湘教版八年级下数学教案i

2021-04-20 来源：小奈知识网

八年级数学（下册）教案洞口中学曾跃飞设计

1.1 多项式的因式分解

教学目标

1．了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的相互关系． 2．感受因式分解在解决相关问题中的作用． 3．通过因式分解培养学生逆向思维的能力。

重点与难点

重点：理解分解因式的意义，准确地辨析整式乘法与分解因式这两种变形。难点：对分解因式与整式关系的理解教学过程

一、创设情境，导入新课 1 回顾整式乘法和乘法公式

填空：计算：(1)2ab(3a+4b-1)=_________, （2）（a+2b）(2a-b)=__________

(3)（x-2y）(x+2y)=__________;(4) (3m2n)2=_____________ (5) (a+12n)=________

22 你会解方程：x210吗？

估计学生会想到两种做法：（1）一是用平方根的定义，（2）二是：解：（x+1）(x-1)=0,根据两个因式相乘等于0，必有一个因式等于0，得到：x+1=0或者x-1=0,因此：得x=1或-1 指出：把x1写成(x+1）（x1)叫因式分解，为什么要把一个多项式因式分解呢？这节课我们来学习这个问题。二合作交流，探究新知 1 因式的概念

（1）说一说： 6=2×___, x4=（x2)_____,

（2）指出：对于6与2，有整数3使得6=2×3，我们把2叫6的一个因数，同理,3也是6的一个因数。

类似的：对于整式x4与x+2,有整式x-1使得x4=（x2)(22)，我们把x+2叫多项式x4的一个因式，同理，x-2也叫多项式x4的一个因式。你能说说什么叫因式吗？

一般地，对于两个多项式f与g,如果有多项式h使得f=gh,那么我们把g叫f 的一个因式，同样，h也是f的一个因式。

222222 1

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（3）考考你：你能说出下面多项式有什么因式吗？ A ab+ac, B 4t29 C R2R2 因式分解的概念

（1）指出;一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解。（2）考考你：

下面变形叫因式分解吗？

A2423,Bx+1=x(1314 D 4S212S9

1x),C4x2x2(2xx),Dmnmnmn(nm)

2222E 2x33x21=x2(2x3)1 F 2x33x21=x2(2x3)

说明：因式分解的对象是含有字母的多项式因此A 不是因式分解，因式分解的目的是把含字母的多项式化成均含字母的乘积的形式，因此B不是，因为(11x)不是多项式。D 中等

号右边不是乘积形式，因式分解是对一个多项式进行变形，不改变它的结果，因此F不是因式分解。

3 为什么要对一个多项式进行因式分解呢？看书P 3 4 尝试练习

你能根据 (1)2ab(3a+4b-1)=_________, （2）（a+2b）(2a-b)=__________

(3)（x-2y）(x+2y)=__________;(4) (3m2n)2=_____________ (5) (a+12) =________

2对下面多项式进行因式分解吗？

222222(1) 6ab8ab2ab，（2）x4y，（3）9m12mn4n，（4）aa214

5 因式分解与整式乘法有什么区别和联系？

整式乘法：把乘积形式化和差形式，因式分解：把和差形式化成乘积形式；考考你：

判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是分解因式? (1). x4y=(x+2y)(x-2y) (2).2x(x-3y)=2x-6xy

(3).5a1=25a-10a+1 (4). x +4x+4=x2 (5).(a-3)(a+3)= a-9

22222222(6) m.-4=(m+4)(m-4) (7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)

2 2

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三应用迁移，巩固提高 1 简单的因式分解

例1 把下列多项式因式分解

（1）a29，（2）4a29，（3）4a29b2，（4）a24a4（5）a2bab2 2 因式分解在解方程中的应用

例2 解下列方程：（1）4x290，（2）x23x0 三课堂练习，巩固提高

1.指出下列各式中从左到右的变形哪个是分解因式？ (1)x2－2=(x+1)(x－1)－1 (2)(x－3)(x+2)=x2－x—6

(3)3m2n－6mn=3mn(m－2) (4)ma+mb+mc=m(a+b)+mc (5)a2－4ab+4b2=(a－2b)2 2 把下列各式因式分解

（1）3a26a39a，（2）16x225b2, (3) 4m212m9 四反思小结，拓展提高

1这节课重点内容是什么？这节课重点是因式分解的概念， 2 什么叫因式分解？因式分解与整式的乘法有什么区别？五作业 P 4

1.2 提公因式法

教学目标：会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法分解多项式的因式。

重点、难点

重点：用提公因式法分解因式。难点：确定多项式中的公因式。

教学过程

一创设情境，导入新课

1 如图，我们学校篮球场的面积是ma+mb+mc,长为a+b+c,宽为多少呢？

这个问题实际上就是求(am+bm+cm)÷(a+b+c)=______ 为了解决这个问题请你先思考：

2如图，某建筑商买了一块宽为m的矩形地皮，被分成了三块矩形宽度分别是a,b,c,这块地皮的面积是多少？

提问：把ma+mb+mc写成m(a+b+c)叫什么运算？怎样分解因式？

这节课我们来学习第一个方法-------提公因式法二合作交流，探究新知 1 公因式的概念

（1）式子：am,bm,cm,是由哪些因式组成的？

maba+b+cam+bm+cmc 3

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指出：其中m是他们的公共的因式，叫公因式（2）你能指出下面多项式中各项的公因式吗？

12a24a3,224xy16xy2336m2n48mn2

(5) r2h233r 412xy18xy1 5y

22 提公因式法

把ma+mb+mc分解成：ma+mb+mc=m(a+b+c),用到什么依据？这种因式分解有什么特点？用到了乘法分配律，特点：把各项的公因式提出放到括号外面，叫提公因式法。 3 应用举例

例1 把5x23xyx因式分解

强调：（1）公因式确定后，另一个因式怎么

确定？

（2）某一项全部提出后，还有因数 “1”

例2 把4x26x因式分解。

强调：（1）首项系数是负数时，取其绝对值

找最大公因数。

（2）首项为负时，最好提出负号。

例3 把8x2y412xy2z因式分解强调：公因式确定的方法：

（1）系数：取各系数的最大公约数。如果绝对值较大，可以分解质因数求最大公因数；

如：求48、36的最大功因数48=243，36=2232，那么223就是他们的最大公约数

（2）对于字母，取各项都有的，指数最低的。如：x2y4与xy2z，取xy2做为公因式的字母因式

（3）公因式确定后，另一个因式可以用多项式除以公因式。考考你： 1. a²x+ay-a³xy在分解因式时,应提取的公因式 ( ) A. a² B. a C. ax D. ay 2.下列分解因式正确的个数为 ( )

(1)5y³+20y²=5y(y²+4y) (2) a²b-2ab²+ab=ab(a-2b) (3) –a²+3ab-2ac=-a(a+3b-2c) (4) -2x²-12xy²+8xy³=-2x(x+6y²-4y³) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三应用迁移，巩固提高 1 提公因式法在计算方面的应用

例4 如图，a=4.6cm,b=1.3cm,求阴影部分的面积。

2 提公因式法在证明中的应用

例5 81-27-9必能被45整除吗？试说明理由。

7913aba 4

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四课堂练习，巩固提高 P 8 1,2,3

五反思小结，拓展提高。这节课我们学习了因式分解的什么方法？应注意什么？六作业P 10 A 1 2 (1)---(3) B 2,3

1.2用提公因式分解因式（2）

教学目标

1 使学生进一步掌握公因式为多项式的因式分解； 2 渗透类比、转化的思想。

重点、难点：重点：公因式为多项式的因式分解

难点：公因式不明显而需要转化才能找到时的因式分解。

教学过程

一创设情境，导入新课

1 复习检查

（1）-8abc--14a2b312a3b的公因式是_______, 师：强调找公因式的方法

（2）分解因式： ① am+bm ② 15x4y310x3y430x2y5

强调：如果多项式中各项有公因式，一定要提出公因式。找公因式是关键，如果把多项式am+bm中的m换成：（x-2）得到a（x-2）+b（x-2又怎样分解因式呢？板书课题：用提公因式法分解因式（2）

二合作交流，探究新知

1公因式为多项式的因式分解（1）am+bm中的m换成：（x-2）得到a（x-2）+b（x-2中的公因式是什么？怎样分解因式 (2)若再将a换成2b-3得到：（2b-3）(x-2）+b（x-2）公因式是什么？怎样分解因式？ (3) am+bm中的m换成：ab得到aabbab，公因式是什么？怎样分解因式？

（4）若再把a换成（a+c）,b换成(a-c)得到：(ac)ab(ac)ab公因式是什么？怎样分解因式？

从上面问题我们看到公因式有的是单项式，有的是多项式，我们要练就“火眼金睛”发现多项式的公因式。

2 公因式不明显的因式分解

（1）你知道下面多项式有什么关系吗？有式子怎样表达它们的关系？

① a+b与b+a ② a-b与b-a ③ ab与 ba ④ ab与ba （2）下面多项式有公因式吗？如果有怎样分解因式呢？

223322222 5

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① a (x-2)+b (2-x) ② a ab+b ba ③ aab-bba

2233三应用迁移，巩固提高

1 多项式为公因式的因式分解例1 把 -12xy2xy18x2yxy分解因式。

23例2 把多项式(a+b-c) (a-b+c)-(b+c-a) (c-a-b)分解因式例3 把a2xy2ayx分解因式

2 多项式因式分解的应用

例4 已知x,y都是正的整数，且x (x-y)-y (y-x)=12,求x和y 例5 解方程：2x (3x -1) +( 2x -2 ) (1-3x )=28

四课堂练习，巩固提高 P 10 1 ,2 五反思小结，拓展提高

这节课你有什么收获？师强调：不明显的公因式要注意变形成为多项式。

六作业 P 11,2 (4)----(7) 3 B

1.3 公式法（1）

教学目标

1 使学生掌握用平方差公式分解因式；

2 理解多项式中如果有公因式要先提公因式，了解实数范围内与有理数范围内分解因式的区别。

重点、难点

重点：用平方差公式分解因式。难点：当公式中的字母取多项式时的因式分解。教学过程

一创设情境，导入新课 1 复习检查：

（1）分解因式：(1) 5x (x3y)3x2y3yx

22（2）（a+b） (a-b )=___________,这是什么运算? （3）怎样分解因式：ab？

ab=（a+b） (a-b )，是用平方差公式分解的，我们把它公式法。

2222这节课我们来学习用公式法分解因式。板书课题

二合作交流，探究新知。

1 用平方差分解因式

（1）把公式ab=（a+b） (a-b )中的字母a改为2x字母b改为y得到什么样的多项式？

22 6

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怎样把4x2y2分解因式？，

（2）把公式a2b2=（a+b） (a-b )中的字母a改为5x字母b改为式？怎样分解多项式25x294y？

232y得到什么样的多项

（3）把公式a2b2=（a+b） (a-b )中的字母a改为x+y字母b改为2y得到什么样的多项式?怎样把多项式xy4y分解因式？

22（4）把公式a2b2=（a+b） (a-b )中的字母a改为x+y字母b改为x-y+1得到什么样的多项式?怎样把多项式xyxy1分解因式？

2 模仿练习：请你把公式a2b2=（a+b） (a-b )中的字母a、b任意改为数、字母、单项式或者多项式，然后把这些多项式分解因式。通过这样的训练，你会多用平方差公式分解因式更加熟练，一定要重视哟！

