寒假培优班初三数学

1．如图，直角坐标系中，直线 L与x 轴、y轴分别交于点A（4，0）和点B（0，3），点P沿直线L由B点向A点匀速运动，同时点Q沿x 轴由A点向坐标原点O匀速运动，两点运动的速度都是每秒1（单位长度），运动t秒，它们到达图中所示的位置，连结PQ。

（1）当t为多少时，∆PAQ为直角三角形？ （2）当t为多少时， ∆PAQ的面积最大？

（3）求（2）中∆PAQ三个顶点P、A、Q确定的抛物线的函数表达式。

yB0,3PA4,0L

xOQ

2．如图，直角坐标系中，以P（1，1）为圆心，5为半径的⊙P交x 轴于A、B两点，交y轴于C、D两点。

（1）直接写出A、B、C、D四点的坐标（演算在草稿进行）；

（2）分别过A、C两点作⊙P的切线a和b，求a、b的函数表达式（写出切线a的表达式的求解过程，切线b的表达式直接写出即可，演算在草稿进行。）

（3）第（2）问中的a、b两条切线是否互相垂直？若垂直，请写出证明；若不垂直，请说明理由。

yCP(1，1)

b

xAODaB

3．如图，直线AB与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，2）；

直线CD与x轴交于C（2，0），与y轴交于D（0，4）。

（1）求直线AB的函数表达式（要有过程）；写出直线CD的函数表达式（过程在草稿纸做）。 （2）设AB与CD相交于点P，连结AD，求△PAD的面积。

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y 4 D

2 B P O C 2 A 4 x

4．如图， 二次函数 y = ax2 + bx + c 的 图 象与 x 轴 交于点A（6，0）和点B（2，0），与y轴交

于点C（0，23）；⊙P经过A、B、C三点. （1）求二次函数的表达式； （2）求圆心P的坐标；

（3）二次函数在第一象限内的图象上是否存在点Q，使得以P、Q、A、B四点为顶点的四边形是平行四

边形？若存在，请求出点Q的坐标并证明所说的四边形是平行四边形；若不存在，请说明理由。

y ·P C 23 B O x A 6 2 5．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O经过BC的中点D，过D作DE⊥AC于E。（1）求证：AB=AC（2分）

（2）求证：DE是⊙O的切线（3分）

（3）若⊙O的半径为3，切线长DE=22，求cos∠C的值。（4分）

6．如图，在平面直角坐标系中有矩形OABC，O是坐标系的原点，A在x轴上，C在y轴上，OA=6，OC=2。

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AOEBDC（1）分别写出A、B、C三点的坐标。（3分）

ylCBAxO1P（2）已知直线l经过点P（0，）并把矩形OABC的面积平均分为两部分，求直线l的函数表达

2式。（3分）

（3）设（2）的直线l与矩形的边OA、BC分别相交于M和N，以线段MN为折痕把四边形MABN翻折，使A、B两点分别落在坐标平面的A、B位置上。求点A的坐标及过A、B、C三点的抛物线的函数表达式。（4分）

y ABlC NB 1． [(1) 2分，(2)3分， （3）4分共9分。] O解：由题可知：AMAB=5，BP=t， AP=5－t，AQ= t， OQ=4－t， （1）分两种情况

①PQ⊥X轴（如图甲） Rt△AQP∽Rt△AOB AQAP∴ AOABt5t即 4520∴t (1分)

9②PQ⊥AB（如图乙） Rt△APQ∽Rt△AOB AQAP∴ ABAOt5t即 54xyB0,3PA4,0LOQxy(甲)B0,3PA4,0Lx初 三 培 优 班 2017寒 假 数 学 讲 义

OQ(乙)25 (2分) 92025答：当t或t时，△ PAQ为Rt△。

99（2）过P作PM⊥X轴于M（如图丙） yRt△AMP∽Rt△AOB PMAP∴ B0,3BOABPM5tP即 N353∴PM3t (1分) A4,05xMQO113LS△PAQAQPMt(3t) (丙)22533即S△PAQt2t (2分)

10235当t2时，S△PAQ最大。(3分)

322()10

（3）过P作PN⊥Y轴于N（如图丙）

Rt△PNB∽Rt△AOB PNPB∴ AOABAOPB4∴PNt (1分)

AB543∴P(t,3t)，而Q（4－t，0）

555∵t

233∴P（2，），Q（，0），而A （4，0） (2分)

223设抛物线的函数式为ya(x)(x4)

233把P（2，）的坐标代入，解得a

2233∴抛物线的函数式为y(x)(x4)

22333即yx2x9 (4分)

24∴t

2 [(1) 4分，(2)3分，

（3）3分，共10分。] （1）解：

A(-1, 0) B(3, 0) C(0, 3)

yCbFNP(1，1)OxMBA寒 初 三 培 优 班 2017假 数 学 讲 义 DaD(0, -1)

E

（2）解：如图，易证

Rt△AOE∽Rt△PMA OEAO∴ MAPMMAAO21∴OE2

PM1∴E(0，-2)

