初一数学三角形

精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号： 学员编号：gz6zqj691 年 级：初 一 课时数及课时进度：3（27/73） 学员姓名：陈柏骥 辅导科目：数 学 学科教师：曹 庆 学科组长签名及日期 课 题 三角形 1、了解三角形的基本概念及性质； 2、掌握三角形三边的关系及三个角之间的关系； 2、了解多边形的简单性质及镶嵌的概念. 教学目的 教学内容 【知识要点】 一、三角形相关概念 1．三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形. 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 2．三角形的表示 通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角． 3．三角形中的三种重要线段 三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段． （1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线． ②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部． ③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画． （2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点． ②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可． （3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高． 注意：①三角形的三条高是线段 ②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高． 精锐教育网站：www.1smart.org - 1 - 精锐教育· 考试研究院

中国领先的个性化教育品牌 二、三角形的分类 （1）三角形按角分类 （2）三角形按边分类 三、三角形的三边关系 ①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b． ②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a． 注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可. 由于三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构，未安装的窗框要斜钉一根木条，都是这个道理． 四、三角形的内角 结论1：三角形的内角和为180°．表示： 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° （1）构造平角 ①可过A点作MN∥BC(如图) ②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图） （2）构造邻补角，可延长任一边得 邻补角（如图） 构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图） 注意： ①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角.如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）. ②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数． 五、三角形的外角 1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角． 如图，∠ACD为△ABC的一个外角，∠BCE也是△ABC的一个外角， 这两个角为对顶角，大小相等． 2．性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图中，∠ACD=∠A+∠B , ∠ACD>∠A , ∠ACD>∠B. 3．外角个数 过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角． 精锐教育网站：www.1smart.org - 2 - 精锐教育· 考试研究院

中国领先的个性化教育品牌 六、多边形及其内角和 ①多边形的对角线n(n3)2条对角线 ②n边形的内角和为（n－2）×180° ③多边形的外角和为360° 【习题讲与练】 考点1 三角形角平分线、中线、高 1.对下面每个三角形，过顶点A画出中线，角平分线和高. AAA BCC BBC(2)(1)(3) 2.下列说法错误的是( ). A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D．三角形的三条高可能相交于外部一点 3．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是( ) BBBB E EA AEACECAC CACDB 2题图4．如图3，在△ABC中，点D在BC上，且AD=BD=CD，AE是BC边上的高，若沿AE所在直线折叠，点C恰好落在点D处，则∠B等于（ ） A．25° B．30° C．45° D．60° 5. 如图4，已知AB=AC=BD，那么∠1和∠2之间的关系是（ ） A. ∠1=2∠2 B. 2∠1+∠2=180° C. ∠1+3∠2=180° D. 3∠1-∠2=180° 精锐教育网站：www.1smart.org - 3 - 精锐教育· 考试研究院

中国领先的个性化教育品牌 6.如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则根据图形填空： ⑴BE= =12 ；⑵∠BAD= =012 ⑶∠AFB= =90； 07.如图在△ABC中，∠ACB=90，CD是边AB上的高。那么图中与∠A相等的角是（ ） A、 ∠B B、 ∠ACD C、 ∠BCD D、 ∠BDC A C E B A B D C F D 第6题 第7题 8.已知，如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，求∠E的度数 B A E CD 考点2 三角形的三边关系 1.关于三角形的边的叙述正确的是 （ ） A、三边互不相等 B、至少有两边相等 C、任意两边之和一定大于第三边 D、最多有两边相等 02.已知△ABC中，∠A=20，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、正三角形 3.如图是一副三角尺拼成图案，则∠AEB＝_________°. A D E B C 4.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是( ) A. 3cm, 4cm, 8cm B. 8cm, 7cm, 15cm C. 13cm, 12cm, 20cm D. 5cm, 5cm, 11cm 5.下列长度的三条线段能组成三角形的是 （ ） A、 3，4，8 B、 5，6，11 C、 1，2，3 D、 5，6，10 6.等腰三角形两边长分别为3,7，则它的周长为( ) A、13 B、17 C、13或17 D、不能确定 7.已知a,b,c是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|. 精锐教育网站：www.1smart.org - 4 - 精锐教育· 考试研究院

中国领先的个性化教育品牌 考点3 三角形的稳定性 1.不是利用三角形稳定性的是( ) A、自行车的三角形车架 B、三角形房架 C、照相机的三角架 D、矩形门框的斜拉条 2．如图5，一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( ) A、三角形的稳定性 B、两点确定一条直线 C、两点之间线段最短 D、垂线段最短 5题图考点4 三角形内角和、外角和的运用 1．一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 （ ） A 、三角形 B、 四边形 C、 五边形 D、 六边形 02．一个多边形内角和是1080，则这个多边形的边数为 （ ） A、 6 B、 7 C、 8 D、 9 3．一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是（ ） A、 四边形 B、 五边形 C、 六边形 D、 八边形 4．一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加( ) A. 180° B. 360° C. (n-2)·180° D. n·180 5．若一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，则此多边形是( ) A、八边形 B、十边形 C、十二边形 D、十四边形 6．正方形每个内角都是 ______，每个外角都是 _______。 7．多边形的每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有 条。 8．六边形共有_______条对角线，内角和等于__________，每一个内角等于_______。 9．内角和是1620°的多边形的边数是 ______。 10．如果一个多边形的每一外角都是24°，那么它是______边形。 考点5 三角形的综合运用 1.如图，在△ABC中，∠B, ∠C的平分线交于点O. (1)若∠A=50,求∠BOC的度数； (2)设∠A=n（n为已知数），求∠BOC的度数. B C O 00AOBA 精锐教育网站：www.1smart.org - 5 - 精锐教育· 考试研究院

中国领先的个性化教育品牌 2.如图，已知点P在△ABC内任一点，试说明∠A与∠P的大小关系 A P B C 3.某零件如图所示，图纸要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°， 当检验员量得∠BDC=145°，就断定这个零件不合格， 你能说出其中的道理吗？ C D A B 4.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE是△ABC的角平分线,AD、CE交于F点.当∠BAC=80°,∠B=40°时。 求∠ACB、∠AEC、∠AFE的度数. 5.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm， 求: (1)△ABC的面积； (2)CD的长； （3）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积； C（4）作出△BCD的边BC边上的高DF，当BD=11cm 时，试求出DF的长。 DAB 精锐教育网站：www.1smart.org - 6 - 精锐教育· 考试研究院

中国领先的个性化教育品牌 6.在△ABC中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点。 求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数. 7.已知在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∠ABC的平分线BD交AC于D. 求：∠ADB和∠CDB的度数. 8.已知：如图5—130，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，CE平分∠BCD，且∠ACD：∠BCD＝1：2。 那么CE是AB边上的中线对吗?说明理由． 9.如图19，已知，∠C=∠DAE，∠B=∠D，那么AB与DF平行吗？为什么？ 精锐教育网站：www.1smart.org - 7 - 精锐教育· 考试研究院

中国领先的个性化教育品牌 10.如图1，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝______________________度。 如图2，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝________________________度。 如图3，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝_______________________度。 如图4，MA1∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝_____________________度。 从上述结论中你发现了什么规律？ 如图5，MA1∥NAn，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋……＋∠An＝______________________度。 精锐教育网站：www.1smart.org - 8 - 精锐教育· 考试研究院