专题02 整式与因式分解-备战2022年中考数学母题题源解密(广东专用)(解析版)

考向1 整式及其运算

【母题来源】2021年中考广东广州卷

【母题题文1】（2021·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（ ） A．22 C．a2b3a4b6

2B．3333 D．（a－2）2＝a2－4

【答案】C 【分析】

利用绝对值符号化简可判断A，利用同类项定义与合并同类项法则可判断B，利用积的乘方运算法则可判断C，利用完全平方公式可判断D． 【解析】

A. 222，选项A计算不正确；

B. 3与3不是同类项，不能合并，3333，选项B计算不正确； C. a2b3a22b32a4b6，选项C计算正确；

2D. a2a24a4a24，选项D计算不正确． 故选择C． 【点睛】

本题考查绝对值化简，同类项、二次根式、积的乘方与完全平方公式等知识，掌握以上知识是解题关键．

【母题来源】2021年中考广东卷

【母题题文2】（2021·广东·中考真题）已知9m3,27n4，则32m3n（ ） A．1 【答案】D 【分析】

利用同底数幂乘法逆用转换求解即可． 【解析】

解：∵9m3,27n4，

∴32m3n32m33n(32)m(33)n9m27n=34=12，

B．6

C．7

D．12

2∴故选：D． 【点睛】

本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握其运算法则即表现形式是解题关键． 【母题来源】2021年中考广东深圳卷

【母题题文3】（2021·广东深圳·中考真题）下列运算中，正确的是（ ） A．2a2a2a3 【答案】A 【分析】

利用同底数幂的乘法运算，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法依次计算即可． 【解析】

A. 2a2a2a3，符合题意； B. a2a23=a6，不符合题意；

3B．a2a5

3C．a2a3a5 D．a6a2a3

C. a2a3，不是同类项，不能合并，不合题意； D. a6a2a62a4，不合题意． 故选A． 【点睛】

本题考查了同底数幂的乘法运算，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，解决本题的关键是牢记公式与定义．

1.代数式的定义：用运算符号（如加减乘除，乘方；等号和不等号 不属于）和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.

2.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值.

3.单项式的定义：像3xy，3xy2，-abc，2n这些代数式中，都是由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式.单独的一个数字或一个字母（如a，2，0等）也叫做单项式.

4.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.（数字表达的因数）

5.单项式的次数：是指一个单项式中所有字母的指数的和。例如：单项式3xy2，所有字母的指数和是1+2=3，所以3xy2是个三次单项式，单独一个数（0除外），如1，2，0.2，1.9996的次数都是零，叫做零次单项式。（解释：0的0次方无意义） 6.多项式的定义：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式.其中每个单项式都是多项式的项.多项式中的各项包括它前面的符号，其中不含字母的项叫做常数项. 7.多项式的次数：在一个多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数.

8.多项式的升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列. 9.整式的定义：单项式和多项式统称为整式.

10.同类项：所含字母相同并且相同字母的指数相同的项叫做同类项. 11.去括号法则

（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号． （2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号． 12.整式的运算法则

整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项． 整式的乘法：a•aamnmn(m,n都是正整数)

（a）a

nmnmn(m,n都是正整数)

(ab)ab(n都是正整数) 乘法公式：

(ab)(ab)ab (ab)a2abb (ab)a2abb 整式的除法：aaamnmn22222222nn(m,n都是正整数,a0)

考向2 因式分解

【母题来源】2021年中考广东深圳卷

【母题题文4】（2021·广东深圳·中考真题）因式分解：7a228 ________． 【答案】7(a2)(a2) 【分析】

先提取公因式7，然后再使用平方差公式求解即可． 【解析】

解：原式=7(a24)7(a2)(a2)， 故答案为：7(a2)(a2)． 【点睛】

本题考查了因式分解的方法，先提公因式，再看能否套平方差公式或完全平方式． 都为零．

因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

因式分解的常用方法：

（1）提公因式法：abaca(bc) （2）运用公式法：ab(ab)(ab) a2abb(ab) a2abb(ab)

（3）十字相乘法：a(pq)apq(ap)(aq)

（4）分组分解法：acadbcbda(cd)b(cd)(ab)(cd)

222222222

一、单选题 1．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）下列运算正确的是（ ） A．2a3a2a