3 平方差公式的识别下面多项式是否适合用平方差公式分解因式？（1）a2b2，（2）a2(b)2，（3）a2(b2) 师：一个多项式是否适合用平方差公式分解因式，怎样辨别呢？

22三应用迁移，巩固提高

1 用平方差公式分解因式

4422例1分解因式。（1） xy ，（2）9(xy)4xy (3) 4x（y2y1）

222 综合运用平方差公式和提公因式法分解因式。例2 把xyx分解因式。

3 有理数范围和实数范围内分解因式。交流：怎样把a9分解因式？估计学生会有两种想法：

44一是：a9=x23(x23)，二是：a9=x3(x232543)x3

这两种解法有什么区别？

前者结果中系数没有无理数，后者结果中出现无理数。我们把前面的因式分解叫在有理数范围内分解因式，后者叫在实数范围内分解因式。

如果没有特别说明，因式分解只在有理数范围内进行。

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4 应用迁移，巩固提高

例3 某校打算对操场的圆形跑道上铺塑胶路面，已知跑道外圆半径R=30.5m,内圆半径r=24.5m,求需要的塑胶总面积。（π取3.14，结果精确到0.1）

四课堂练习，巩固提高 P 14 练习题 1，2，3

五反思小结，拓展提高用平方差公式分解因式，关键是会识别一个多项式是否适合用公式，如果适合什么式子相同于公式中的字母a,什么式子相当于公式中的字母b。

六作业P 17 1 B 1,2

1.3 公式法（2）

教学目标

1 使学生掌握完全平方公式并会利用完全平方公式分解因式； 2 培养学生的逆向思维能力。

重点、难点

重点：会用完全平方公式分解因式难点：识别一个多项式是否适合完全平方公式。

教学过程

一创设情境，导入新课

1 检查学习效果分解因式（1）-214xy ；（2）4mn(mn)

22222 (ab)2=_________,ab=__________这叫什么运算？怎样多项式：a2-2abb2、a2+2abb2分解因式？这节课我们来学习公式法（2）

二合作交流，探究新知

1 理解平方差公式的结构，并会用平方差公式分解因式

（1）我们把式子a-2abb中的字母a改为x,b改为2，得到的多项式是什么？怎样把

x4x4分解因式？+4x改为-4x 又怎样分解因式呢？

222（2）我们把式子a-2abb中的字母把a改为x，b改为把x3x22232，得到的多项式是什么？怎样

94分解因式呢？-3x改为+3x呢？

22（3）我们把式子a-2abb中的字母a改为2x,b改为2，得到什么样的多项式？怎样把

4x12x4分解因式？-12x改为+12x呢？

2 8

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（4）我们把式子a2-2abb2中的字母a改为a2，b不变，得到什么样的多项式？怎样把

422a2abb分解因式？

（5）我们把式子a2-2abb2中的字母a改为（x+y）,字母b改为6 得到什么样的多项式？怎样把xy2(xy)36分解因式？

通过上面的讨论，我们看到公式中的字母可以代替一个数、一个字母、甚至一个单项式或一个多项式，关键是要知道多项式是否适合完全平方公式，如果适合，什么相当于字母a，什么相当于字母b. 2 公式的识别

(1)下面多项式是否适合完全平方式分解因式？

（1）x22x4，（2）m2+2m-1 (3) a22a2bb2 (2)填空：

①a22ax(____)2(____)2,②4a24ax(____)2(____)2 ③x2(___)4(___)2 ④(___)2x1(___)2

(4)mmn2214n

2三应用迁移，巩固提高

1 用完全平方公式分解因式例1把下面多项式分解因式

（1）（3）-4x+12xy-9y，x6x1 （2）x2x1 （4）y2y2(y2y)1

222242222 提公因式法和公式法的综合运用

例2 把多项式3ax6axy3ay分解因式 3 分解因式的应用

例3 若一个三角形的三条边a、b、c满足a2bc2ab2bc0试判断这个三角形的形状

22222四课堂练习，巩固提高 P 17 练习，1，2 五反思小结，拓展提高

1完全平方公式有什么特点？

2用完全平方公式分解因式关键是先识别一个多项式是否适合完全平方公式，如果适合，什么相当于a,什么相当于b. 作业 P 17 A 2,3 B3

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2.1 分式的基本性质（1）

教学目标

1 了解分式的概念。

2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。

教学重点、难点：

重点：分式的概念和性质难点：理解分式的性质。

教学过程

一创设情境，导入新课

探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？（交流讨论）（1）每位小朋友分（2）分法：

① 每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果的

3434

② 为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块，这六块占一个苹果的

68。

34=68想想这两种分法分得的是否一样多？（，即：

34=3242=68）由此表明了什么？

分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。这就是分数的基本性质。

2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？用除法表示：3n，用分数表示为：实数吗？（n不能为0） (2)

34与3n3n33n，3n、相等吗？（3n=n）这里的n可以是

有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分式，什么叫

分式呢？分式有没有和分数一样的性质？

这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题）

二合作交流，探究新知

1 分式的概念填空：

（1 ）如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。（2）一个梯形木板的面积是6 m2，如果梯形上底是am，下底是bm，那么这个梯形的高是________m.

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(3) 两块面积分别为a亩，b亩的稻田m kg，n kg，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式：含有字母）

一般地，如果f、g分别表示两个整式，并且g中含有字母，那么代数式

fg12mn这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整式，分母、、bababa叫分式。

说明：分式的分子分母一般是多项式，单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。

2 分式的基本性质思考：

34与分式3a4a 相等吗？分式abab22与分式ab相等吗？

如果a0, 那么

34=3a4a,只要

abab22与ab都意义，那么

abab22=ab。

你认为分式和分数具有相同的性质吗？

分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式，分式值不变。分式的分子与分母约去共因式，分式的值不变。用式子表示为：设h0,则做一做 P 24

3 分式的值为零的条件和分式有意义的条件例1 求分式

x5x625fgfhgh

的值，（1）x=3, (2)x=x5x6

(x5)(x6)(x-5)思考：（1）要是分式应等于多少？

的值为零，x应等于多少？要使分式的值为零，x

分式值为零的条件是什么？（分子为零，分母不等于零）例2 当x取什么值时，分式

x22x3（1）无意义，（2）有意义。

分式有意义的条件是什么？（分母不等于零）三课堂练习，巩固提高 P 25

四反思小结，巩固提高这节课你有什么收获？

学习了分式的概念，分式的基本性质，分式值为零的条件分式有意义的条件。五作业 P 27---28 A 1,2,3 B 1,2

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2.1 分式基本性质（2）

教学目标

1 进一步掌握分式基本性质的应用。 2 通过探索掌握分式符号的变换法则。教学重点、难点：分式基本性质的应用和分式的变号法则教学过程

一创设情境，导入新课 1 复习：分式基本性质是什么？用式子怎么表示？分式的分子分母同乘以一个非零的多项式，分式值不变。

fgfhgh(h0)

2 分式的值为零的条件是什么？分式有意义的条件是什么？分式值为零的条件：分子为零，分母不为零。分式有意义的条件是：分母不为零。二合作交流，探究新知

1 分式基本性质的应用（1）约去分子分母的公因式而把分式化简例1 把下列分式中分子分母的公因式约去（1）16xy20xy42316xy20xy423；（2）x422x4x4

分析：先要找到公因式，对于分子分母的公因式是什么？然后把分子

分母分别写成公因式乘以一个适当的式子。

解（1）

16xy20xy423＝－

4xy4x4xy5y33＝－

4x5y.

如果分子分母是多项式，还要注意先分解因式，再找公因式。

（2）

x4x4x422＝

(x2)(x2)(x2)2＝

x2x2.

练一练：把下列分式中分子分母的公因式约去（1）

2axy3axy22；（2）

2a(ab)3b(ab)；（3）

(ax)(xa)23；（4）

x4xy2y2.

2 把异分母分式化成同分母分式

异分母分数化成同分母分数是利用分数的基本性质把每一个分数的分子分母乘以一个适当的数。如：（1）

1、12201，它的公分母是多少呢？（60）60是怎

么求得的呢？（用短除法）还有别的方法吗？

1223,2025，请你算一算：235你发现了什么？

222 12

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例2 把下列异分母分式化成同分母分式。（1）、，（2）

ab111xy,1，

1xyaab （3）

，

1xy1ab2，

1ab2；

解：（1）

（2）

1a1babb1abaabb1xy1ab2＝

1（xy）(xy)(xy)1bbab22＝

xyxy1ab222＝

1(xy)(xy)(xy)a＝

xyxy22

（3）＝

abb13x22＝，＝

1aaba2＝

ab22.

练一练：把分式，

512xy；化成分母相同的分式。

2 分式符号的变换思考：（1） ①（2）①12与-11-11、-；②与有什么关系？为什么？ 22-22fg与-fg、-fg；②-f-g与fg 有什么关系？为什么？估计学生会想到用除法法则来找到他们的关系，但还要引导学生利用分式的基

本性质来找到他们的关系。

fg-f-g=f(1）-fff（-1）f-f-fff，-=（-1）=因此：====-

g（-1）ggggggggfg=（-1）（-f)(1)(g)，因此，

-f-gfg

从上面的变换你发现了什么规律？请用你的话来表达？

分式的分子、分母、分式本身三个符号任意改变两个，值不变。练一练： 1 P 26 做一做 2 P 27 练习题

3 下面变形是否正确？为什么？如果不正确应怎样改正？

x1x12x1x12

三反思小结，拓展提高这几课你有什么收获？

1感受了分式基本性质的应用，2 会变换分式的符号。

四、作业P 29 A 3、4、5 B

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2.2.1分式的乘除法

教学目标

1 通过类比得出分式的乘除法则，并会进行分式乘除运算。 2 了解约分、最简分式的概念，会对分式的结果约分。

重点、难点

重点：分式乘除法则及运用分式乘除法则进行计算难点：分式乘除法的计算

教学过程

一创设情境，导入新课

1 分数的乘除法复习计算：（1）

2324；（2） 分数乘法、除法运算的法则是什么？ 103992 类比：把上面的分数改为分式：(1)fguv,2fguv（u0）怎样计算呢？

这节课我们来学习----分式的乘除法（板书课题）

二合作交流，探究新知

1 分式的乘除法则 (1)fguvfugv,2fguvfvfvgu(u0)

gu你能用语言表达分式的乘除法则吗？

分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子、分母，然后约去分

子、分母的公因式。

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 2 分式乘除法则的初步应用及分式的约分和最简分式的概念例1 计算： 12x25yyx23;23x2x12xx1 学生独立完成，教师点评

