2022年辽宁省沈阳市和平区九上期末数学试卷
1. 已知 △𝐴𝐵𝐶∽△𝐷𝐸𝐹，且 𝐴𝐵:𝐷𝐸=1:2，则 △𝐴𝐵𝐶 的面积与 △𝐷𝐸𝐹 的面积之比为 ( )
2. 市一小数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为 200 cm2 的矩形学具进行展示．设矩形的宽为 𝑥 cm，长为 𝑦 cm，那么这些同学所制作的矩形长 𝑦(cm) 与宽 𝑥(cm) 之间的函数关系的图象大致是 ( ) A． 1:2
B． 1:4
C． 2:1
D． 4:1
A． B． C． D．
3. 某旅游景点三月份共接待游客 25 万人次，五月份共接待游客 64 万人次，设每月的平均增长率为 𝑥，则可列方程为 ( )
4. 如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影．转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为 𝑎；如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为 𝑏．关于 𝑎，𝑏 大小的正确判断是 ( )
A． 25(1+𝑥)2=64 C． 64(1+𝑥)2=25
B． 25(1−𝑥)2=64 D． 64(1−𝑥)2=25
A． 𝑎>𝑏
B． 𝑎=𝑏 C． 𝑎<𝑏 D．不能判断
5. 下列命题是真命题的是 ( )
6. 在平面直角坐标系中，将二次函数 𝑦=2𝑥2 的图象向上平移 2 个单位，所得函数图象的解析式为 ( )
A． 𝑦=2𝑥2+2 C． 𝑦=2(𝑥−2)2
B． 𝑦=2𝑥2−2 D． 𝑦=2(𝑥+2)2
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．四条边相等的四边形是萎形
7. 如图，矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的两条对角线相交于点 𝑂，∠𝐴𝑂𝐷=120∘，𝐴𝐵=2，则矩形的对角线 𝐴𝐶 的长是 ( )
A． 2
B． 4
C． 2√3
D． 4√3
8. 图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2 m，水面宽 4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 ( )
9. 已知 3 是关于 𝑥 的方程 𝑥2−2𝑥−𝑛=0 的一个根，则 𝑛 的值为 ．
10. 如图，在平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，已知 𝐴𝐷=12 cm，𝐴𝐵=8 m，𝐴𝐸 平分 ∠𝐵𝐴𝐷 交 𝐵𝐶 边于点
𝐸，则 𝐶𝐸 的长等于 厘米． A． 𝑦=−2𝑥2
B． 𝑦=2𝑥2
C． 𝑦=−𝑥2
21
D． 𝑦=𝑥2
2
1
11. 已知 𝐴(−1,2) 是反比例函数 𝑦= 图象上的一个点，则 𝑘 的值为 ．
𝑥𝑘
12. 三角尺在灯泡 𝑂 的照射下在墙上形成影子（如图所示）．现测得 𝑂𝐴=20 cm，𝑂𝐴ʹ=50 cm，这
个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 ．
