直观图中的面积问题

直观图中的面积问题

内蒙古 熊明军 辽宁 曾玲莉

直观图是对空间几何体的整体刻画，人们可以根据直观图的结构想象实际物体的形象，掌握直观图的画法是学好立体几何的基础．在直观图的学习中，熟记斜二侧画法的作图原理是必须的，但对于直观图的面积问题，我们无需作出图形，可直接利用经验公式：

加以解决．下面对其中常见的几类面积问题举例剖析，希望能对同学们的学习

有所帮助．

一、经验公式的获得

给定一个边长为的正方形，可以求得其直观图面积与正方形面积之比为．

如左图：显然

；

在右图中，，，即在等腰中

，得．

从而有：．

本文在此不讨论纯理论性的东西，也就不对该经验公式进行一般性证明，实际上以斜二

侧画法为前提作出的直观图都满足该公式．

二、已知原图面积，求直观图面积

例1 已知某四边形

的面积为

，试求其直观图的面积．

【解析】此题告诉的已知四边形没有明确的特征，因此其直观图利用斜二侧画法是无法

作出的．但是，根据经验公式可得：，即

．

三、已知直观图面积，求原图面积

例2 已知

的平面直观图

是边长为的正三角形，试求

直观图

的面积，

的面积．

【解析】题中所给的条件能轻易地确定

；根据经验公式可知

．

例3 如图所示，梯形

是某一平面图形的直观图．若

，

，

，并且，平行于轴，求原图面积．

【解析】如果根据斜二侧画法的原理来分析，从而得出原图形，也是可以求解，但利用

经验公式就免去了复杂的作图，直接由题中已知条件即可求出直观图面积，由

求解即可．

四、利用经验公式求解相关问题

例4 平面直角坐标系下的正方形求其直观图中定点

到

的距离．

，其中为坐标原点，点坐标为，试

【解析】正方形的直观图是平行四边形，无需作图，直接利用经验公式便能很快求解． 已知

；其直观图平行于轴的长度不变，设点

到

的距离为，则

由的变形知，即．

平面直观图的作图原理必须掌握，但对于某些题型，能不作图就不作，直接利用经验公式求解显得更快捷方便．

2011-05-04 人教网