点评：（1）分式的乘法，可以先把分子、分母分别相乘再约去分子、分母的公因式，这叫约分。分子、分母没有公因式的分式叫最简分式。

（2）分式的除法运算实际上是转化为分式的乘法运算，这里体现了“转化”的思想。

三应用迁移，巩固提高

1 需要分解因式才能约分的分式乘除法例2 计算：（1）

x12x6x;(2） 22x1x2x1x14x28x2点评：如果分子、分母含有多项式因式，因先分解因式，然后按法则计算。

2 分式结果的化简及化简的意义

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例3 化简：(1)x9x6x922;(2)x4x4x2x22

点评：在进行分式运算的时候，一般要对要对结果化简，为什么要对分式的结果化简呢？请你先完成下面问题：例4 当x=5时，求

x9x6x922的值。

现在你知道为什么要对分式的结果化简了吗？（把分式的结果先化简，可以使求分

式的值变得简便）

四课堂练习，巩固提高

2x6y8xyx1321计算：12;26xy3;(4)x2x4x4

3yx32x1x2xy5xy10y2522222化简：1;2x2xyyyx22

3下面约分对吗？如果不对，指出错误原因，并改正

12x2y2x+2y22=2（xy)2(xy)2211xy2xy;22xx322x3

4 有这样一道题“计算：

x2x1x122x1xx2x的值，其中x2005.\"甲同学把x=2009

错抄成2900”，但他的计算结果是正确的，你说这是怎么回事？

五反思小结，拓展提高

六、作业：P 34 1，2，3 B 1，2，3

2.2.2分式乘方

教学目标

1 探索分式乘方的运算法则。 2 熟练运用乘方法则进行计算。

重点、难点

重点：分式乘方的法则和运算。

难点：分式乘方法则的推导过程的理解及利用分式乘方法则进行运算。

教学过程

一创设情境，导入新课

1 复习：分式乘除法则是什么？ 2什么叫最简分式？

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3 取一条长度为1个单位的线段AB，如图:

第一步：把线段AB三等分，以中间一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，就得到了由_____条长度相等的线段组成的折线，每一段等于____,总长度等于____.

第二步：把上述折线中的每一条重复第一步的做法，得到___,继续下去。情况怎么样呢？这节课我们来学习------分式的乘方。

N=0A 分式乘方的法则（1）把结果填入下表：步数 1 2 4 24 N=1BAN=2B二合作交流，探究新知。

线段的条数 13每条线段的长度 2总长度 43 21 31 31 31 354344164=== 3393444641== 33327344442564== 33338134444410241== 3333324335433 34 4 44 5 54 （2）进行到第n步时得到的线段总长度是多少呢？ 44444444...n 33333331444444444244444444433n个nnfffffffffn：____. （3）把改为，即...3gggffggggg1444444444444244444444444434fnnnn个用语言怎么表达呢分式乘方等于分子、分母分别乘方。

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三应用迁移，巩固提高

1 分式乘方公式的应用

4x2yx例1 计算：12;2

y3w43强调每一步运用了哪些公式。

2 除法形式改为分式形式进行计算。

例2 计算：16x3y42xy;25x4y2x2y43x2y24x2y。强调：除法形式改为分式，利用分式的运算性质进行计算给计算带来了方便。 3 分式乘方与分式乘法、除法的综合运用。

x3yz例3 计算：2 2yxxy24324 整体思想

ab例4 已知：，求a5ab42009aba2008的值。

四课题练习，巩固提高 P 34 练习题 1,2

2补充：先化简，再求值。2x1，其中x=1.

x4x4x2x2x122五反思小结，拓展提高这几课你有什么收获？

（1）分式乘法法则（2）分式乘方法则与分式乘除运算法则综合运用时的顺序。六、作业：P 35 A 4 B 4,5,6

2.3.1同底数幂的除法

教学过程

1 通过探索归纳同底数幂的除法法则。

2 熟练进行同底数幂的除法运算。

3 通过计算机单位的换算，使学生感受数学应用的价值，提高学习学生的热情。

重点、难点：重点：同底数幂的除法法则以及利用该法则进行计算。

难点：同底数幂的除法法则的应用

教学过程

一创设情境，导入新课

1 复习：约分：①

4ab12abc32, ②

aann1， ③

x4x4x422

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复习约分的方法 2 引入

(1)先介绍计算机硬盘容量单位：计算机硬盘的容量最小单位为字节，1字节记作1B，计算机上常用的容量单位有KB，MB，GB, 其中:

1KB=210B=1024B1000B,

1010101010201MB2KB22B2B, 1GB2MB222030B2 B（2）提出问题：小明的爸爸最近买了一台计算机，硬盘容量为40GB，而10年前买的一台计算机，硬盘的总容量为40MB，你能算出现在买的这台计算机的硬盘总容量是原来买的那台计算机总容量的多少倍吗？

40GB402B,40MB4023020B

40240230202230202222020102

10提醒这里的结果21023020，所以，

223020230202

10如果把数字改为字母:一般地，设a0,m,n是正整数，且m>n,则（同底数的除法）这节课我们学习-----同底数的除法

aamn?这是什么运算呢？

二合作交流，探究新知

1 同底数幂的除法法则

aamnaaannmnamn

你能用语言表达同底数幂的除法法则吗？同底数幂相除，底数不变，指数相减. 2同底数幂的除法法则初步运用

xxy,3,4例1 计算：（1）5,242xxxyx895y2n1n1y（n是正整数），

例2 计算：（1）

xx35，（2）

xx34，

n2例3 计算：（1）x43b2bn16x，（2）3n

aa练一练 P 38练习题 1,2

三应用迁移，巩固提高

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n2nnnnn例4 已知 2A18,则A=( ) A5,B12,C12,D5mmmmmm例5 计算机硬盘的容量单位KB，MB,GB的换算关系，近视地表示成：

31641649 21KB≈1000B，1MB≈1000KB,1GB≈1000MB

(1) 硬盘总容量为40GB的计算机，大约能容纳多少字节？ (2) 1个汉字占2个字节，一本10万字的书占多少字节？

(3) 硬盘总容量为40GB的计算机，能容纳多少本10完字的书？

(4) 一本10万字的书约高1cm,如果把（3）小题中的书一本一本往上放，能堆多高？（与

珠穆朗玛峰的高度进行比较。）练一练

1 已知ax2,ay3,求a3x2y的值。 2 计算：[xyyx]yxxy

343四反思小结，巩固提高这节课你有什么收获？五作业; 1 填空: (1)

xyxy2243=____, (2)

x2m2m1x=_______

2 计算（1）

xy85(xy)3，（2）

21024，（3）x6x4x3，

1 45 （4）a12aa，（5）x412xx34x5 （6）0.2562.3.2 零次幂和负整数指数幂

教学目标

1 通过探索掌握零次幂和负整数指数幂的意义。 2 会熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算。 3 会用科学计数法表示绝对值较少的数。

4 让学生感受从特殊到一般是数学研究的一个重要方法。教学重点、难点

重点：零次幂和负整数指数幂的公式推导和应用，科学计数法表示绝对值绝对值较少的数。难点：零次幂和负整数指数幂的理解教学过程

一创设情境，导入新课

1 同底数的幂相除的法则是什么？用式子怎样表示？用语言怎样叙述？

aaamnmna0,m、n是正整数，且m>n

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2 这这个公式中，要求m>n,如果m=n,maaa3333a（a0)，aaa02323a（a0)，a、a（a0)有没有意义？这

101节课我们来学习这个问题。二合作交流，探究新知 1 零指数幂的意义

（1）从特殊出发：填空：

33552233同样：

101044101010440

___,33=3__,55544443322__3,5,__-______由此你发现了什么规律？

_-__一个非零的数的零次幂等于1. （2）推广到一般：一

方

mm面：

1010

__,10101010,a一方面：

amm0(111

a，另0mmaamm1a1a0思考：

332、33222这两个式子的意义是

启发我们规定：a1(a0)

否一样，结果应有什么关系？因此：

3322=333220，

试试看：填空：

00200022=_,10_,,x=__(x0),3_,x1_30

2 负整数指数幂的意义。

（1）从特殊出发：填空：

554735_,5554735_-__5

__3323=_,33=3332323__33_，

1010__,101010__-__10_

（2）思考：

与332的意义相同吗？因此他们的结果应该有什么关系呢？

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（3-1=13）同样：，5-2=152，10=-31103

（3）推广到一般：

anan?

na0naa1a0n1ana0,n是正整数

（4）再回到特殊：当n=1是，a-1=？ a-1=1 试试看： 1 .若代数式2 若2x3x13有意义，求x的取值范围;118，则x=____,若x110，则x=___, 若10x0.0001，则x=___.

3 科学计数法

-2-3-4（1）用小数表示下列各数：10-1，10，10，10。

01）你发现了什么？（100.0n个0-2-3-4（2）用小数表示下列各数：1.0810，2.410，3.610

n思考：1.08n-，102，.42-3数的表示形式有什么特点？10这3些.610（a10(a是只有一位整数,n是整数））叫什么计数法？（科学计数法）当一个数的绝对值很少的时候，如：0.00036怎样用科学计数法表示呢？你能从上面问题中找到规律吗？试试看：

用科学计数法表示：（1）0.00018，（2）0.00000405 三应用迁移，巩固提高

112例1 若x31，则x的取值范围是_____,若y2，则y的取值范围是

3y20____.

1例2 计算：23,102,231.a10((0))))2,32

232.(57)103.(21.414)1((例4 把下列各式写成分式形式：x,2xy

4.(3.14)02005.(a厘米，用科学计数法把它写成1)1()例5 氢原子中电子和原子核之间的距离为：0.00 000 000 529

6.a（1a0)(0) 21

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为________.