13. 如图，网格内每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，𝐴，𝐵，𝐶，𝐷 都是格点，且 𝐴𝐵 与 𝐶𝐷
相交于点 𝑃，则 tan∠𝐴𝑃𝐷 的值为 ．
14. 已知二次函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 的图象与 𝑥 轴交于点 (−2,0)，(𝑥1,0)，且 1<𝑥1<2，与 𝑦 轴
的正半轴的交点在 (0,2) 的下方．下列结论：
① 4𝑎−2𝑏+𝑐=0；② 𝑎<𝑏<0；③ 2𝑎+𝑐>0；④ 2𝑎−𝑏+1>0．其中正确结论的个数是 （填序号）．
15. 解方程：𝑥2−2𝑥−5=0．
16. 已知：如图，在矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，对角线 𝐴𝐶 与 𝐵𝐷 相交于点 𝑂，过点 𝐶 作 𝐵𝐷 的平行线，过
点 𝐷 作 𝐴𝐶 的平行线，两线相交于点 𝑃，求证：四边形 𝐶𝑂𝐷𝑃 是菱形．
17. 一只不透明的袋子中，装有 2 个白球（标有号码 1，2）和 1 个红球，这些球除颜色外其他都相
同．
(1) 搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率是多少？
(2) 搅匀后从中一次摸出两个球，请用树状图（或列表法）求这两个球都是白球的概率．
18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠𝐶=90∘，𝐴𝐶=30 cm，𝐵𝐶=21 cm，动点 𝑃 从点 𝐶 出发，沿 𝐶𝐴
方向运动，动点 𝑄 从点 𝐵 出发，沿 𝐵𝐶 方向运动，如果点 𝑃，𝑄 的运动速度均为 1 cm/s，那么运动几秒时，它们相距 15 cm？
19. 如图，在平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，过点 𝐴 作 𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，垂足为 𝐸，连接 𝐷𝐸，𝐹 为线段 𝐷𝐸 上
一点，且 ∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐵．
(1) 求证：△𝐴𝐷𝐹∽△𝐷𝐸𝐶．
(2) 若 𝐴𝐵=4，𝐴𝐷=3√3，𝐴𝐸=3，求 𝐴𝐹 的长．
20. 如图，矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的两边 𝐴𝐷，𝐴𝐵 的长分别为 3，8，且 𝐵，𝐶 在 𝑥 轴的负半轴上，𝐸 是 𝐷𝐶
的中点，反比例函数 𝑦=
𝑚𝑥
(𝑥<0) 的图象经过点 𝐸，与 𝐴𝐵 交于点 𝐹．
(1) 若点 𝐵 坐标为 (−6,0)，求 𝑚 的值；
(2) 若 𝐴𝐹−𝐴𝐸=2．且点 𝐸 的横坐标为 𝑎．则点 𝐹 的横坐标为 （用含 𝑎 的代数式表示），
点 𝐹 的纵坐标为 ，反比例函数的表达式为 ．
21. 某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售价每
上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）．设每件商品的售价上涨 𝑥 元（𝑥 为正整数），每个月的销售利润为 𝑦 元．
