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§3 二元函数的连续性

在多元微积分中所讨论的函数中，最重要的一类就是连续函数，这与一元微积分是一样的.二元函数连续性的定义比一元函数更一般化，但它们的局部性质与在有界闭域上的整体性质则完全不同.

一 二元函数的连续性概念

定义 设f为定义在点集DR2上的二元函数，P0D(它或者是D的聚点，或者是D的孤立点）.对于任给的正数，总存在相应的正数，只要

PU(P0;）D，就有

f(P)f(P0)， （1）

则称f关于集合．．．．D在点P0连续.在不致误解的情况下，也称f在点P0连续.

若f在D上任何点都关于集合D连续，则称f为D上的连续函数. 由上述定义知道：若P0是D的孤立点，则P0必定是f关于D的连续点；若P0是D的聚点，则f关于D在P0连续等价于

limf(P)f(P0) （2）

PP0PD如果P0是D的聚点，而（2）式不成立（其含义与一元函数的对应情形相同），则称P0是f的不连续点（或称间断点）.特别当（2）式左边极限存在但不等于f(P0)时，P0是f的可去间断点.

如上节例1、2给出的函数在原点连续，例4给出的函数在原点不连续，又若把例3的函数改为

xy,22xyf(x,y)m,1m2(x,y)(x,y)|ymx,xo,

(x,y)(0,0),其中m为固定实数，亦即函数f只定义ymx在直线上.这时由于

limf(x,y)mf(0,0), 21m(x,y)(0,0)ymx §3 二元函数的连续性 109

因此f在原点沿着直线ymx是连续的.

例1 讨论函数

x,22f(x,y)xy0,x,y(0,0)(x,y)(0,0)(0)

在点0,0的连续性.

解 由于当2且r0时，

frcos,rsinr2(cos)r20

因此

(x,y)(0,0)limf(x,y)0f0,0，此时f在点0,0连续；当2时，

(x,y)(0,0)limf(x,y)不存在，此时f在点0,0间断.

设P0x0,y0,Px,yD,xxx0,yyy0,则称

zfx0,y0fx,yfx0,y0fx0x,y0yfx0,y0

为函数在点P0的全增量.和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当

(x,y)(0,0)x,yDlimz0

时，f在点P0连续.

如果在全增量中取x0或y0，则相应的函数增量称为偏增量，记作

xfx0,y0fx0x,y0fx0,y0,yfx0,y0fx0,y0yfx0,y0.一般来说，函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和. 若一个偏增量的极限为零，例如

x0

z limxfx0,y00，它表示在f的两

1 个自变量中，当固定yy0时，fx,y0 作为x的一元函数在x0连续.同理，若

y0limyfx0,y00，则表示fx0,y

O y

在y0连续.容易证明：当f在其定义域

x 110 第十六章 多元函数的极限与连续

的内点x0,y0连续时，fx,y0在x0和fx,y0在y0都连续.但是反过来，二元函数对单个自变量都连续并不能保证该函数的连续性(除非再增加条件，如本节习题4、7、10).例如二元函数（参见图16-10）

1,fx,y0,xy0, xy0f0,yfx,00，

在原点处显然不连续.但由于

因此在原点处f对x和对y分别都连续.

若二元函数在某一点连续，则与一元函数一样，可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性以及相应的有理运算的各个法则.下面证明二元复合函数的连续性定理，其余留给读者自己去证明.

定理16.7（复合函数的连续性） 设函数ux,y和vx,y在xy平面上点P0x0,y0的某邻域上有定义，并在点P0连续；函数fu,v在uv平面上点并在点Q0连续，其中u0x0,y0，v0x0,y0.Q0u0,v0的某邻域上有定义，

则复合函数gx,yfx,y,x,y在点P0也连续.

证 由f在点Q0连续可知：任给正数，存在相应正数，使得当

xx0,yy0时，有

fu,vfu0,v0.

又由，在点P0连续可知：对上述正数，总存在正数，使得当

xx0,yy0时都有

uu0x,yx0,y0,vv0x,yx0,y0.

综合起来，当xx0,yy0时，便有

gx,ygx0,y0fu,vfu0,v0.

所以复合函数fx,y,x,y在点P0x0,y0连续.