四课堂练习，巩固提高 P 40 1,2,3,4 1补充：三个数31,2006,2按由小到大的数序排列，正确的的结果是（）

1102A 2006013221，B 320062

102C 22006200211, D20062331

五反思小结，拓展提高这节课你有什么收获？（1）a0n（2）a1(a0)，

1an(a0,n是正整数)，（3）科学计数法

前两个至少点要注意条件，第三个知识要点要注意规律。

六、作业：P 43 A 2,3,4,5,

2.3.3 整数指数幂的运算法则

教学目标

1 通过探索把正整数指数幂的运算法则推广到整数指数幂的运算法则； 2 会用整数指数幂的运算法则熟练进行计算。

重点、难点

重点：用整数指数幂的运算法则进行计算。难点：指数指数幂的运算法则的理解。

教学过程

一创设情境，导入新课

1 正整数指数幂有哪些运算法则？（1）amaannmn（m、n都是正整数）；（2）(a)amnmn（m、n都是正整数）

（3）abab，（4）

nnaamnamn（m、n都是正整数，a0）

(5) (ab)nabnn（m、n都是正整数，b0）

这些公式中的m、n都要求是正整数，能否是所有的整数呢？这5个公式中有没有内在联系

呢？这节课我们来探究这些问题. 板书课题：整数指数幂的运算法则

二合作交流，探究新知

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1 公式的内在联系

2做一做（1) 用不同的方法计算：(1)4 ， 2

232解：(1)33223432343113；(1)32234223423(4)3113

3281822133 23，23238

3273272733通过上面计算你发现了什么？

幂的除法运算可以利用幂的乘法进行计算，分式的乘方运算可以利用积的乘方进行运算。

aamnaamnam(n)amnn1aa1nn，ababa

bbbn因此上面5个幂的运算法则只需要3个就够了： 1）amaannmn（m、n都是正整数）；（2）(a)anmnmn（m、n都是正整数）

（3）abab，

n2 正整数指数幂是否可以推广到整数指数幂

做一做计算：12233,23233，

解：（1）223323312223323321，2203323(3)21

0（2）323311126，323(2)3266

333323233123331231233318271812712161216

3233133通过上面计算，你发现了什么？

幂的运算公式中的指数m、n也可以是负数。也就是说，幂的运算公式中的指数m、n可以

是整数，二不局限于正整数。我们把这些公式叫整数指数幂的运算法则。

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三应用迁移，巩固提高

例1 设a0,b0,计算下列各式：

1a7a3;2a32;3abab3122a4

b23x22xyy22xy例2计算下列各式：1,21223xyxy四课堂练习，巩固提高 1 P 42 1, 2题

2 补充：

（1）下列各式正确的有（）

32

(1)a1,(2)a0m1am(a0),3an(),4aan1mn1aamn1(a0)

A 1个，B 2个 C 3个 D 4个 2计算xyx31y的结果为（）

22Ax5y,Byx5,Cyx52,Dxy52

3 当x=

14,y=8时，求式子

2xx5y2y的值。

五反思小结，拓展提高这节课你有什么收获？

（1）知道了整数指数幂的运算法则只需要三个就可以了。（2）正整数指数幂的运算法则可以推广到整数指数幂。六、作业P 43 A 1 B 1,2,3

2.4.1 同分母的分式加、减法

教学目标

1类比同分母分数加减法的法则得出同分母分式加减法则。

2 会进行同分母分式加减法的运算。重点、难点：

重点：同分母分式加、减运算难点：同分母分式加减运算的结果的处理。教学过程

一创设情境，导入新课做一做

1612大约公元250年前后，希腊数学家丢番图在研究一个数学问题时，解出了两个分数：、，

55 24

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欲知丢番图在研究什么问题，请你先计算：（学生独立完成，一个学生黑板上板演）

1612等于多少？

5522256144256144400161216 2525252555由于16=4，原来丢番图在研究把4写成两个数的平方和的形式即：4xy，他求

222222216x5得了一组解：还有没有其他的解呢？如果同学们感兴趣，可以在课后探索。下面我

y125们来看看：

2562514425256144254002516用到了什么法则？

同分母分数相加的法则：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减

同分母的分式相加减的法则和同分母分数相加减的法则一样。这节课我们来学习-----同分母的分式加、减法

二合作交流，探究新知

1 同分母分式加减法的法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。 2 法则的应用例1 计算：

23x2xy3xy3xyxy2

解：

3xxyxy3x3xyxy3x(xy)xy3x

强调：把分子相加后，如果能分解因式要分解因式，与分母约分。

例2 计算：

2222x2x2xyy22y2x2xyy

解：

x2x2xyyy222x2xyyxy2222x2xyy(xy)(xy)xy2xyxy

f(f）00 例3 计算： 解：gggggg从上式可以看出：

fffffg与fg是一对互为相反数，所以：

fgfg，又

fgfg，

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所以：

fgfgbcfg。

例4 计算：

acabacabbcba

解：

acabbaacabbc(ab)bcabacbcabc(ab)abc

强调：把表面上看不是同分母的分式相加减，转化为同分母的分式相加减。三课堂练习，巩固提高 P 46 1,2题

补充：1 请你阅读下面计算过程，再回答所提出的问题。

6x2xyy2xy2xyy2x(B)(A)6xy2xy2xy4x2y2xy(C)

2(1) 上述计算过程中，从哪一步开始出错，学出错误代号_____，错误的原因是

______________________，请你写出正确的解答过程。 2 已知

22m9m30，先化简，再求

mm4164m的值。

四反思小结，拓展提高：这节课你有什么收获？在进行同分母分式加减运算时应注意什么？五、作业：P 52 A 1

2.4.2 异分母的分式加减法

教学目标

1 了解公分母的概念和求法，会把异分母的分式化成同分母的分式； 2 进一步掌握异分母分式加、减法.

3 通过化异分母分式为同分母分式，渗透“转化”的思想.

重点：进行异分母分式的加减运算难点：化异分母分式为同分母分式.

教学过程

一创设情景，导入新课

1 同分母分式加、减怎么计算？ 2 计算：解：

112112

112116116116 下面两种方法那种方法更简单？

16121216331674828121674812164124

2122631684

第二种方法更简单，因为它取的公分母是最简单的.最简的公分

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母又是怎么确定的呢？（交流）

方法1 用短除法，如右图：2234=48

44方法2 分解质因数，12223，162，公分母就是23

3 我们把

112116=

1232124中的2，3分别用字母a,b用字母代替得到：

1ab21a4怎么

计算呢？这节课我们进一步学习------异分母分式加、减法（2）

二合作交流，探究新知

1 通过具体问题，探究找最简公分母的方法. 请你类比（1）计算：

1ab2112116做一做

1a4

解：先确定最简公分母为a4b，再把异分母化成同分母然后相加. 1ab21a4a222aba12bab144abab42

（2）计算：

14ab24ab6a

22解：16a43a24ab3a2b6a2b43a2bab42

你能说说找最简公分母的方法吗？

系数：取各系数的最小公倍数最简单公分母

字母因式：所有的且次数最高的三应用迁移，巩固提高

1 分母是乘积形式的异分母分式加、减试试看：例1 通分：（1）

y4x2,56xy9y5x9y,x2 （2）

1a(ab)b(ab)11b(ab),1 （3）

1x1,x1x1x122,1x1

例2 计算：(1)

y4x26xy2, (2)

a(ab), (3)

1x1x11x1

2 分母是多项式的异分母分式加、减例3 通分:

x2x1xx,12

强调：先把分母分解因式，然后确定确定最简公分母. 例4 计算：（1）

12x69x92，（2）

yxxy2xyxy2

四课堂练习，巩固提高 P 51 1,2,3,4,

八年级数学（下册）教案洞口中学曾跃飞设计

五反思小结，拓展提高这节课你有什么收获？

（1）确定最简公分母的方法，（2）异分母分式加减法的法则.

作业：P A 组：1 (7),(8) 2,3,4, B组： 1,2

2.5.1可化为一元一次方程的分式方程

一教学目标:

(一) 知识教育点

1 理解分式方程的意义,掌握分式方程的一般解法.

2 了解解分式方程时可能产生增根的原因,并掌握验根的方法.

(二) 能力训练点 1 培养学生的分析能力. 2 训练学生的运算技巧,提高解题能力. (三) 德育渗透点转化的数学思想.

(四) 美育渗透点. 通过本节的学习,进一步渗透化归的数学美.

二学法引导: 1 教学方法: 演示法和同学练习相结合，以练习为主．

2 学生学法:选择一个较简单的题目入手,总结归纳出解分式方程的一般步

骤.

三重点难点疑点及解决办法:

(一) 重点：分式方程的解法及把分式方程化为整式方程求解的转化思想的渗透. (二) 难点 : 了解产生增根的原因,掌握验根的方法. (三) 疑点 : 分式方程产生增根的原因. (四) 解决办法 : 注重渗透转化的思想，同时要适当复习一元一次方程的解法. 四课时安排: 一课时五教具准备: 投影仪六教学过程:

(一) 课堂引入 1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程

x242x361

2．提出P53的问题

李老师的家离学校3千米,某一天早晨7点30分,她离开家骑自行车去学校.开始以每分钟150米的速度匀速行驶了6分钟,遇到交通堵塞,耽搁了4分钟;然后她以每分钟v米的速度匀速行驶到学校.设她从家到学校总共花的时间为t分钟.

问: (1) 写出t的表达式;

(2) 如果李老师想在7点50分到达学校,v应等于多少? 分析:① 李老师在遇到交通堵塞时,已经走了多少米?还剩下多少米?

② 剩下的这一段路需要多少分钟?

③ 如果李老师想在7点50分到达学校,那么她从家到学校总共花的时间t等于多少? 由此可以得出:

(1) t的表达式 t=6+4+ 观察(2)有何特点？

[概括] 方程（2）中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程. 辨析：判断下列各式哪个是分式方程．

(1)

2100v （2） v应满足 20=6+4+

2100v

； (2) ； (3)

； (4) ； (5)

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根据定义可得：(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程． 1、思考: 怎样解分式方程呢？

这节课我们就来研究一下怎样解一个分式方程.(板书:可化为一元一次方程的分式方程) 为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：

1）回忆一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？ 2）有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？上面的例子可以整理成: 10=

2100v

两边乘以v,得10v=2100 两边除以10,得v=210

因此,李老师想在7点50分到达学校,她在后面一段的路上骑车速度应为每分钟210米. 概括 : 上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母. 例1 解方程:

5x23x 例2 解方程:

1x24x42

解: 方程两边都乘最简公分母x(x-2),得 5x=3(x-2)

解这个一元一次方程,得

x= -3

检验:把x= -3带入原方程的左边和右边,得左边=

5x23x33解: 方程两边都乘最简公分母

(x+2)(x-2),得

x+2=4

解这个一元一次方程,得

x=2

检验:把x=2代入原方程的左边,得

左边=

122101, 右边= =-1

由于0不能作除数,因此不存在,

说明x=2不是分式方程的根,从而原分式方程没有根.

注意：由于分式方程转化为一元一次方程过程中，要去掉分母就必须同乘一个整式，但整式可能为零，不能满足方程变换同解的原则，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.