(1) 求 𝑦 与 𝑥 的函数关系式并直接写出自变量 𝑥 的取值范围；
(2) 每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
(3) 每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上结论，请你直接写出
售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？
22. 回答下列问题．
(1) （探索发现）如图 1，△𝐴𝐵𝐶 中，点 𝐷，𝐸，𝐹 分别在边 𝐵𝐶，𝐴𝐶，𝐴𝐵 上，且 𝐴𝐷，𝐵𝐸，
𝐶𝐹 相交于同一点 𝑂．
用“𝑆”表示三角形的面积，有 𝑆△𝐴𝐵𝐷:𝑆△𝐴𝐶𝐷=𝐵𝐷:𝐶𝐷，这一结论可通过以下推理得到：过点 𝐵 作 𝐵𝑀⊥𝐴𝐷，交 𝐴𝐷 延长线于点 𝑀，过点 𝐶 作 𝐶𝑁⊥𝐴𝐷 于点 𝑁，可得 𝑆△𝐴𝐵𝐷:𝑆△𝐴𝐶𝐷=(2𝐴𝑂⋅𝐵𝑀):(2𝐴𝑂⋅𝐶𝑁)，又可证 △𝐵𝐷𝑀～△𝐶𝐷𝑁， ∴𝐵𝑀:𝐶𝑁=𝐵𝐷:𝐶𝐷， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐷:𝑆△𝐴𝐶𝐷=𝐵𝐷:𝐶𝐷．
由此可得 𝑆△𝐵𝐴𝑂:𝑆△𝐵𝐶𝑂= ；𝑆△𝐶𝐴𝑂:𝑆△𝐶𝐵𝑂= ；
若 𝐷，𝐸，𝐹 分别是 𝐵𝐶，𝐴𝐶，𝐴𝐵 的中点，则 𝑆△𝐵𝐹𝑂:𝑆△𝐴𝐵𝐶= ．
1
1
(2) （灵活运用）如图 2，正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，点 𝐸，𝐹 分别在边 𝐴𝐷，𝐶𝐷 上，连接 𝐴𝐹，𝐵𝐸
和 𝐶𝐸，𝐴𝐹 分别交 𝐵𝐸，𝐶𝐸 于点 𝐺，𝑀．
（1）若 𝐴𝐸=𝐷𝐹．判断 𝐴𝐹 与 𝐵𝐸 的位置关系与数量关系，并说明理由；
（2）若点 𝐸，𝐹 分别是边 𝐴𝐷，𝐶𝐷 的中点，且 𝐴𝐵=4．则四边形 𝐸𝑀𝐹𝐷 的面积是 ．
(3) （拓展应用）如图 3，正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐵=4，对角线 𝐴𝐶，𝐵𝐷 相交于点 𝑂．点 𝐹 是
边 𝐶𝐷 的中点．𝐴𝐹 与 𝐵𝐷 相交于点 𝑃，𝐵𝐺⊥𝐴𝐹 于点 𝐺，连接 𝑂𝐺，请直接写出 𝑆△𝑂𝐺𝑃 的值．
23. 如图，平面直角坐标系 𝑥𝑂𝑦 中，矩形 𝑂𝐴𝐵𝐶 的顶点 𝐴，𝐶 分别在 𝑥 轴，𝑦 轴的正半轴上，且
点 𝐶 的坐标是 (0,1)，点 𝐵 的坐标是 (√3,1)，抛物线 𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 经过点 𝐵 和点 𝐶．
(1) 求抛物线 𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 的表达式：
(2) 将 △𝑂𝐴𝐶 沿直线 𝐴𝐶 折叠，点 𝑂 的对称点记为点 𝐷，请判断：点 𝐷 是否在抛物线上？
并说明理由；
(3) 点 𝐸 为线段 𝐴𝐶 上的一个动点．
①若点 𝑃 在抛物线上，其横坐标为 𝑚，当 𝑃𝐸⊥𝐴𝐶 且 𝑃𝐸=值；
②若点 𝐹 为线段 𝐴𝐵 上一个动点，且 𝐶𝐸=𝐴𝐹，当 𝑂𝐸+𝑂𝐹 的值最小时，请直接写出点 𝐹 的坐标．
2√3 3