设a的表达式为ykx2 把A(-1，0)的坐标代入求得k2

故a的表达式是y2x2 (2分) 同理可求得b的表达式是y

（3）a和b是互相垂直的。

证明：如图，设a、b的交点为F 易证四边形PMON是正方形 ∴∠MPN=90°

又易证Rt△CNP≌Rt△APM ∴∠CPN=∠APM

∴∠CPN+∠APN=∠APM+∠APN

即∠APC=∠MPN=90° (2分) 而∠PAF=∠PCF=90°

∴∠AFC=360°－90°3=90°

∴a⊥b (3

3.（8分，（1）3分，（2）5分） （1）解

设AB的函数表达式为y=kx+2，把A（4，0）的坐标代入得： 0＝4k+2 y 1∴k

D 24 ∴AB的函数表达式是

1yx2 …………（2分）

2B 2 同理可求得，

P CD的函数表达式是

C A y2x4 …………（3分） E2 4 O

(2)解：

把AB和CD的函数表达式组成方程组：

1｛ yx22解得： y2x44x初 三 培 优 班 2017寒 假 数 学 讲 义

34y31x3 (3分) 2x

｛ …………（2分）

∴P（

44，） 334 …………（3分） 3过P作PE⊥x轴于E，则PE=

S△PAD SAODSCODSPAC111OAODOCODACPE222111444242222383的面积等于8平方单位。…………（5分） 答：△PAD

34．（10分，（1）3分，（2）4分，（3）3分）

（1）解：设二次函数的表达式为y=a(x－6)(x－2) …………（1分） 把C（0，23）的坐标代入得：23=12a ∴a3 ……………（2分） 6∴二次函数的表达式是y3(x6)(x2) ……………（3分） 6y 即y3243xx23 63（2）解：在Rt△BOC中，

BCBO2CO2

23C B 2 •P E

O4 …………（1分）

过P作BC的垂线交BC于D、交ｘ轴于E。

1由垂经定理得BD=BC＝2

2易证：Rt△BDE≌Rt△BOC（AAS）

22(23)2F A 6 x ∴DE=OC=23, BE=BC=4 …………（2分） 过P作PF垂直ｘ轴于F

1由垂经定理BF=AB＝２，

2∴EF=BE+BF=6 …………（3分）

又易证Rt△EFP∽Rt△EDB（两个角对应相等）

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∴

PFEF BDDEBDEF2623 DE23∴PF而OF=OB+BF=4

∴P（4，23） …………（4分）

（3）答：存在符合条件的Q点。…………（1分） 解：过P作X轴的平行线交二次函数的图象于Q 和Q′（Q在Q’的右边），显然Q和Q′的纵坐标 与P的纵坐标相同，即为23，

Q y∵Q和Q′在二次函数y3(x6)(x2) 63(x6)(x2)的图象上， 6 O23C B 2 • PA 6Qx ∴23解得：x18，x20

∴Q(8，23) …………（2分） Q′(0，23)，不在第一象限，舍去。 证明：连结PB、AQ

∵PQ∥ｘ轴。即PQ∥BA（作图） PQ=8-4＝4＝BA

∴四边形PQAB是平行四边形 …………（3分） （一组对边平行且相等）

5．（9分） （1）（2分） 证明：连结AD

∵ AB是⊙O的直径， ∴ ∠ADB=∠ADC=90° ①

…………（1分）

3241又∵ D是BC的中点，∴ BD=CD ② 而 AD=AO ③

由①②③得 △ABD≌△ACD （SAS） ∴ AB=AC

…………（2分）

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（2）（3分） 证明：连结OD

∵ O是AB的中点，D是BC的中点 ∴ OD是△ABC的中位线 ∴ OD//AC

…………（2分）

∴ ∠ODE=∠CED=90° 即 DE⊥OD ∴ DE是⊙O的切线。

（3）（4分）

解：在Rt△AED中，∠4+∠3=90°

在Rt△ADC中，∠C+∠3=90° ∴ ∠4=∠C 又 ∵ ∠2=∠1 ∴ △AED∽△DEC ∴

…………（3分）

AEDE （※） DECE …………（1分）

∵ ⊙O的半径为3，∴ AB=AC=6 设AE=x，则CE6x 又 DE22 代入（※）得

x2222 6x

…………（2分）

解得 x12， x24

① 当AEx12时，CE=6—2=4

在Rt△DEC中，CDDE2CE2(22)242=26 ∴ cosCCE46 CD263 …………（3分）

②当AEx24时，CE=6—4=2

CDDE2CE2(22)22223 ∴ cosCCE23 CD233 …………（4分）

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6．（10分） （1）（3分） 解：A（6，0）

B（6，2） C（0，2）

（2）（3分）

……（1分） ……（2分） ……（3分）

ylCQBOPAx解：由题意知，l必过矩形OABC的对角线的交点。

连结AC、OB，设交点为Q 由矩形性质得 Q（3，1） 把P（0，

…………（1分）

1），Q（3，1）的坐标分别代入ykxb 21b得 2

3kb1解得 k11，b 22

…………（2分）

…………（3分）

∴ 直线l的函数表达式是 y

（3）（4分） 解：由题知

11x 22yABl11M是直线yx与x轴的交点

22当y0时，x1 ∴ M（1，0）

∴ OM=1，AM=5，由矩形的中心对称性 得CN=AM=5，BN=OM=1

过N作NE⊥x轴于E 则AE=BN=1，ME=AM-AE=5-1=4 又 NE=2

CNFBOMDEAx在Rt△MEN中，MNME2NE2422225 …………（1分） 连结AA交l于F，由轴对称性质得AFl，即AF⊥MN，AA=2AF 又连结AN，在△AMN中，AF·MN=AM·NE

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∴ AFAMNE525 MN25∴ AA=25 …………（2分）

过A作AD⊥x轴于D

则 △ADA∽△AFM（一个直角对立相等及一个公共角）

ADAAAD25∴ 即 AFAM55∴ AD2,OD624 ①

在Rt△AAD中，ADAA2AD2(25)2224 ② ∴ 由①②得A（4，4）

…………（3分）

把A（4，4），B（6，2），C（0，2）的坐标分别代入yax2bxc

16a4bc4得36a6bc2 c213解得 a，b，c2

2413∴ 过A、B、C三点的抛物线的函数表达式是yx2x2 ………（4分）

42

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