B．a22a22a2 D．3a2b(ab)3a

C．(a2)2a24 【答案】D 【分析】

根据幂的运算性质及整式的运算法则逐项分析即可． 【解析】

解：A、2a3与a2不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意； B、a22a23a2，故此选项不符合题意； C、(a2)2a24a4，故此选项不符合题意； D、3a2b(ab)3a，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】

本题考查了幂的运算：积的乘方，整式的运算：整式的加法、单项式除以单项式，完全平方公式，熟练掌握这些知识是关键．

2．（2021·广东·佛山市华英学校一模）下列计算正确的是（ ） A．2a4+3a4＝5a8 C．5a2•4a2＝20a2 【答案】D 【分析】

根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法，积的乘方运算法则进行计算，可得答案． 【解析】

解：A、2a4+3a4＝5a4，故A不符合题意； B、（3a2）3＝27a6，故B不符合题意；

B．（3a2）3＝9a6 D．a2•a3＝a5

C、5a2•4a2＝20a4，故C不符合题意； D、a2•a3＝a5，故D符合题意； 故选D． 【点睛】

本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解．

3．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）若4x2kx252xa，则k的值可以是（ ） A．20 【答案】D 【分析】

由题意可知4x2kx25为完全平方式，可得a225，则a5，代入求解即可 【解析】

解：由题意可知4x2kx25为完全平方式 由4x2kx252xa可得a225，a5 将a5代入得(2x5)24x220x25，则k20 将a5代入得(2x5)24x220x25，则k20 故选D 【点睛】

此题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 4．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模）下列运算中，正确的是（ ）． A．a3a4a12 C．aa4a5 【答案】B 【分析】

分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项及平方差公式对各选项进行逐一解答即可．【解析】

解：A、a3•a4a7，故本选项错误； B、a3a12，故本选项正确；

C、a与a4不是同类项，不能合并，故本选项错误；

22D、ababab，故本选项错误．

42B．20 C．10 D．20

2B．a3a12

22D．ababab

4故选：B． 【点睛】

本题考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方法则、合并同类项及平方差公式，熟知以上知识是解答此题的关键．

5．（2020·浙江杭州·模拟预测）（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ） A．-3 【答案】A 【分析】

先根据多项式乘多项式法则化简，再找出所有含x的一次项，合并系数，令含x的一次项的系数等于0，即可求m的值． 【解析】

解：（x+m）（x+3）＝x2+（m+3）x+3m， ∵乘积中不含x的一次项， ∴m+3＝0， ∴m＝﹣3． 故选：A． 【点睛】

本题主要考查多项式乘以多项式的法则，注意不含某一项就是说含此项的系数等于0． 6． （2019·广东·汕头市潮南区阳光实验学校二模）下列各式变形中，是因式分解的是（ ）A．a22abb21(ab)21 C．(x2)(x2)x24 【答案】D 【分析】

根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案． 【解析】

解：A、等式的右边不是整式的积的形式，故A错误； B、等式右边分母含有字母不是因式分解，故B错误； C、等式的右边不是整式的积的形式，故C错误； D、是因式分解，故D正确； 故选D． 【点睛】

本题考查了因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式． 7．（2021·湖南岳阳·一模）下列因式分解正确的是（ ）

2﹣3 A．x9x3xB．3 C．0 D．1

122B．2x2x2x1

x42D．x1x1(x1)(x1)

B．a32a2bab2abab

21C．a3aa2(a)

aD．x22xy4y2(x2y)2

【答案】A 【分析】

各式计算得到结果，即可作出判断． 【解析】

解：A、原式x3(x3)；

B、原式aa22abb2aab，不符合题意； C、原式a(a21)，不符合题意； D、原式不能分解． 故选：A． 【点睛】

本题考查了因式分解，熟练地掌握提公因式法和公式法的综合运用是解题的关键. 8．（2021·河北南皮·一模）对于： ①x24x2；

2②x1x11x；

22③x32x4x2； 11④x2x1x1． 4222其中因式分解正确的是（ ） A．①③ 【答案】D 【分析】

根据因式分解的定义逐个判断即可． 【解析】

2解：①x4x2x2，此项错误； 2②x1x11x，此项正确；

B．②③ C．①④ D．②④

③x32x4x2，此项错误； 11④x2x1x1，此项正确． 4222故选D． 【点睛】

本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

9．a+b+1＜0，（2021·福建省同安第一中学二模）若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 C．无实数根 【答案】B 【分析】