时．请直接写出 𝑚 的
答案
1. 【答案】A
2. 【答案】A
【解析】因为 𝑥𝑦=200， 所以 𝑦=
3. 【答案】A
4. 【答案】B
【解析】试题根据图形可得：指针落在有阴影的区域内的概率为：6=2；抛掷一枚硬币，正面向上的概率为 2，则 𝑎=𝑏．
5. 【答案】D
【解析】A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，错误，是假命题； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题； C、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误，是假命题； D、四条边相等的四边形是菱形，正确，是真命题， 故选：D．
6. 【答案】A
【解析】原抛物线的顶点为 (0,0)，向上平移 2 个单位，那么新抛物线的顶点为 (0,2)；可设新抛物线的解析式为 𝑦=2(𝑥−ℎ)2+𝑘，代入得：𝑦=2𝑥2+2．
7. 【答案】B
【解析】在矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝐴𝐶，
21
1
3
1
200𝑥
(𝑥>0,𝑦>0)．
∵∠𝐴𝑂𝐷=120∘，
∴∠𝐴𝑂𝐵=180∘−∠𝐴𝑂𝐷=180∘−120∘=60∘， ∴△𝐴𝑂𝐵 是等边三角形， ∴𝑂𝐴=𝐴𝐵=2，
∴𝐴𝐶=2𝑂𝐴=2×2=4． 故选：B．
8. 【答案】C
【解析】设此函数解析式为：𝑦=𝑎𝑥2，𝑎≠0； 那么 (2,−2) 应在此函数解析式上．
则 −2=4𝑎， 即得 𝑎=−，
211
那么 𝑦=−2𝑥2．
9. 【答案】 3
【解析】把 𝑥=3 代入 𝑥2−2𝑥−𝑛=0 得 9−6−𝑛=0， 解得 𝑛=3． 故答案为：3．
10. 【答案】 4
【解析】 ∵ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐷=12 cm，𝐴𝐷∥𝐵𝐶， ∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐸𝐴， ∵𝐴𝐸 平分 ∠𝐵𝐴𝐷， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸， ∴∠𝐵𝐸𝐴=∠𝐵𝐴𝐸， ∴𝐵𝐸=𝐴𝐵=8 cm， ∴𝐶𝐸=𝐵𝐶−𝐵𝐸=4 cm．
11. 【答案】 −2
【解析】 ∵𝐴(−1,2) 是反比例函数 𝑦= 图象上的一个点，
𝑥𝑘
∴𝑘=−1×2=−2． 故答案为：−2
12. 【答案】 2:5
【解析】如图所示，
∵𝑂𝐴=20 cm，𝑂𝐴ʹ=50 cm， ∴𝐴𝐵:𝐴ʹ𝐵ʹ=𝑂𝐴:𝑂𝐴ʹ=20:50=2:5， ∵ 三角尺与影子是相似三角形，
∴ 三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比 =𝐴𝐵:𝐴ʹ𝐵ʹ=2:5．
13. 【答案】 1
【解析】如图，过 𝐵 作 𝐵𝐹∥𝐶𝐷， 所以 ∠𝐵=∠𝐴𝑃𝐷，
因为 𝐴𝐵 过格点 𝐸， 连接 𝐸𝐹，
因为 𝐵𝐸=𝐸𝐹=√22+12=√5，𝐵𝐹=√12+32=√10， 所以 𝐵𝐸2+𝐸𝐹2=𝐵𝐹2， 所以 ∠𝐵𝐸𝐹=90∘， 所以 ∠𝐵=45∘， 所以 ∠𝐴𝑃𝐷=45∘， 所以 tan∠𝐴𝑃𝐷 的值为 1．
