☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求 真题举例 2016，全国卷Ⅱ，18,12分1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别； 2.了解两个互斥事件的概率加法公式。 (随机事件的概率) 2015，北京卷，17,13分(用频率估计概率) 2015，陕西卷，19,12分(用频率估计概率) 2014，福建卷，20,12分(用频率估计概率) 微知识 小题练
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1．事件
(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件。 (2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件。 (3)在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件。 2．概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否发生，称n次实验中事件A发生的次数nA为事件A发生的频数，称事件A发生的比例fn(A)＝为事件A发生的频率。
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率
命题角度 1.多以选择题或填空题的形式直接考查互斥事件的概率及运算，而随机事件的有关概念和频率很少直接考查； 2.互斥事件、对立事件发生的概率问题有时也会出现在解答题中，多为应用问题。 nAnP(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)。
3．事件的关系与运算
定义 如果事件A发生，则事件B一定发生，这符号表示 包含关系 时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件BA＝B 相等 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件A∪B(或A＋B) 交事件(积事件) B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) 若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B(或AB) 互斥事件 A∩B＝∅ 对立事件 A∩B＝∅且A∪B＝U 4．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P≤1。 (2)必然事件的概率P(E)＝1。 (3)不可能事件的概率P(F)＝0。 (4)概率的加法公式：
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。 (5)对立事件的概率：
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)。
微点提醒
1．频率与概率有本质的区别，不可混为一谈。频率随着试验次数的改变而改变，概率却是一个常数。当试验次数越来越多时，频率向概率靠近。
2．随机事件和随机试验是两个不同的概念，没有必然的联系。在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件；条件每实现一次，叫做一次试验，如果试验结果试验前无法确定，叫做随机试验。
3．对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件。
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一 、走进教材
1．(必修3P121练习T4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
【解析】 射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不中靶，故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶。故选D。
【答案】 D
2．(必修3P123A组T2改编)给出下列三个命题，其中正确的命题有________个。 ①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛3
硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个
7随机事件发生的概率。
3
【解析】 ①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概7率，这是两个不同的概念。
【答案】 0 二、双基查验
1．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为。当n很大时，P(A)与的关系是( ) A．P(A)≈ C．P(A)＞ mnmnmnmnB．P(A)＜ D．P(A)＝
mnmn【解析】 事件A发生的概率近似等于该频率的稳定值。故选A。 【答案】 A
2．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( ) A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有两个红球
【解析】 A中的两个事件不互斥，B中两事件互斥且对立，C中的两个事件不互斥，D中的两个互斥而不对立。故选D。
【答案】 D
3．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上。则下列结果正确的是( )
11
A．P(M)＝ P(N)＝ 3211
B．P(M)＝ P(N)＝ 22
13
C．P(M)＝ P(N)＝ 3413
D．P(M)＝ P(N)＝ 24
【解析】 由条件知事件M包含：(正、反)、(反、正)。事件N包含：(正、正)、(正、13
反)、(反、正)。故P(M)＝，P(N)＝。故选D。
24
【答案】 D
4．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为________。
【解析】 由对立事件的概率可求该同学的身高超过175 cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3。 【答案】 0.3
5．先后抛掷一枚硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是________。 7
【答案】 8
微考点 大课堂
考点一 随机事件的关系 【典例1】 (1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。 上述事件中，是对立事件的是( ) A．① C．③
B．②④ D．①③
(2)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 (1)③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两
个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件。故选C。
(2)若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋
P(B)＝1。设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，
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则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件。故选A。
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【答案】 (1)C (2)A
反思归纳 利用集合方法判断互斥事件与对立事件
1．由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥。
2．事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集。
【变式训练】 在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件37
“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是( )
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A．至多有一张移动卡 C．都不是移动卡
B．恰有一张移动卡 D．至少有一张移动卡
【解析】 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A。
【答案】 A
考点二 随机事件的概率 【典例2】 某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 保费 0 0.85a 1 2 1.25a 3 1.5a 4 1.75a ≥5 2a a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 频数 0 60 1 50 2 30 3 30 4 20 ≥5 10 (1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值； (2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”。求
P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值。
【解析】 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2。 由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为
60＋50
＝0.55， 200
故P(A)的估计值为0.55。
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4。
30＋30
由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，
200故P(B)的估计值为0.3。 (3)由所给数据得
保费 频率 0.85a 0.30 a 0.25 1.25a 0.15 1.5a 0.15 1.75a 0.10 2a 0.05 调查的200名续保人的平均保费为 0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a。
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a。 【答案】 (1)0.55 (2)0.3 (3)1.192 5a 反思归纳 1.概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值。
2．随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率。
【变式训练】 随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期 天气 日期 天气 日期 天气 1 晴 11 阴 21 晴 2 雨 12 晴 22 阴 3 阴 13 晴 23 晴 4 阴 14 晴 24 晴 5 阴 15 晴 25 晴 6 雨 16 晴 26 阴 7 阴 17 阴 27 晴 8 晴 18 雨 28 晴 9 晴 19 阴 29 晴 10 晴 20 阴 30 雨 (1)在4月份任选一天，估计西安市在该天不下雨的概率； (2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率。
【解析】 (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任2613选一天，西安市不下雨的概率为＝。
3015
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)。这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次7
日不下雨的频率为。
8
7
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为。
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【答案】 (1) (2) 158
考点三 互斥事件与对立事件的概率 【典例3】 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示。
一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/人) 1至4件 5至8件 30 1.5 9至12件 25 2 13至16件 17件及以上 10 3 x 1 y 2.5 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%。 (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率。(将频率视为概率) 【解析】 (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45， 所以x＝15，y＝20。
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10
＝1.9(分钟)。
100
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率201101视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝。
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P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝。
7
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为。
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【答案】 (1)x＝15，y＝20,1.9分钟 (2)
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反思归纳 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的
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概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解。当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法。
【变式训练】 国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：
命中环数 概率 求该射击队员射击一次： (1)射中9环或10环的概率； (2)命中不足8环的概率。
【解析】 记事件“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak彼此互斥。 (1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60。
(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，则B表示事件“射击一次，命中不足8环”。
又B＝A8∪A9∪A10，由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10) ＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78。 故P(B)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22。
因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22。 【答案】 (1)0.60 (2)0.22
微考场 新提升 1．(2017·太原模拟)某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是( )
11535A. B. C. D. 56636
解析 记a、b分别为甲、乙摸出球的编号，由题意得，所有的基本事件共有36个，满305
足a≠b的基本事件共有30个，∴所求概率为＝。故选C。
366
答案 C
2．(2016·兰州诊断)从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )
1112A. B. C. D. 6323
10环 0.32 9环 0.28 8环 0.18 7环 0.12 解析 从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成的两位数有12、13、21、23、31、32，21
共6个，其中大于30的有31、32，共2个，故所求概率为＝。故选B。
63
答案 B
3．(2016·云南模拟)从2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )
3511A. B. C. D. 4824
解析 分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的1
取法有2种，故所求概率P＝。故选C。
2
答案 C
4．从20名男生、10名女生中任选3名参加体能测试，则选到的3名学生中既有男生又有女生的概率为________。
解析 选到的同学中有男生1名、女生2名的选法有C20C10种，选到的学生中有男生2名、C20C10＋C20C10
女生1名的选法有CC种，则选到的3名学生中既有男生又有女生的概率为P＝＝3
C30
212010
1
2
2
1
1
2
20 29
答案
20 29
5．一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为________。
1
解析 因为一枚硬币连掷5次，没有正面向上的概率为5，所以至少一次正面向上的概率
2131为1－5＝。
232
答案
31 32
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