先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可判断选项． 【解析】

解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a， ∵a﹣b＝3，

∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得， b＜﹣2，b2﹣4（3+b）= b2﹣4b﹣12= (b+2)(b﹣6) ∵b+2＜0， b-6＜0， ∴(b+2)(b-6) ＞0，

所以，原方程有有两个不相等的实数根； 故选：B． 【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解，解题关键是求出根的判别式，利用因式分解判断值的正负．

10．（2019·福建南安·中考模拟）已知（2x﹣3）7＝a0x7+a1x6+a2x5+……+a6x+a7，则a0+a1+a2+……+a7＝（ ） A．1 【答案】B 【解析】 【分析】

根据等式的性质，只有当x=1时，才表示系数之和，故代入x=1计算即可. 【解析】

解：当x＝1时，（2﹣3）7＝a0+a1+a2+……+a6+a7， 则a0+a1+a2+……+a7＝﹣1， 故选：B． 【点睛】

本题主要考查方程的解，关键在于x=1的确定,要使出现所以系数之和，则必须使得x=1.

B．﹣1

C．2

D．0

B．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根

二、填空题 11． （2021·宁夏·银川市第三中学一模）已知ab3，ab2，则代数式a2bab2______．【答案】6 【分析】

先把a2bab2分解因式，再整体代入求值即可. 【解析】

解： ab3，ab2，

22则代数式abababab326.

故答案为：6. 【点睛】

本题考查的是因式分解的应用，掌握利用因式分解求解代数式的值是解题的关键.

12． （2021·广东·珠海市文园中学三模）已知x24x30，则5x24x________________．【答案】8 【分析】

由题意，先得到x24x3，然后整体代入计算，即可得到答案． 【解析】

解：∵x24x30， ∴x24x3，

∴5x24x(x24x)5(3)58； 故答案为：8． 【点睛】

本题考查了求代数式的值，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到x24x3，运用整体代入的运算法则进行解题．

13．px3+qx+1＝2020，px3+qx+1（2021·广东·佛山市华英学校一模）当x＝3时，则当x＝﹣3时，的值为_____． 【答案】-2018 【分析】

把x＝3代入代数式得27p+3q＝2019，再把x＝﹣3代入，可得到含有27p+3q的式子，直接解答即可． 【解析】

解：当x＝3时， px3+qx+1＝27p+3q+1＝2020， 即27p+3q＝2019，

所以当x＝﹣3时， px3+qx+1＝﹣27p﹣3q+1＝﹣（27p+3q）+1＝﹣2019+1＝﹣2018．

故答案为：﹣2018． 【点睛】

此题考查了代数式求值；代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式27p+3q的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 14．（2021·广东·珠海市紫荆中学一模）已知2x8y30，则xy【答案】-1 【分析】

利用绝对值和算术平方根的非负数的性质求出x、y的值，再将x、y的值代入xy即可． 【解析】

解：∵2x8y30， ∴2x80，y30． ∴x4，y3． ∴xy202120212021______．

求值

4320211．

故答案为：-1． 【点睛】

本题考查算术平方根和绝对值的非负性以及代数式求值．掌握算数平方根和绝对值的性质是解答本题的关键．

15．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）设Mxy，Nxy，Pxy．若M99，N98，则P______． 【答案】49.25 【分析】

先分别求出（x+y）2和（x-y）2的值，根据完全平方公式展开，再相减，即可求出xy的值，再得出答案即可． 【解析】

解：∵M=x+y=99，

∴两边平方，得（x+y）2=992， 即x2+y2+2xy=992①， ∵N=x-y=98，

∴两边平方，得（x-y）2=982， 即x2+y2-2xy=982②，

∴①-②，得4xy=992-982=（99+98）×（99-98）=197，

∴xy=

197=49.25， 4即P=xy=49.25， 故答案为：49.25． 【点睛】

本题考查了完全平方公式和平方差公式，能灵活运用完全平方公式进行计算是解此题的关键，注意：（x+y）2=x2+y2+2xy，（x-y）2=x2+y2-2xy．

16．（2021·山东·济宁学院附属中学三模）若代数式4x6y3n1与x2my是同类项，则mn的值为________． 【答案】2 【分析】

根据同类项的定义确定m,n的值，再代入代数式求解即可．所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项． 【解析】