由此可以想到，只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母)，若该式的值不等于零，则是原方程的根；若该式的值为零，则是原方程的增根．如能保证求解过程正确，则这种验根方法比较简便．

例3: 解方程:

7x13xx1 因此x=-3是原方程的解

解 (略)

随堂练习: P57 练习

小结: 解分式方程的一般步骤：

1．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程． 2．解这个整式方程．

3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．

作业: P60 第1题

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2.5.2 分式方程的应用

教学目标

1 通过具体情景，理解方程的意义，经历从实际问题中建立数学模型求解数学问题的过程。 2 会列分式方程解有关实际问题。重点、难点：

重点：根据题意列分式方程解应用题难点：寻找等量关系，列分式方程。教学过程

一创设情景，导入新课

1 复习：解分式方程的思路是什么？（去分母化为整式方程）有哪些步骤？（1 去分母，2 去括号，3 移项，4 合并同类项，5 未知数系数化为1，6 检验）

2 动脑筋：

小明家和小玲家住同一小区，离学校3000m,某一天早晨，小玲和小明分别于7：20，7：25 离家骑车上学，在校门口遇上，已知小明骑车的速度是小玲的1.2倍，试问：小玲和小明骑车的速度各是多少？

这节课我们学习------ 2.5.2 分式方程的应用二合作交流，探究新知 1 解决上面动脑筋问题（1）读题

（2）若设小明的速度为v m/s,请你填写下表：小明小玲行走的时间速度路程（3）题中等量关系是什么？你是怎么知道的？

小明用的时间-小玲用的时间=5分=560s (4)请你列出方程组，并完成余下的过程

解设：小明的速度为vm/s，则小玲的速度为1.2vm/s 。依题意得：

3000v30001.2v560

53去分母得：30001.2-3000=601.2v,即：360v=600,解得：v=检验：当v=

53,

532

时，最简公分母1.2v0，因此，v=

5353是原方程的一个根。从而：1.2v=1.2答：小玲、小明的骑车速度分别是：m/s,2m/s.

教师强调：（1）验根的重要性。（2）这个问题我们抓住了两人的时间差距作为等量关系。变式练习;

(1) 把问题中“小玲和小明分别于7：20，7：25 离家骑车上学，”改为：“小玲先走5分钟，”其他

不变，怎么列方程？（列出的方程和上面一样） (2) 请你把上面问题中条件适当改变，使列出的方程是：

3000v30001.2v1060。

估计学生会把条件“小玲和小明分别于7：20，7：25 离家骑车上学，”改为：“小玲先走10分钟，”，或者：“小玲和小明同时出发，小明先到10分钟”

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2 讲解例题

例1 某单位盖一座楼房，由建筑一队施工，预计180天盖成，为了能早日竣工，由建筑一队、二队同时施工，100天盖成了，试问：建筑二队的效率如何？（即：由建筑二队单独施工，需要多少天才能完成？）（1）读题

（2）若设建筑二队单独施工需要x天才能完成，你打算怎样列方程？估计学生会列出：

11801x110011801x，或者：100()1

（3）你能解析你所列的方程中的每一个式子的含义以及你用到了什么样的等量关系吗？（4）请你完成余下的解题过程。

解：设设建筑二队单独施工需要x天才能完成，依题意得：

1180100两边同乘以900x,得：5x+900=9x,解得：x=225.检验：当x=225时，900x0.因此x=225是原方程的

1x1

一个根。

答：由建筑二队施工需要225天才能改成楼房。

变式练习： 1 条件：“由建筑一队、二队同时施工，100天盖成了”改为：“如果由建筑一队、二队同时施工，30天完成了工程总量的

13，”问题不变。

2条件：“由建筑一队、二队同时施工，100天盖成了”改为：“如果由建筑一队、二队同时施工30天后，甲队因事离开，由乙队单独完成余下的工程又用了75天才完成”其他不变。你能列出方程吗？

3 某服装厂准备加工300套演出服，在加工60套后，采用了新的技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用9天完成任务，求该厂原来每天加工多少套演出服？例2 在直流电路中，电功率P(W)与电压（v）、电阻R（）的关系式为：P电灯炮接在电压为220v的直流电路中，电流通过灯泡时的电阻是多少？解：依题意得：40220R2U2R,一个4Ow的

,两边乘以R，得：40R=220,解得：R=1210.显然：R0,因此R=1210

2是原方程的一个解。答：电流通过灯泡时的电阻是1210. 三课堂练习，巩固提高 P 59 1

四反思小结，拓展提高这节课你有什么收获？教师强调：（1）仔细审题，（2）解方程要注意检验。（3）设元和作答要注意带单位。五作业 P 60 A 2---5 B 1---4

课题分式复习（1）

教学目标

1 使学生系统了解本章的知识体系及知识内容；

2 进一步了解分式的基本性质、分式的运算法则以及整数指数幂，会熟练地进行分式的运算。

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重点、难点

重点：梳理知识内容，形成知识体系。难点：熟练进行分式的运算。教学过程

一知识结构与知识要点

分式的概念约分分式的性质通分分式的符号变号法则1浏览第2章目录，阅读p 61---63 复习与小结 分式乘除法2 这章学习了哪些内容？（学生交流） 分式的运算乘方教师投影本章知识结构图 加减法3 你还记得下面知识要点吗？ （1）什么叫分式？

分式方程的解法分式方程设f、g都是整式，且g中含有字母，我们把分式方程的应用ff以g所得的商记作，把叫做分式。

ggf除

（2）分式基本性质设h0,则

fgfhgh即：分式的分子与分母同时乘以一个非零的多项式，所得分式与原分式相等；

分式的分子分母同时约去公因式，所得分式与原分式相等。（3）分式的符号变换法则是什么？ fgf,ffgfggg 形象的理解为：分式的分子分母的符号可以移动

（4）分式的运算法则 ①分式的乘法：别相乘。 ②分式的除法：式相乘。

③分式加减法：同分母：

fghgfhgfguvfvfvgufguvfugv可以先把分子、分母分别相乘再约分，也可以先约分再分子、分母分

gu，分式除以分式，把被除式的分子分母颠倒位置后，与被除

，分母不变，分子相加减。

异分母:先通分，化为同分母的分子然后相加减。

怎样找最简公分母？系数：取各分母的系数最少公倍数。字母因式：取所有的，指数最高的。

（5）整数指数幂的运算法则 ①同底数的幂的除法：aaa0mnmn(m、n都是正整数，m>n,a0)

n②零次幂和负整数指数幂：a1(a0)，a1an(a0,n是正整数），a11a(a0）

③整数指数幂有哪些运算法则：设a0,m,n都是整数,则：

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aaamnmn，amnamnnn,abab

n二例题精讲

例1 填空：当x=_____,分式

3(x5)(x1)x2无意义。当x=_____时，

3(x5)(x1)x2=0

提醒：分式值为零除了分子为零外，还需要分母不等于零。而分式有意义的条件只要分母不等于零，与分子无关。思考：分式

x1x12在什么条件下值为零呢？

aa11a11a2a122例2 请你先化简，再选一个你喜欢的a的值代入求值。(解：(aa11)1a2a121)

（aa1a1a1)a12a1a1

估计学生会有人选a=1,这时可以让学生交流，这样的取值是否合适。例3 已知x1x4,求x422xx11的值。

解法1：原式=x211x21x2x21x1x22x1x111x1x21412115

解

2法2

42：

1111xx11222解：x16,x216,x14,x1141152222xxx原式xx原式115三课堂练习，巩固提高 1（2008金华）若分式

x1x1的值为0，那么x的值为____.

1x2x1x4 2(2008成都) 化简：2xx2x四反思小结，拓展提高这节课你有什么收获？

五作业P63—64 A 1,2,3,B 1

第二章分式复习（2）

--------可化为一元一次方程的分式方程

教学目标

1 使学生了解分式方程的概念，进一步掌握分式方程的解法； 2 会列分式方程解应用题.

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重点：分式方程的解法和应用难点：分式方程的应用教学过程

一知识要点做一做：

1解方程：

5xx23x1x2

解：两边同乘以x(x-2),得：5+3（x-2）=x

去分母，得：5+3x-6=x

移项，得： 2x=1 所以，x=检验：当x=思考：

1 什么叫分式方程？

分母里含有未知数的方程叫分式方程.

2 解方式方程的思路是什么？有哪些步骤？解分式方程为什么会产生增根？解分式方程的思路：去分母化为整式方程. 解分式方程的步骤：

（1）方程两边同乘以最简公分母去掉分母，

化为整式方程；

（2）解整式方程

解分式方程产生增根的原因：去分母后，方程中未知数的范围扩大了.

2 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了两小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行速度和骑自行车的速度分别是多少？

解：设步行得速度是x千米/时，则骑车的速度是4x/时依题意得：

7x1974x2 1212

时，x(x-2)0，所以x=

12是原方程的解.

（3）检验（4）下结论.

两边同乘以4x，得：28+12=8x

所以，x=5,检验：当x=5时，4x0,所以，x=5是原方程的解.4x=20 答：步行速度是5千米/时，骑车的速度是20千米/时. 思考：解分式方程有哪些步骤？

（1）审题----注意理解题意，抓关键语句.可以借助图表，（2）设元-----注意带单位.

（3）解分式方程

（4）检验---既要检验是不是原方程的解，还要检验是否合题意.

二讲解例题

例1 解方程：

5x3x21xx20

51解：方程化为：0，两边同乘以x(x+3)(x-1)，得：5(x-1)-（x+3）=0

xx3xx1去括号，得:5x-5-x-3=0,4x-8=0,4x=8,x=2,检验：当x=2时，x(x-1)(x+3)0,所以，x=2是原方程的解.

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例2 为了支援四川人民抗震救灾，某休闲用品公司主动承担了灾区生产2万顶帐篷的任务，计划10天完成.

（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷______顶.

（2）生产2天后，公司又从其他部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时通过技术革新等手段

使每位工人的效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了任务，求该公司原计划安排

多少名工人生产帐篷？

解：（1）该公司原计划平均每天应生产：2000010=2000（顶）

(2)设原来有x名工人，每人每天生产:依题意得：2 +

20000220002000x(125%)(x50)2000x,

20002000022000=10-2，或者： 125%x1022x50解得：x=750，经检验：x=750是原方程的解. 答：该公司原计划安排750名工人生产帐篷.

三课堂练习

1方程

2xx31mx3的根为增根，则m的值为（）A 3 B 4 C 5 D 6

解：方程两边同乘以x-3，得：2x-(x-3)=m, x=m-3因为方程的根为增根，所以，m-3=3,m=6

故选D.

2 一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它出发3小时后，因特殊情况而多停了一站，因此耽误了30分钟，后来把速度提高了20%，结果准时到达目的地，求这列火车原来的速度. 解：设这列火车原来的速度为x千米/时. 依题意，得：34503x1.2x3060450x

解得：x=75,当x=75时，1.2x0,所以，x=75是原方程的解. 答：这列火车原来的速度是75千米/时.

四反思小结，巩固提高这节课你有什么收获？

这节课我们主要复习了分式方程的解法和应用.解分式方程时，应该主要检验. 作业：P 64 复习题二 A 组：6,7 B组：2

3.1.1 平行四边形的性质和中心对称图形

教学目标：

1 使学生了解四边形及与四边形有关的一些概念. 2 掌握平行四边形的概念和性质.