14. 【答案】 4
【解析】①当 𝑥=−2 时，4𝑎−2𝑏+𝑐=0． ②由开口方向向下可知，𝑎<0，因为 −<−
21
𝑏2𝑎
<0，
∴𝑎<1，𝑏<0， 即 𝑏>𝑎，𝑏<0． ③当 𝑥=1 时，𝑦>0， 即 𝑎+𝑏+𝑐>0， ∵4𝑎−2𝑏+𝑐=0 ∴𝑏=2𝑎+2𝑐， ∴𝑎+2𝑎+𝑐+𝑐>0，
211
𝑏
∴2𝑎+𝑐>0． ④由题意得：𝑐<2， ∵4𝑎−2𝑏+𝑐=0， ∴2𝑏−4𝑎<2， ∴2𝑎−𝑏+1>0． 综上述，四个结论均正确．
15. 【答案】𝑥2−2𝑥+1=6,那么(𝑥−1)2=6,即𝑥−1=±√6,则𝑥1=1+√6,𝑥2=1−√6.
16. 【答案】 ∵𝐷𝑃∥𝐴𝐶,𝐶𝑃∥𝐵𝐷，
∴ 四边形 𝐶𝑂𝐷𝑃 是平行四边形，
∵ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形， ∴𝐵𝐷=𝐴𝐶,𝑂𝐷=𝐵𝐷,𝑂𝐶=𝐴𝐶，
2
2
1
1
∴𝑂𝐷=𝑂𝐶，
∴ 四边形 𝐶𝑂𝐷𝑃 是菱形．
17. 【答案】
(1) 𝑃(一个球是白球)=3． (2) 树状图如下（列表略）： 所以 𝑃(两个球都是白球)=6=3．
18. 【答案】设运动 𝑥 秒时，它们相距 15 cm，则 𝐶𝑃=𝑥 cm，𝐶𝑄=(21−𝑥)cm，
依题意有𝑥2+(21−𝑥)2=152,解得𝑥1=9,𝑥2=12.故运动 9 秒或 12 秒时，它们相距 15 cm．
19. 【答案】
(1) ∵ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形， ∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐶𝐸𝐷，∠𝐵+∠𝐶=180∘， ∵∠𝐴𝐹𝐸+∠𝐴𝐹𝐷=180∘，∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐵， ∴∠𝐴𝐹𝐷=∠𝐶， ∴△𝐴𝐷𝐹∽△𝐷𝐸𝐶．
(2) ∵ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形， ∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐶𝐷=𝐴𝐵=4， 又 ∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐶， ∴𝐴𝐸⊥𝐴𝐷，
在 Rt△ADE 中，𝐷𝐸=√𝐴𝐷2+𝐴𝐸2=√(3√3)+32=6， ∵△𝐴𝐷𝐹∽△𝐷𝐸𝐶， ∴ ∴
20. 【答案】
(1) ∵𝐴𝐷，𝐴𝐵 的长分别为 3，8，𝐸 是 𝐷𝐶 的中点， ∴𝐵𝐶=3，𝐶𝐷=8，
又 ∵𝐸 是 𝐷𝐶 的中点，点 𝐵 坐标为 (−6,0)， ∴𝐶𝐸=4，𝐶𝑂=6−3=3， ∴𝐸(−3,4)，
𝐴𝐷𝐷𝐸
2
2
1
2
=
𝐴𝐹
𝐶𝐷
，
，𝐴𝐹=2√3．
3√36
=
𝐴𝐹4
又 ∵ 反比例函数 𝑦=
𝑚𝑥
(𝑥<0) 的图象经过点 𝐸，
∴𝑚=−3×4=−12； (2) 𝑎−3；1；𝑦=−
𝑥4
【解析】
(2) 如图，连接 𝐴𝐸，
∵ 点 𝐸 的横坐标为 𝑎，𝐵𝐶=3， ∴ 点 𝐹 的横坐标为 𝑎−3，