代数式4x6y3n1与x2my是同类项，

62m， 3n11解得m3,n2， 32mn32．

3故答案为：2． 【点睛】

本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．

17．（2021·湖南·台州市书生中学一模）把多项式ab24ab4a分解因式的结果是__． 【答案】a(b2)2 【分析】

原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【解析】

解：原式a(b24b4)

a(b2)2．

故答案为：a(b2)2． 【点睛】

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 18．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）分解因式：a4a2b2__．

【答案】a2(ab)(ab) 【分析】

因式分解是将一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式，本题可以先提取公因式，然后再利用平方差公式化简，即可得到正确答案． 【解析】 解：a4a2b2 a2(a2b2) a2(ab)(ab)

【点睛】

本题考查因式分解的化简，根据相关知识点解题是关键．

19．（2021·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校二模）把多项式3ax2﹣6axy+3ay2分解因式的结果是___．

【答案】3a（x-y）2 【分析】

先提取公因式3a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解析】

解：3ax2-6axy+3ay2， =3a（x2-2xy+y2）， =3a（x-y）2．

故答案为：3a（x-y）2． 【点睛】

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

20． （2021·河南省淮滨县第一中学一模）多项式a22ab2b26b27的最小值为________．【答案】18． 【分析】

利用公式法进行因式分解，根据非负性确定最小值． 【解析】

解：a22ab2b26b27， =(a22abb2)(b26b9)18， =(ab)2(b3)218， (b3)20， ∵(ab)20，∴(ab)2(b3)218的最小值为18；

故答案为：18． 【点睛】

本题考查了因式分解和非负数的性质，解题关键是熟练运用乘法公式进行因式分解，根据非负数的性质确定最值．

三、解答题 21．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）已知代数式5x2﹣2x，请按照下列要求分别求值： （1）当x＝1时，代数式的值． （2）当5x2﹣2x＝0时，求x的值． 2【答案】（1）3；（2）0或．

5【分析】

(1) 把x＝1代入5x2﹣2x，计算即可；

(2)用因式分解法得出x（5x﹣2）＝0求解即可得. 【解析】

解：（1）当x＝1时，5x2﹣2x＝5﹣2＝3； （2）5x2﹣2x＝0，

分解因式得：x（5x﹣2）＝0， 可得x＝0或5x﹣2＝0， 2解得：x＝0或x＝．

5【点睛】

本题考查了已知字母的值求代数式的值，因式分解法求一元二次方程的解，掌握因式分解法解方程是解题的关键.

22．（2021·广东黄埔·一模）先化简，再求值：mnmnmn2n2，其中m2，n3．

2【答案】2mn,26． 【分析】

利用完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则把原式化简，把m、n的值代入计算即可．【解析】

解：mnmnmn2n2

2m22mnn2m2n22n2，

2mn

当m2，n3时，原式22326． 【点睛】

本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 23．（2021·黑龙江建华·二模）（1）计算：1（2）分解因式：9x36x2x． 【答案】（1）2；（2）x3x1 【分析】

（1）直接利用零指数幂的性质以及特殊三角函数值、二次根式的性质分别化简即可求出答案；

（2）直接提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解析】 （1）118(5)04cos45 2218(5)04cos45； 212 122142212122 2 322（2）9x6xxx9x6x1

x3x1

【点睛】

本题考查了提取公因式法、公式法分解因式以及实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

24．（2021·黑龙江龙沙·二模）（1）计算：|5﹣π|﹣（2）因式分解：a3﹣3a2+2a． 【答案】（1）；（2）aa1a2 【分析】

（1）先逐项化简，再算加减即可；

（2）先提取公因式a，再用十字相乘法分解． 【解析】

解：（1）|5﹣π|﹣

cos302-145++（） sin4533cos302-145++（）； sin453323353=52 3222=5=；

33 522（2）a3﹣3a2+2a =a(a2-3a+2) =aa1a2． 【点睛】

本题考查了实数的混合运算，因式分解，熟练掌握特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义是解答本题的关键．