重点：平行四边形的性质的理解；难点：平四边形性质的运用. 教学过程

一创设情景，导入新课观察下面图形：思考：这些物体中都有什么形状？（四边形）

这节课我们学习-----第3章，四边形，在这一章中，将学习平行四边形和中心对称，以及特殊四边

形的性质和判定，最后还要学习多边形的内角和与外角和.这节课学习

3.1.1 平行四边形的性质和中心对称.

二合作交流，探究新知

1 四边形的定义

（1）上面四边形有什么特点？（有四条边，四个顶点）（2）什么叫四边形？

八年级数学（下册）教案洞口中学曾跃飞设计

在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形. 定义中为什么要强调：“同一平面内”？你知道原因吗？（交流）

花边图案窗户的花边

电梯图标如图（最好是用四只笔代替四条线段做成这个图形）中的四条线段是首尾相接的，但他们没有组成四边形.

（3）什么叫四边形的边、顶点、对角线、内角、对角、对边？

组成四边形的各条线段叫四边形的边.每相邻两边的公共端点叫四边形的顶点.连接不相邻两顶点的线段叫四边形的对角线.四边形相邻两边组成的角叫四边形的内角，简称角.相对的两个角叫对角.相对的边叫对边.

（概念不板书，只在图上标注出来，减少记忆负担.）

（4）怎样表示四边形？

用各个顶点的字母按顺序来表示，上图中的四边形可以表示为：四边形ABCD.

考考你：上面图形中，哪些角是对角？哪些边是对边？ 2平行四边形的概念和性质（1）平行四边形的概念做一做

A角A对角线B边DC顶点八年级数学（下册）教案洞口中学曾跃飞设计

请你把纸对折，在上面画一个三角形，并剪下来，这时你就有两个三角形了.你用这两个三角形拼四边形，看看能拼出多少种形状？如图：

这些图形只有两种类型;一种是对边不平行的，另一种是两组对边分别平行的.（你知道平行的原因吗？）

我们把两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.

如图，四边形ABCD中，AB∥CD,AD∥BC,则四边形ABCD是平行四边形.记作： ABCD.读作：平行四边形ABCD. 考考你：如果四边形ABCD是平行四边形，则AB与CD，AD与BC的位置有怎样的关系？如果要判断四边形ABCD是平行四边形，需要判断四边形ABCD的对边具有什么特点呢？ (2)平行四边的性质

思考：①.平行四边形的对边除了相等之外，还有怎样的关系?说说你的理由

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AB∥DC ∴∠1=∠3, ∠2=∠4,

又∵AC=CA, ∴△ABC≌△CDA ∴AB=CD,AD=BC

② 平行四边形的对角有什么关系？ ∵△ABC≌△CDA，∴∠B=∠D,

∵∠1=∠3, ∠2=∠4, ∴∠1+∠2=∠3+∠4,即：∠BAD=∠BCD 由此，我们可以得到平行四边形有什么性质？平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等. 用式子表达为：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC,AD=BC, ∠B=∠D, ∠BAD=∠BCD

ADBCA2B134CD三应用迁移，巩固提高

平行四边形性质的运用（1）动脑筋：

如图，直线l1与l2平行，AB、CD是l1与l2之间的任意两条平行线，试问：AB与CD是否相等？为什么？ ∵l1∥l2，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD

你能用一句话来表达这个结论吗？夹在两条平行线间的平行线段相等.

ADl1l2BCD5A7BC八年级数学（下册）教案洞口中学曾跃飞设计

考考你：上图中，若AB∥CD,AD∥BC,那么你能得到什么结论？估计学生会想到：AB=CD,极有可能忽视，AD=BC.

(2)讲解例1 ，一块平行四边形的草地，其中草地的一条边为5m，相邻的另一边为7m，求这块平行四边形草地的周长.

例2 如图，在 ABCD中，E,F是对角线AC上的两点，且AE=CF，求证：（1）△ABE≌△CDF, (2) AF=CE

AEFDCB四课堂练习，巩固提高 P 72 1,2

五反思小结，拓展提高这节课你有什么收获？

这节课的重点是平行四边形的概念和性质.利用平行四边形的概念可以判定一个四边形是平行四边形.

作业：P 84 A 1,2 ,3

3.1.1平行四边形的性质和中心对称图形（2）

教学目标

1 使学生进一步掌握平行四边形的性质-----平行四边形的对角线相等. 2 了解中线对称图形的概念，知道平行四边形是中心对称图形.

教学重点、难点：

重点：平行四边形与对角线有关的性质以及理解中心对称图形的概念. 难点：平行四边形性的运用以及中心对称图形的概念的理解

教学过程

一创设情景，导入新课

1 复习：

（1）什么叫平行四边形？

有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形. （2）怎样理解这个概念呢？

从概念知道：一方面，如果一个四边形是平行四边形那么这个四边形的对边一定平行.另一方面，要判断一个四边形是平行四边形，只要判定这个四边形的两组对边分别平行就可以了. （3）平行四边形有什么性质？平行四边形的对边相等，对角相等. （4）这个性质是利用什么道理得到的？利用全等三角形的性质得到的

A ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AB∥DC ∴∠1=∠3, ∠2=∠4,

又∵AC=CA, ∴△ABC≌△CDA ∴AB=CD,AD=BC

B ∵△ABC≌△CDA，∴∠B=∠D,

∵∠1=∠3, ∠2=∠4, ∴∠1+∠2=∠3+∠4,即：∠BAD=∠BCD

平行四边形还有什么性质呢?这节课我们继续学习-----3.1.1平行四边形的性质和中心对称(2)

A2B14O3CD二合作交流,探究新知

1 平行四边形对角线具有的性质

探究活动:

八年级数学（下册）教案洞口中学曾跃飞设计

（1）量一量P 72 图3-10中的线段OA、OC、OB、OD的长，并比较OA、OC、OB、OD的大小,由此你能得到什么结论？估计学生会想到：（1）平行四边形的对角线互相平分,（3）平行四边形的对角线的交点是每条对角线的中点.(3)平行四边的对角线不一定相等.

（2）你知道平行四边形的对角线为什么互相平分吗？ ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AB∥DC

∴∠1=∠3, ∠2=∠4, 又∵AC=CA, ∴△ABC≌△CDA ∴OA=OC,OB=OD (3)请你用语言把平行四边形的这条性质叙说出来.

平行四边形的对角线互相平分.

即：如果四边形ABCD是平行四边形，那么OA=OC，OB=OD. 2 中心对称图形的概念

做一做：用硬纸板作一个平行四边形ABCD，画出它的两条对角线，交点记作O，用图钉把点O固定，并且描下平行四边形ABCD的轮廓，表上相同的字母，把平行四边形绕点O旋转180º 思考点A会旋转到什么位置（点C的位置），点B、C、D会转到什么位置呢？请你做一做就知道了. 想一想：

平行四边形还具有什么性质？（平行四边形绕着对角线的交点旋转180º能和原来的位置重合.）

在平面内如果一个图形G绕一个点O旋转180º，能和原来的图形重合,那么图形G叫做中心对称图形.点O叫对称中心.此时也称图形G关于点O对称.原来的图形叫原像，新图形交在这个旋转下的像. 考考你： AD（1）在刚才的旋转过程中， ABCD的四个顶点A、B、C、像分别是___、_____、____、_______

边AB、BC、CD、AD的像分别是_____、_____、_____、_____ 对角线AC、BD的像分别是___、_____、_____、_____ （2）平行四边形是中心对称对称图形吗？

OBCD的

三应用迁移，巩固提高

例1如图：已知 ABCD的对角线AC和BC相交于点O，OE⊥AD于E，OF⊥BC与F，求证：OE=OF.

先让学生独立做，做完后交流估计学生会有下面做法：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC, OD=OB

∴∠1=∠2, ∵OF⊥AD,OE⊥BC, ∴∠OFD=∠OEB ∴△OFD≌△OEB, ∴OE=OF

(2) ）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC, OD=OB

∴∠1=∠2,又∵∠3=∠4

AFO43D12BEC∴△OFD≌△OEB, ∴OE=OF

请学生交流这两种做法是否正确？（找出第2种做法的错误：在没有证明点O,E,F在一条直线上时，是不能利用∠3=∠4的，因为还不知道这两个角是不是对顶角）变式训练：

如图，一条直线经过 ABCD的对角线的交点O，与AD交于点F，与BC交于点E，（1）求证：OE=OF

（2）当这条直线绕点O旋转时，OE=OF吗？为什么？

AOBFDEC八年级数学（下册）教案洞口中学曾跃飞设计

例2 在 ABCD中，已知对角线AC与BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6,求AC=BD的值

解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD=2OA,AC=2OB, ∵OA+OC=15-6=9,

∴AC+BD=2OA+2OB=2（OA+OB）=2 9=18 三课堂练习，巩固提高 P 74 1,2,3,

四反思小结，拓展提高这节课你有什么收获/

(1)平行四边形的性质，（2）中心对称图形的概念. 五、作业：P85A组： 4，5 P 87 B组：2

AOBCD3.1.2 中心对称图形（续）

教学目标 1 进一步了解中心对称图形的概念，会识别一个图形是不是中心对称图形；

2 了解中心对称图形的性质.

3 通过生活中的中心对称图形，让学生感受几何美，激发学习数学的热情. 重点、难点：重点：中心对称图形的识别和性质难点：中心对称图形的识别。教学过程

一创设情景，导入新课

1 复习：平行四边形有什么性质？

（1）平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分。

（2）平行四边形是中心对称图形。对角线的交点是它的对称中心。 2 什么叫中心对称图形？把一个图形G绕着某一点旋转1800，如果它得到的像与原来的图形G重合，那么图形G叫做中心对称图形,点O叫对称中心。

3 欣赏下面中心对称图形：

ABOCD杠铃剪纸

这些

图标商标花边图案美吗？（美极了）

中心对称图形能给人

商标以美的享受，那么中心对称图

八年级数学（下册）教案洞口中学曾跃飞设计

形有什么性质呢？怎样识别一个图形是不是中心对称对称图形？这节课我们继续学习---3.1.2 中心对称图形（续）（板书课题）二合作交流，探究新知 1 中心对称图形的识别观察P75图形：

（1）下图中的三个“风车”，哪个是中心对称图形？哪个不是中心对称图形？

（2）下图中的（1）、（2）、（3）分别是三块桌布的中间图案，哪个是中心对称图形？哪个不是中心对称图形？

你根据什么来判定一个图形是不是中心对称图形？

根据定义，把一个图形绕某点旋转180 º，如果能和原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形。

2 中心对称图形的性质

（1）我们知道平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心，现在擦掉大部分，只留下点D和点O,你能找到点B吗？