又 ∵Rt△ADE 中，𝐴𝐸=√𝐴𝐷2+𝐷𝐸2=5， ∴𝐴𝐹=𝐴𝐸+2=7，𝐵𝐹=8−7=1， ∴ 点 𝐹 的纵坐标为 1， ∴𝐸(𝑎,4)，𝐹(𝑎−3,1)， ∵ 反比例函数经过点 𝐸，𝐹， ∴4𝑎=1(𝑎−3)，解得 𝑎=−1， ∴𝐸(−1,4)， ∴𝑘=−1×4=−4，
∴ 反比例函数的表达式为 𝑦=−．
𝑥4
21. 【答案】
(1) 由题意得：𝑦=(210−10𝑥)(50+𝑥−40)=−10𝑥2+110𝑥+2100（0<𝑥≤15 且 𝑥 为整数）；
(2) 由（1）中的 𝑦 与 𝑥 的解析式配方得：𝑦=−10(𝑥−5.5)2+2402.5， ∵𝑎=−10<0，
∴ 当 𝑥=5.5 时，𝑦 有最大值 2402.5， ∵0<𝑥≤15，且 𝑥 为整数，
当 𝑥=5 时，50+𝑥=55，𝑦=2400（元），当 𝑥=6 时，50+𝑥=56，𝑦=2400（元）， ∴ 当售价定为每件 55 或 56 元，每个月的利润最大，最大的月利润是 2400 元． (3) 当 𝑦=2200 时，−10𝑥2+110𝑥+2100=2200， 解得：𝑥1=1，𝑥2=10，
∴ 当 𝑥=1 时，50+𝑥=51，当 𝑥=10 时，50+𝑥=60． ∴ 当售价定为每件 51 或 60 元，每个月的利润为 2200 元．
当售价不低于 51 或 60 元，每个月的利润为 2200 元．
当售价不低于 51 元且不高于 60 元且为整数时，每个月的利润不低于 2200 元（或当售价分别为 51，52，53，54，55，56，57，58，59，60 元时，每个月的利润不低于 2200 元）．
22. 【答案】
(1) 𝐴𝐸:𝐸𝐶；𝐴𝐹:𝐵𝐹；1:6
(2) （1）结论：𝐴𝐹=𝐵𝐸，𝐴𝐹⊥𝐵𝐸． 理由：如图 2 中，
∵ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐴𝐷𝐹=90∘， ∵𝐴𝐸=𝐷𝐹，
∴△𝐵𝐴𝐸≌△𝐴𝐷𝐹（SAS）， ∴𝐵𝐸=𝐴𝐹，∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐷𝐴𝐹， ∵∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐴𝐸𝐵=90∘， ∴∠𝐷𝐴𝐹+∠𝐴𝐸𝐵=90∘， ∴∠𝐴𝐺𝐸=90∘， ∴𝐴𝐹⊥𝐵𝐸． （2）3 (3) 15． 【解析】
(1) 由题意：𝑆△𝐵𝐴𝑂:𝑆△𝐵𝐶𝑂=𝐴𝐸:𝐸𝐶；𝑆△𝐶𝐴𝑂:𝑆△𝐶𝐵𝑂=𝐴𝐹:𝐵𝐹； 若 𝐷，𝐸，𝐹 分别是 𝐵𝐶，𝐴𝐶，𝐴𝐵 的中点， 则 𝑆△𝐵𝐹𝑂:𝑆△𝐴𝐵𝐶=1:6，
故答案为：𝐴𝐸:𝐸𝐶，𝐴𝐹:𝐵𝐹，1:6． (2) （2）如图 2−1 中，连接 𝐷𝑀．
根据对称性可知 △𝐷𝑀𝐸，△𝐷𝑀𝐹，关于直线 𝐷𝑀 对称， ∴𝑆△𝐷𝑀𝐸=𝑆△𝐷𝑀𝐹， ∵𝐴𝐸=𝐷𝐸，
∴𝑆△𝐴𝐸𝑀=𝑆△𝐷𝑀𝐸=𝑆△𝐷𝑀𝐹， ∵𝑆△𝐴𝐷𝐹=×4×2=4，
21
88
∴𝑆△𝐴𝐸𝑀=𝑆△𝐷𝑀𝐸=𝑆△𝐷𝑀𝐹=，
3
4
∴𝑆四边形𝐸𝑀𝐹𝐷=．
3
8
故答案为 3．
8
(3) 如图 3 中，
∵ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形，
∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷=4，𝐴𝐶=𝐵𝐷=4√2，𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐷=𝑂𝐶=2√2， ∵𝐷𝐹=𝐹𝐶， ∴𝐷𝐹=𝐹𝐶=2， ∵𝐷𝐹∥𝐴𝐵， ∴
