M12N1n2Sl1n1n2Sn1n2l1Sn1n2V1。 22∵ M21M12 =M。又因为，L1n1V1,L2n2V2 22所以 Mn1n2V1n1n2V2n1V1n2V2L1L2。 例11.7 一矩形线圈长为a，宽为b，由100匝表面绝缘的导线组成，放在 一根很长的导线旁边并与之共面。求图中（a）、（b）两种情况下线圈与长直导 线之间的互感。 解：如（a）图已知长导线在矩形线圈x 处磁感应强度为 对多匝线圈可定义： 9

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通过线圈的磁通链数为 2bNINIa2b00  adxln 2x2bb 所以，线圈与长导线的互感为 M0aln2 I2 图（b）中，M=0，消除互感方法之一。 §11.4 磁场能量 一、自感磁能 R L  K 自感磁能 t = 0时接通开关K，有 dI LIR dt两边乘Idt从t = 0到t积分 tIt 2 IdtLIdIIRdt 00o tt 2可见，电源作功 Idt等于电阻上消耗能量IRdt与线圈中磁场能量00 I12 之和。 LIdILI0 2 2以长直螺线管为例，因为LnV,BnI 所以 121B2B22WLInV22V 222n 21W 2  引入w 代表磁场能量密度，则 V 22 WB211wBHH2。 V222 B10

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这虽然是以长直螺线管为例导出的，但对非均匀磁场也成立。非均匀磁场的总磁能 B2WwdVdV ， 2VVV是磁场不为零区域的体积。 §11.5 位移电流 麦克斯韦方程组 一、 电场和磁场基本规律 1.静电场和稳恒电流磁场基本规律： S DdS=q0 （静电场的高斯定理） l Edl=0 （静电场的环流定理）  BdS=0 （磁场的“高斯定理”）  Hdl=I0 （安培环路定理） lS B Edl=-dS （法拉第电磁感应定律） tlS其中E包括静电场和非稳恒电场的总和。 2. 涡旋电场和变化磁场的关系： 二、 传导电流和位移电流 1.传导电流 通过封闭曲面S的电流 Ij0dS。 S根据电荷守恒定律，通过封闭面流出的电量应等于封闭面内电荷q的减少率，即 dqjdS。 0dtS此关系式称为电流的连续性方程． 稳恒电流,导体内各处的电流密度都不随时间变化．则 jdS00。 S在稳恒电流情况下，导体内电荷的分布不随时间改变．不随时间改变的电荷分布产生不随时间改变的电场，这种电场称为稳恒电场。 若以E表示稳恒电场的电场强度，则也应有： 11

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Edl0 l2.位移电流 稳恒磁场中的安培环路定理 Hdl=I0j0dS lS（1）在非稳恒条件下、安培环路定理不成立 电容器充电时电流非稳恒，对如图所取的以L为边界的面积S1和S2，安培环路定理的结果不一样。 HdlI (对S) L1Hdl0 （对SL2） 这是因为在导线中有电流I，而在 电容器的两极板间无电流。 （2）位移电流概念 Mexwell假设静电场的高斯定理对非稳恒条件仍成立、则有 DdS=q0 SdDdq0DdS==-j0dS dS=dtdttSSSD=0 (j)dS0tSDD或 (j0)dS=(j0)dS ttS2S1D在非稳恒条件下，尽管传导电流密度j0不一定连续，但j0+这个量是连续的。 t由 D DDSSq 所以 充电时、 dDddDdq dtdtdtdtdDdD与D同方向，也与充电电流I同方向；放电时、 与D反方dtdt12

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D向， 也与放电电流I同方向，具有电流密度的性质，麦克斯韦把它称做位t移电流密度jD，即 dDjD= dt因此，dD称为位移电流ID。 dtdDdDDdS==ID=dS＝jDdS dtdttSSS 在电介质中 DEP=0+； D=0E+P， jD=ttt其中第二项为交变电路中电介质的反复极化。若在真空中，这一项等于零，则位移电流密度为 EjD=0 t它是位移电流的基本组成部分，说明真空中的位移电流或曰“纯粹”的位移电流本质上是变化着的电场而与电荷的定向运动无关． 三、全电流定律 位移电流也产生磁场： H2dlIdldd dt与安培环路定理相似，H2表示由位移电流Id产生的磁场。所以，在非稳恒条件下、总磁场H的环流等于穿过l的传导电流和位移电流之总和，即等于全电流的代数和： Hdl(H1H2)dlI0IdI0LLdΦDdI0DdS dtdtS即 LHdlI0dDdS dtS这就是全电流定律。S是l围出的面积。 四、麦克斯韦电磁场方程组： 考虑总电场 EE1E2总磁场 BB1B2,DD1D2， HH1H2； 13

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下标1表示静止的场、下标2表示变化的场。则有 DdS=q0 （电场的高斯定理）； SB Edl=-dS （法拉第电磁感应定律）； tlSB dS=0 （磁场的“高斯定理”）； D Hdl=I0+dS （全电流定律）。 tlS 在有介质存在时，E和B都与介质的特性有关，因此上述麦克斯韦方程组是不完备的，还需要再补充描述介质性质的下述方程 SD=0rE=E HH== B0rj=E 式中的ε，μ，σ分别是介质的介电常数、磁导率和电导率。 相应的微分方程组为： D=0 BE=- tB=0 DH=j0+ t例12.1 半径为R = 0.10 m的两块圆板,构成平行板电容器,放在真空中.今对电容器匀速充电,使两极板间电场的变化率为 dE13-1-1=1.010Vms.求两板dt间的位移电流，并计算电容器内离两板中心连线r ( r < R )处的磁感应强度Br,以及r=R处的BR. P r R 解: 两板间位移电流 14

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IddΦDd(ε0ΕS)dE2dE==0S=0R dtdtdtdt12代入数值 Id=8.8510心取l2r，则 0.1021.01013= 2.8 (A)。以两板中心线为圆 即 HrdlldD2dE= 0r dtdt 所以 dE2rHr0r dt2 Hr同理 HR代入数值 0rdE2dt 、Br00rdE2dt 0RdE2dt、 BR00RdE2dt BR5.610(T)。 6 复习与思考 1.举例子说明楞次定律是能量守恒的必然结果． 2. 电动势与电势差有什么区别？ 3.变压器的铁心为什么要做成片状，并涂上绝缘漆相互隔开？ 4. 当扳断电路时，开关的两触头之间常有火花发生，为什么会这样？ 5.通电螺线管内，磁场能量为W样才能使它以热的形式释放出来。 6. 麦克斯韦方程组积分形式中各方程的意义？ 7. 位移电流的热效应服从焦耳─楞次定律吗？为什么？ 15

12LI．这能量是什么能量转化来的？怎2大学物理学

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