连结DO，并延长DO到B使OB=OD,则B就是要求的点。

你怎么想到这样作呢？

ABCD绕点O旋转180 º后，点B的像是点D，点D的像是

点B，线段OB的像是OD，线段OD的像是OB。∠BOD=180 º 因此B、O、D三点在一条直线上。（2）在平面内把点D绕点O旋转180 º后得到点B,此时称点D和点B关于点O对称。也称点D和点B在这个对称下的一对对应点。

（3）如果点D和点B关于点O称中心对称，你能得到什么？

ADBOCDODBOA估计学生知道：点B、D、O在一直线上。点O是BD的中点。

（4）如图，已知圆上有两个个点A、C、点A和点C关于圆心对称，你能用找

C八年级数学（下册）教案洞口中学曾跃飞设计

到圆心吗？

估计学生会想到：连结AB，取AB的中的O，则点O就是圆心。你怎么想到这样作呢？

因为圆是中心对称图形，圆心是对称中心，而点A、C是对应点，它的中点是对称中心即圆心。（5）通过上面问题，你能说说中心对称图形有什么性质吗？

中心对称图形上，每一对对应点的连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。

三应用迁移，巩固提高 1 中心对称图形的识别

P 76 说一说 1 ，2，3

1题字母Z,X,N是中心对称图形。 2题图（1）图（2）是中心对称图形。

3 题学生自由发挥。

补充：1等边三角形是中心对称图形吗？如果是请指出对称中心。

估计有些学生会认为等边三角形是中心对称图形，两条角平分线的交点是对称中心。教师可以作一个模型演示给学生看。

2在一次游戏当中，小明将下面上图的四张扑克牌中的一张旋转180 º后，得到下图图，小亮看完，很快知道小明旋转了哪一张扑克，你知道为什么吗？ 2 中心对称图形在证明问题中的应用

已知:如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O.过点O作直线EF，分别交AB，CD于点E，F。

求证：OE=OF 解： ∵平行四边形是中心对称图形，O是对称中心，EF经过点O，分别交AB、CD于E、F。

∴点E、F是关于点O的对称点。∴OE=OF

AEOBFDC

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四课堂练习，巩固提高 P 76 1， 3

1题，认识线段是中心对称图形，对称中心是线段的中点。

3 让学生知道正多边形中变数为偶数的是中心对称图形，对称中心由两条对角线的交点确定。五反思小结，拓展提高这节课你有什么收获？

中心对称图形的性质：中心对称图形上，每一对对应点的连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。

六、作业P 85 6 ,7 ,8

3.1.3 平行四边形的判定

教学目标：

1 通过画图探索平行四边形的判别方法，通过对平行四边形判定方法的说理过程，培养学生的分析能力以及逻辑推理能力.

2 会利用对角线的关系和一组对边的关系判定一个四边形是不是平行四边形.

重点、难点

重点：利用对角线的关系和一组对边的关系判定平行四边形. 难点：平行四边形判定方法的应用.

教学过程

一创设情景，导入新课

1 复习：平行四边形有哪些性质？板书：

边：对边平行且相等 平行四边形角：对角相等对角线：互相平分2 小明同学想用两根竹片做一个凉衣架，为了平行他需要做成平行四边形，如图所示，钉子应钉在哪里呢？（应钉在两根竹板的中点处）

钉在两根竹板的中点处就能得到平行四边形吗？这节课我们来学习 -----3.3.1 平行四边形的判定.（板书课题）

二合作交流，探究新知

1 利用对角线的关系判定平行四边形. 讨论上面问题：

上面问题其实是一个这样的数学问题：如图，已知：OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是不是平行四边形？为什么？

解：∵OA=OC,OB=OD,（已知） ∠AOD=∠BOC（对顶角相等） ,∴△AOD≌△BOC（边角边）

∴∠OAD=∠OCB,（全等三角形对应角相等）

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.同理：AB∥DC

∴四边形ABCD是平行四边形.（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.

你能把上面的结论用语言表示吗？

平行四边形的判定方法1 ：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

即：如果OA=OC,OB=OD，那么四边形ABCD是平行四边形.

ADOBCADBC八年级数学（下册）教案洞口中学曾跃飞设计

考考你：给你一块刻度尺，能画一个平行四边形吗？画法：（1）画线段AB,取线段AB的中点O.

(2) 过O画直线MN，在直线MN上取线段OB=OD.

（3）连结：AB,BC，CD，AD.

则四边形ABCD就是要画的四边形. 2 利用一组对边的关系判定平行四边形

（1）提出问题：只给你一块刻度尺，你能在算式格子上画出平行四边形吗？试试看. （2）请学生介绍方法：

画法：①在两条平行的格子上分别取线段AD=BC， ②连结AB,BC,CD,DA,则四边形ABCD就是平行四边形. （3）这样画出的的四边形是一定是平行四边形吗？这个问题就是：已知四边形ABCD中，AD=BC,AD∥BC, 那么四边形ABCD为什么是平行四边形？（交流讨论） ∵AD∥BC（已知）

∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等） ∵AC=CA(公共边)

∴△ADC≌△CBA(边角边)

∴∠3=∠4（全等三角形对应角相等） ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

∴四边形ABCD是平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）你能用一句话把上面的结论描述出来吗？

平行四边形的判定方法2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 即：若AD=BC,AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形.

A3BD124C三应用迁移，巩固提高

1 平行四边形判定方法1的应用

例1 已知：如图，在 ABCD的对角线AC上取两点E,F，使得点E和点F关于对角线是交点O对称，连结EB，FB，FD，求证：四边形EBFD是平行四边形. DC(1)读题，

（2）发散思维:问：①从点E和点F关于对角线是交点O对称，你可以得到什么结论？（OE=OF）依据是什么？②由四边形ABCD是平行四边形你会得到什么结论？（对边相等,对角相等,对角线互相平分）相平分的四边形是平行四边形）（3）学生完成解题过程.

2 利用一组对边的关系判定四边形是平行四边形

例2 已知：如图，在 ABCD的边AB，DC上分别取一个点E,F，使得AE=

13EAOFBA③利用什么方法来判定四边形DEBF是平行四边形最简单呢？（对角线互

BDCAB，CF=

13CD，连结AF,CE.求证：（1）四边形AECF

EDFC是平行四边形,（2）AF=CD

（1）读题

（2）发散思维：思考①由四边形ABCD是平行四边形你能得到

AEB八年级数学（下册）教案洞口中学曾跃飞设计

什么结论？（对角线互相平分的四边形是平行四边形）②从AE=

13AB，CF=

13CD，你会

得到什么结论？（AE=CF）③你认为用平行四边形那条判定方法判定四边形AECF是平行

四边形最好呢？（用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

（3）学生独立完成解题过程

（4）变式练习：如果连结BF，DE，四边形DEBF还是平行四边形吗？为什么？

四课堂练习，巩固提高

1 已知：如图，把△ABC的中线AD延长至E，使得DE=AD，连结EB，EC，求证：四边形ABEC是平行四边形.

2 如图，AD∥BC,ED∥BF，且AF=CE, 求证：四边形ABCD是平行四边形.

AEBFCD五反思小结，拓展提高这几课你由什么收获？

平行四边形三个判定方法：（1）利用两边关系：两组对边分别平

行的四边形是平行四边形.（2）利用对角线的关系：对角线互相平分

的四边形是平行四边形,(3)利用一组对边的关系：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

六作业：P 85 9, 10

3.1.3 平行四边形的判定（2）

教学目标

1 使学生感受平行四边形的判定方法“有两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的形成过程； 2 能综合运用平行四边形的判定方法和性质解决简单的推理问题，提高分析问题和解决问题的能力

重点、难点：

重点：“有两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的形成过程和运用难点：平行四边形的判定和性质的综合运用. 教学过程

一创设情景，导入新课

1 复习：

（1）平行四边形有什么性质？平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分. （2）你学了哪些判定四边形是平行四边形的方法？ ①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②对角线互相平分的四边形是平行四边形； ③有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

2 做一做

同桌的两位同学合作，将四只笔首尾相接，组成一个四边形.你能否拼成一个平行四边形？试试看.(有的同学能拼成平行四边形，有的同学不能)

为什么有的同学能拼成平行四边形，有的同学不能拼成平行四边形呢？这节课我们继续学习----3.1.3 平行四边形判定（2）（板书课题）二合作交流，探究新知

1 平行四边形的一个判定方法的形成过程

（1）交流结果：刚出有的同学能拼成的四边形是平行四边形，有的同学拼成的四边形不是平行四边形.这是为什么呢？请你们比较一下你拼成的四边形相对的两只笔的长度有什么关系？（有

八年级数学（下册）教案洞口中学曾跃飞设计

的同学四只笔是相等的，有的不是.）（2）教师演示和分析：

四条边都不相等只有一组对边相等两组对边分别相等有三条边相等

我们发现有两只笔一样长的做对边，另两只笔也一样长做另一组对边拼成的四边形是平行四

边形.

（3）大胆猜想：

从上面拼图和分析你发现了什么结论？两组对边分别相等的四边形是平行四边形

即：已知：如图AD=BC,AB=DC那么四边形ABCD为什么是平行四边形？

A12BCD（4）证明结论

两组对边分别相等的四边形为什么是平行四边形呢？你能说明理由吗？解：∵AD=BC,AB=DC(已知)，AC=CA(公共边)

∴△ABC≌△CDA(边边边)

∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等） ∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行) ∴四边形ABCD是平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（5）得出结论

有两组对边分别相等的四边形是平行四边形

即：∵ AD=BC,AB=DC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 2 平行四边形的判定方法归纳：

（1）思考：

①两组邻边分别相等的四边形一定是平行四边形吗？如果是，说明理由，如果不是，画出图形.

②一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形吗？如果是，说明理由，如果不是，画出图形

（2）现在你学会了几种平行四边形的判定方法？有两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

有两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

对角线互相平分的四边形是平行四边形.

FACE三应用迁移，巩固提高

1 做一做

DB八年级数学（下册）教案洞口中学曾跃飞设计

（1）把一张纸片连续对折四次，再画一个三角形，剪下来，这时你有四个全等的三角形了.你能有这四个全等三角形拼成一个大三角形吗？

方法：把四个三角形重合，先把一个三角形以AC为轴翻折再以AC的中垂线为对称轴作轴反射，得到△FAC，同样的方法得到△DAB, △EBC,这样的四个三角形就拼成了一个大三角形. （2）图中有几个平行四边形？说明理由. 图中有三个平行四边形， FABC,  ADBC, ABEC

理由：从拼图情况可以知道:

∵AB=CF,AF=BC, ∴四边形FABC是平行四边形. 同样的道理四边形ADBC, ABEC都是平行四边形. 2 正确选择平行四边形的判定方法解题.

例如图，已知E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,且AF=CE，DF=BE，DF∥BE，求证：四边形ABCD是平行四边形. （1）独立思考（2）交流解法

DCEAFB估计学生会想到下面方法：方法1 证明△ADF≌△CBE,从而得出AD∥BC，AD=BC 利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形ABCD是平行四边形.