𝐷𝐹𝐴𝐵
𝐷𝑃𝑃𝐵
12
==，
∴𝑂𝑃:𝑂𝐵=𝑂𝑃:𝑂𝐴=1:3， ∵𝐵𝐺⊥𝑃𝐴，𝐴𝑂⊥𝑂𝐵， ∴∠𝐴𝐺𝐵=∠𝐴𝑂𝐵=90∘，
∵∠𝑂𝐴𝑃+∠𝐴𝑃𝑂=90∘，∠𝑃𝐵𝐺+∠𝐵𝑃𝐺=90∘， ∴∠𝑃𝐴𝑂=∠𝑃𝐵𝐺， ∵∠𝐴𝑃𝑂=∠𝐵𝑃𝐺， ∴△𝐴𝑂𝑃∽△𝐵𝐺𝑃， ∴ ∴
𝑂𝑃𝐺𝑃𝑂𝑃𝑃𝐴
𝑃𝐴𝑃𝐵𝐺𝑃𝑃𝐵
==
， ，
∵∠𝐺𝑃𝑂=∠𝐵𝑃𝐴， ∴△𝐺𝑃𝑂∽△𝐵𝑃𝐴， ∴
𝑆△𝐺𝑃𝐷𝑆△𝐵𝑃𝐴
𝑂𝑃2
1
=()=，
𝑃𝐴10
23
163
∴𝑆△𝐴𝐵𝑃=𝑆△𝐴𝐵𝐷= ∴𝑆△𝐺𝑂𝑃=
23. 【答案】
8
，
15
．
(1) 将点 𝐵 坐标代入二次函数表达式得：1=−3+√3𝑏+1，解得：𝑏=√3，故二次函数表达式为：𝑦=−𝑥2+√3𝑥+𝑙． (2) 不在，理由：
过点 𝐷 作 𝑥 轴的平行线分别交 𝐴𝐵 的延长线和 𝑦 轴于点 𝐺，𝐻， ∴∠𝐶𝐷𝐴=90∘，∠𝐺𝐷𝐶+∠𝐻𝐷𝐴=90∘，∠𝐻𝐷𝐴+∠𝐷𝐴𝐻=90∘， ∴∠𝐷𝐴𝐻=∠𝐺𝐷𝐶，
∴△𝐶𝐷𝐺∽△𝐷𝐻𝐴， ∴
𝐴𝐷𝐶𝐷
=
𝐴𝐻𝐷𝐺
=
𝐷𝐻𝐺𝐶
=√3，
=2，故：点 𝐷 的坐标是 (2,2)，
74
32
3
√33
解得：𝐷𝐺=将
√3 2
√3，𝐻𝐴2
代入抛物线表达式，则 𝑦=≠ 所以点 𝐷 不在抛物线上．
2√3；② 3
(3) ① 𝑚=2√3±2√6或【解析】
(3) ① ∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐶，
𝐹(√3,3)．
1
∴∠𝑃𝐸𝐻−∠𝐻𝐸𝐴=90∘，∠𝐻𝐸𝐴+∠𝐸𝐴𝑂=90∘， ∴∠𝑃𝐸𝐻=∠𝐶𝐴𝑂=𝛼，
点 𝐵 的坐标是 (√3,1)，tan∠𝐴𝐵𝐶=𝐸𝐻=1，
把点 𝐴𝐶 的表达式为：𝑦=𝑘𝑥+1，把点 𝐴 坐标代入并求解得： 直线 𝐴𝐶 的表达式为：𝑦=−
√3𝑥3
√33
√3，3
=tan𝛼，即：∠𝐴𝐵𝐶=30∘=𝛼，𝑃𝐻=𝑃𝐸sin𝛼=
+1，
√3𝑛3
设点 𝑃 的坐标为 (𝑚,−𝑚2+√3𝑚+1)，点 𝐸(𝑛,− 𝐸𝐻=∣−
√3𝑛3
+1)，
+1+𝑚2−√3𝑚−1∣=1⋯①，
√3⋯②， 3
2√33
𝑃𝐻=∣𝑚−𝑛∣=
联立①②解得：𝑚=2√3±2√6 或 ；
② ∵∠𝐴𝐵𝐶=30∘，∴△𝑂ʹ𝑂𝐶 为等边三角形，
将矩形 𝐴𝐵𝐶𝑂 围绕点 𝐶 逆时针旋转 60∘ 至矩形 𝑂ʹ𝐴ʹ𝐵ʹ𝐶，则图示位置为图象旋转后的位置， 连接 𝑂ʹ𝐹ʹ，𝐵ʹ𝐸，𝑂𝐸，∵𝐶𝐸=𝐴𝐹=𝐴ʹ𝐹ʹ， ∴ 四边形 𝑂ʹ𝐹ʹ𝐵ʹ𝐸 为平行四边形，
∴𝑂𝐸+𝑂𝐹=𝑂𝐸+𝐵ʹ𝐸，故：当 𝐵ʹ，𝐸，𝑂 三点共线时，𝑂𝐸+𝑂𝐹=𝑂𝐵ʹ 最小， 旋转后点 𝐵ʹ𝑂ʹ 与 𝑥 轴垂直，则 𝑦𝐵ʹ=2𝐴𝐵+𝐴ʹ𝐶=2+√(√3)+1=2，同理 𝑥𝐵ʹ=即点 𝐵ʹ(2,2)，
则直线 𝑂𝐵ʹ 的表达式为：𝑦=
5√3𝑥， 3
√3𝑥3
√35
1
1
2
5
√3， 2
同理可得直线 𝐴𝐶 的表达式为：𝑦=−以上两式联立并求解得：𝑥=
√3，𝑦6
5
+1，
√35
=6，即点 𝐸(6,6)，
同理可得点 𝐹(√3,)．
3
1
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