2三角知识梳理2答案

【三角知识梳理】

1、正弦定理及扩充正弦定理：

asinAbca；

sinBsinCsinAbc 2R 。

sinBsinC2、余弦定理：

a2 b2c22bccosA ；b2 a2c22accosB； c2a2b22abcosC ；

b2c2a2a2c2b2a2b2c2cosA ；cosB ；cosC 。

2bc2ac2ab3、三角形共有 六 个元素，分别是指 三条边和三个角 。

4、解斜三角形问题是指根据三角形的已知元素，求出其他未知元素，其主要手段是利用（扩充）正弦定理或者余弦定理。要求解三角形，至少知道三角形的 三 个元素，但是这些条件中至少包括 一条边 。

5、在ABC中，若已知a,b,c，则先考虑用 余弦 定理求解；若已知a,b,C，则先考虑用 余弦 定理求解；若已知a,b,A，则先考虑用 正弦 定理求解；若已知a,B,C，则先考虑用 正弦 定理求解；若已知a,A,C，则先考虑用 正弦 定理求解；若已知三个角A,B,C，则 不能 （填“能”或“不能”）求解此三角形。 6、面积公式：S111absinCacsinBbcsinA 2227、解斜三角形问题中，根据已知条件可以确定的三角形的个数情况是（ D ）

A )一个 B）两个 C)一个 或 两个 D）一个 或 两个 或不存在 【基础训练】

1、在ABC中，已知a7,B30,C45，则c737。 2、在ABC中，已知A45,B60,a5，求b,c,SABC。 解：在ABC中，由正弦定理，得

asinAbc

sinBsinC所以，basinBsinA53625535256,casinC4

2sinA2222211566275253SABCabsinC5

222483、在△ABC中，已知a6，b31，C45o，求c，A，B。

解：由余弦定理 ca2b22abcosC2 由正弦定理，得

ac623 sinAsinAsinCsinA222因为a631b 所以，A60，B75 4、在△ABC中，已知a8，b=5，三角形的面积S=12，求c。

解：1ACBCsinC12sinC3cosC4

2554时，由余弦定理，得c2564258cosC5 54当cosC时，由余弦定理，得c2564258cosC317 5当cosCo5、在△ABC中，已知A=30，c=3，a5，求C，B，b（结果保留两位小数）。

解：在△ABC中，由正弦定理，得

ac533sinC sinAsinCsin30sinC106，B132.54 ca C17.4

在△ABC中，由正弦定理，得

ab5bb7.37 sinAsinBsin30sin132.54o6、在△ABC中，已知A=30，c=8，a5，求C，B，b（结果保留两位小数）。

解：在△ABC中，由正弦定理，得

ac584sinC sinAsinCsin30sinC5C53.13 ，B96.87 或者C126.87 ，B23.13

在△ABC中，当C53.13 ，B96.87时 由正弦定理，得

ab5bb9.93 sinAsinBsin30sin96.87在△ABC中，当C126.87 ，B23.13时 由正弦定理，得

ab5bb3.93 sinAsinBsin30sin23.13【巩固练习】

1、 已知三角形的三边之比为3：5：7，求此三角形的最大内角。 解：根据题意，设三角形三边分别为3x,5x,7x，且最大内角为

(3x)2(5x)2(7x)21则cos120

23x5x22、判断△ABC中，sinAsinBsin2C1，则△ABC是 等腰三角形 。 23、在△ABC中，AC=3，AB=3，sinA=

1536，则BC的长等于42or310。 24、在ABC中，若 a13，c4，A60，则b__1或3___．

A30，C105，5、在ABC中，若 b2，则此三角形的周长为3262

26、已知△ABC的周长为21，且sinAsinB2sinC．

（I）求边AB的长； （II）若△ABC的面积为

1sinC，求角C的度数． 6解：（I）由题意及正弦定理，得ABBCAC21，

BCAC2AB，

两式相减，得AB1． （II）由△ABC的面积

111BCACsinCsinC，得BCAC， 263AC2BC2AB2由余弦定理，得cosC

2ACBC

(ACBC)22ACBCAB21， 2ACBC2所以C60．

7、在ABC中，B45,AC10,cosC D是AB的中点，求中线CD的长度。解：（1）由cosC25，求（1）求BC的长；（2）若点5255 得：sinC552310， sinAsin(18045C)(cosCsinC)210由正弦定理知：

BCAC10310sinA32， sinB1022（2）

ABAC105sinC21，BDAB1 sinB5222由余弦定理知：

CDBD2BC22BDBCcosB11821322132