方法2 证明△DFC≌△AEB,从而得出DC∥AB,DC=AB. 利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形ABCD是平行四边形.

四课堂练习，巩固提高

P 82 练习 1，2

五反思小结，拓展提高

这节课你有何收获？ A 、平行四边形的判定方法：

①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②对角线互相平分的四边形是平行四边形； ③有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ④两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B、平行四边形判定方法与性质有什么区别？

六、作业：P 87 A 组：11,12 B组： 1,2

3.1.4三角形的中位线

教学目标

1了解三角形的中位线的概念.

2探索三角形的中位线的性质，通过探索活动培养学生细心操作、大胆猜想、严格推理的好习惯.

3 会利用三角形中位线性质解决实际问题.并由此让学生感受数学的应用价值，从而提高学习数学的热情.

DEBAFC教学重点、难点：

重点：三角形中位线的性质及运用. 难点：三角形中位线性质的运用.

一创设情景，导入新课

1 （1）什么叫中心对称图形？中心对称图形有什么性质？

把一个图形G绕点O旋转180 º能和原来的图形重合，这个图形叫中心对称图形.

八年级数学（下册）教案洞口中学曾跃飞设计

中心对称图形上一对对应点的连线段必过中心，且被中心平分.

（2）如图，平行四边形ADBC是中心对称图形吗？如果是，对称中心在哪里？（3）如果AC的中点为F，则F的像在哪里呢？F、F的像以及点E是否在一条直线上.为什么？

2 五一放假的时候，小明和小亮去乡下老家玩，发现村头有一水塘，于是小许拿一根皮尺去测量这水塘两端点A、B之间的距离．可当他将皮尺的一端系在A处时发现皮尺短了，拉不到B处，怎样才能既测出AB间的距离？小明和小亮商量了一会，他们不愧是数学高手，有办法了？你知道是什么办法吗？

我们先来学习------3.1.4三角形的中位线（板书课题）

二合作交流，探究新知

1 三角形中位线概念

（1）如上图，连结△ABC的两条边AB、AC的中点的连线段EF叫三角形的中位线.你能说说什么叫三角形的中位线吗？连结三角形两条边中点的线段叫三角形的中位线. （2）一个三角形有几条中位线？

（3）三角形的中位线与三角形的中线相同吗？ 2 三角形中位线的性质探究：

（1）量一量，上图中中位线EF和边BC的长.它们有什么关系？（2）用三角板和直尺把边直线BC平移，看看能否和直线EF

重合？ D（3）你发现了什么？

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

推理：

已知：如图，E、F分别是△ABC的边AB、AC的中点. 求证：EF∥BC，EF=交流讨论：

估计学生会想到下面方法：

方法1 把△ABC绕点E旋转180º.则点A的像是点B，点B的像是点A，点C的像是点D，设点F的像是点H,H、F必经过点E,连结,AD、BD、EF、CD，则EF=EH=

1212AEBFDCAEHBFCBC.

AEBCFDHF

∵CE=DE, AE=EB, ∴四边形ADBC是平行四边形.（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ∴AC∥DB, AC=DB (平行四边形的对边分别平行且相等) ∵HB=

1212AEBCFDDB,FC=AC

∴HB=FC ∴四边形HBCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.∴HF=BC，（平行四边形的对边相等）∴EF=方法2

12BC

八年级数学（下册）教案洞口中学曾跃飞设计

过点C作AB的平行线交EF的延长线于D ∵CD∥AB，(所作)

∴∠A=∠ACD（两线平行，内错角相等）又AF=FC，∠AFE=∠CFD ∴△AFE≌△CFD (ASA)又AE=EB(已知)， ∴BE=CD(等量代换)

∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）方法3 ：

如图，延长EF到D使FD=EF,连接AD、EC、CD.

∵AF=FC ,EF=FD,

∴四边形AECD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形) ∴AE=CD=BE，AB∥CD

∴四边形EBCD是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴ED=BC(平行四边形的对边相等) ∴EF=

1212

∴ AE=CD(全等三角形的对应边相等)

ED=BC.

(4) 形成结论：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 即：∵EF是△ABC的中位线，∴EF=

12BC.

三应用迁移，巩固提高

1 实际运用

导入新课问题2

解：如图，小明和小亮取点C连结CB，CA，找到CA，CB的中点D，E，量出DE的长，就知道了AB的长. 这是因为DE是△ABC的中位线，所以 AB=2DE

2几何中的运用

例顺次连结四边形ABCD各边中点E，F,H,M，得到四边形EFHM是平行四边形吗？为什么？解：连结AC，∵MH是△DAC的中位线， ∴MH∥AC，MH=AC（三角形的中位线性质）同理：EF∥AC，EF=AC

∴四边形EFHM是平行四边形(有一组对边平行是四边形是平行四边形) 四课堂练习，巩固提高 P 83 1,2,3,

DMAHCF五反思小结，拓展提高这节课你有什么收获？

（1）三角形中位线和三角形中线的概念别弄错了. （2）三角形中位线的性质.

六、作业：P 87 A组：13,14 B组：3,4,5,6

3.2.1 菱形的性质

目标：

1、知识与技能：了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；掌握菱形的性质，并能运用菱形的性

EB八年级数学（下册）教案洞口中学曾跃飞设计

质进行简单的计算；了解菱形既是中心对称图形又是轴对称图形。

2、过程与方法：经历探索菱形的性质的过程，在操作活动和观察与分析过程中发展学生的主动探

究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会推理论证的基本方法。 3、情感、态度与价值观：通过对菱形与平行四边形关系的探讨，体会集合的思想，培养学生的观

察能力和学习兴趣，并从中认识菱形的图形美。重点：菱形的概念及性质。难点：菱形的性质及应用。教学过程：一、创设问题情景，导入新课

1、课件展示两幅图片（中国结、建筑物），引导学生欣赏、观察、研究、发现，引入课题——

菱形。 2、菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 3、菱形与平行四边形的关系比较。（学生发言分析） 4、你还能举出有关菱形的生活实例吗？二、观察分析，合作探究

1、你能说出平行四边形具有哪些性质吗？你认为菱形具有这些性质吗？（学生交流讨论回答）

师生共同整理：①、菱形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心;

②、菱形的对边相等,对角相等,对角线互相平分.

2、菱形是有一组邻边相等的特殊的平行四边形，它有没有不同于平行四边形的特殊性质呢？（1）、学生动手操作：画出并裁剪一个菱形，然后折叠，感受菱形的轴对称性。（2）、学生合作讨论：菱形的四边之间有何关系？菱形的两条对角线还有什么特点？你能说出理由吗？（3）、老师折纸，师生共同分析。（4）、展示推理过程和结论。

③、菱形的四边都相等；

④、菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴；

⑤、菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。 3、菱形的面积的求法：（课件展示）如图，菱形ABCD被它的两条对角线分成四个直角三角形，

它们全等吗？为什么？如果知道了菱形ABCD的两条对角线的长度，你能算出菱形ABCD

的面积吗？（让学生思考交流）然后师生共同分析并展示推演过程。并一起总结结论：菱形的面积等于它的对角线长的乘积的一半。

三、实际应用，巩固新知

1、展示书中例1：学生思考回答，然后展示解答过程。 2、学生独立完成书91页练习，师生一起订正。四、归纳小结，教学反思：

1、你对菱形知多少？请你谈一谈。

★ 从概念上来谈——

有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

● 从性质上来谈——

①、菱形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心; ②、菱形的对边相等,对角相等,对角线互相平分. ③、菱形的四边都相等；

④、菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴； ⑤、菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。

八年级数学（下册）教案洞口中学曾跃飞设计

※ 从计算上来谈——

菱形的面积等于它的对角线长的乘积的一半。即：设菱形的两对角线长分别为a，b，

则它的面积S=

五、强化训练，综合拓展： 1、书93页习题3.2 A 1、2

2、操作题：你能把有一个内角为72°的菱形ABCD分成4个等腰三角形。

12ab.

A ）72° C 3.2.2菱形判定（1）教学目的：

1、理解并掌握菱形的定义及性质；会判定一个四边形或平行四边形是菱形； B

2、会用这些定理进行有关的论证和计算；

3、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力。教学重点：菱形的判定方法。教学难点：定理的证明方法及运用。教学程序

一、复习提问：

1．什么样的平行四边形是菱形？ 2．菱形有什么性质？

3．有哪几个方法来判定一个四边形是矩形？二．新课讲解

设问：（1）菱形的定义能否作为菱形的判定？有哪两个条件？（2）有什么方法来判定一个四边形是菱形？对角线互相垂直的平行四边形是菱形。提问：这个命题的前提是什么？结论是什么？已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，求证：平行四边形ABCD是菱形。

AOCB分析：我们可根据定义来证明这个四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得到BO=DO，由∠AOB=∠AOD=90º及AO=AO，得ΔAOB≌ΔAOD，可得到AB=AD，得平行四边形ABCD是菱形。（I板书证明过程。）

方法二：四边相等的四边形的菱形。

设问：如何证明这个命题呢？（让学生思考并证明）几何证言表达：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形。

小结：（1）菱形判定方法，填写下表。菱形的定义菱形判定方法一（定义）判定方法1 判定方法2 应具备两个条件 D练习：（1）对角线互相垂直的四边形是菱形。（）

八年级数学（下册）教案洞口中学曾跃飞设计

（2）对角线互相平分的四边形是菱形。（）

（3）两组对边分别平行，且对角线的四边形是菱形。

（4）两组对边分别相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形。（）

综合应用练习

(1)如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。

四．作业布置

3.2．3菱形的判定（2）

教学目的：

1、理解并掌握菱形的定义及性质；会用这些定理进行有关的论证和计算； 2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力； 3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。教学重点：菱形定义及其性质。教学难点：性质的证明方法及运用。教学程序：一．引入新课

1．提问：我们已经学习了矩形的性质，矩形有哪些性质呢？ 2．矩形有哪些判定方法？二．新课讲解

设问：菱形的定义是什么？它能否作为菱形的判定？有哪些条件？（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（2）性质1：（几何语言表达）已知：在菱形ABCD，求证：AB=BC=CD=DA。

（3）性质2：（让学生思考，然后板书证明过程。）设问：菱形除了用平行四边形的方法求面积外，还有没有其它办法呢？（简间写出推理的过程。）

S菱形12对角线对角线（4）菱形的面积公式：

例题讲解：（补充例题）分析解题过程并板书。

（1）跟踪练习1，矩形、菱形各具有哪些性质？填写下表。矩形、菱形各具有哪些性质？填写下表、填图：

矩形性质判定三．本课小结：

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；（判定：2个条件）性质1：菱形的四条边都相等；

性质2：菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；四．作业布置 P94 A 3\\4 B1\\2

菱形八年级数学（下册）教案洞口中学曾跃飞设计

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