25．（2020·浙江杭州·模拟预测）因式分解 （1）3x12x2

（2）4(xy)29(xy)2 （3）a24ab4b27a14b

【答案】（1）3x4x1；（2）5xyx5y；（3）a2ba2b7 【分析】

（1）提公因式3x即可分解；

（2）利用平方差公式，进而分解因式；

（3）先利用完全平方公式将前三项分解，再提公因式a2b即可分解． 【解析】 解：（1）3x12x2 =3x14x =3x4x1；

（2）4(xy)29(xy)2 =(2x2y)2(3x3y)2

=(2x2y)(3x3y)(2x2y)(3x3y) =5xyx5y； （3）a24ab4b27a14b =a2b7a2b =a2ba2b7 【点睛】

此题主要考查了分解因式，掌握提公因式和公式法是解题关键． 26．（2020·浙江杭州·模拟预测）因式分解

2（1）x39x （2）4x212xy9y2

（3）9(a2b)24(a2b)2 （4）4x4y25x2y29y2

【答案】（1）xx3x3；（2）2x3y；（3）5a2ba10b；（4）

2y2x212x32x3

【分析】

（1）直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可； （2）直接利用完全平方公式分解因式即可； （3）直接利用平方差公式分解因式即可；

2（4）提取公因式y2，将剩余部分合理变形，再提公因式4x9，最后分解．

【解析】 解：（1）x39x =xx29 =xx3x3； （2）4x212xy9y2 =2x22x3y3y =2x3y；

（3）9(a2b)24(a2b)2 =(3a6b)2(2a4b)2

=3a6b2a4b3a6b2a4b =5a2ba10b； （4）4x4y25x2y29y2

242=y4x5x9

222=y24x249x24x29

222=yx14x9

=y2x12x32x3

【点睛】

此题主要考查了因式分解，根据所给代数式的形式正确应用公式是解题关键．

2227． （2021·浙江省杭州市上泗中学二模）已知多项式M2x3xy2y2xxyx1．

（1）化简M；

（2）当x1，y2，求M的值； 【答案】（1）2xxy2y2；（2）M2 【分析】

（1）根据整式的加减计算法则化简即可得到答案； （2）根据（1）中的化简结果代值计算即可． 【解析】

22解：（1）M2x3xy2y2xxyx1

2x23xy2y2x22x2yx2

=2xxy2y2；

（2）当x1，y2时，M=2xxy2y221122222． 【点睛】

本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 28．（2021·河北桥东·二模）甲、乙两人各持一张分别写有整式A、B的卡片．已知整式Ca22a5，下面是甲、乙二人的对话：

甲：我的卡片上写着整式Aa24a10，加上整式C后得到最简整式D； 乙：我用最简整式B加上整式C后得到整式E6a22a8． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求整式D和B；

（2）请判断整式D和整式E的大小，并说明理由．

【答案】（1）2a26a5；5a213；（2）ED；答案见解析． 【分析】

（1）依题意可得DAC，BCE代入各式即可求解； （2）化简ED4a24a3，根据配方法的应用即可求解． 【解析】

解：（1）DAC a24a10a22a5 2a26a5．

∵BCE，

22∴B6a2a8a2a5

5a213．

22（2）ED．理由：ED6a2a82a6a5

4a24a3

2a12．

2∵2a120， ∴ED． 【点睛】

此题主要考查整式的加减及配方法的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的应用．

3229．（2021·河北河北·模拟预测）阅读理解：对于xn1xn这类特殊的代数式可以按

2下面的方法分解因式：

x3n21xnx3n2xxnxx2n2(xn)x(xn)(xn)(xn)(xn)x2nx1．

322理解运用：如果xn1xn0，那么(xn)xnx10，即有xn0或

因此，方程xn0和x2nx10的所有解就是方程xn1xn0的x2nx10，解． 解决问题：

（1）因式分解：a310a3___________ （2）求方程x35x20的解

2【答案】（1）a3a3a1；（2）x2或x12或x12 32【分析】

23331a(3)可知符合材料的公式形式，直接套用公式即可解（1）由a10a3a答；

（2）先将方程左边按材料的公式形式分解因式，再求出每个因式为0时的解即可． 【解析】

解：（1）a310a3

2a331a(3)

a332a(a3)

a(a232)(a3) a(a3)(a3)(a3)

(a3)a(a3)1

故答案为：(a3)aa3a23a1

23a1

（2）解：x35x20， x3(221)x20，

2∴(x2)x2x10，

x20或x22x10，

解得x2或x12， 【点睛】

本题主要考查了因式分解和高次方程的解法，解高次方程一般要通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．本题解题关键是学习材料内容，根据材料公式和方法解题．