参考答案与试题解析
一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分 1．（5分)（2015•湖南）已知
=1+i（i为虚数单位)，则复数z=（ ）
A． 1+i B．1 ﹣i C． ﹣1+i D．﹣ 1﹣i
考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题: 数系的扩充和复数．
分析： 由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则,求得z的值． 解答：
解:∵已知=1+i（i为虚数单位），
∴z===﹣1﹣i,
故选：D．
点评： 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题． 2．（5分)(2015•湖南)设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（ ) A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 集合；简易逻辑．
分析： 直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可． 解答： 解：A、B是两个集合,则“A∩B=A”可得“A⊆B”，
“A⊆B”，可得“A∩B=A”．
所以A、B是两个集合，则“A∩B=A\"是“A⊆B”的充要条件． 故选：C．
点评： 本题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用． 3．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（
1
）
A．
B．
C．
D．
考点： 程序框图．
分析： 列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环． 解答: 解:判断前i=1,n=3,s=0，
第1次循环，S=第2次循环，S=第3次循环,S=
，i=2，
，i=3，
，i=4,
此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果:S=
=
=
故选：B
点评： 本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用,考查计算能力
4．（5分）(2015•湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（ ）
A． ﹣7 B．﹣ 1 C． 1 D．2
考点: 简单线性规划． 专题: 不等式的解法及应用． 分析: 由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
2
解答:
解：由约束条件
作出可行域如图,
由图可知，最优解为A， 联立
，解得C(0，﹣1）．由
解得A（﹣2，1），由
,
解得B(1，1）
∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7． 故选：A．
点评：
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．易错点是图形中的B点．
5．（5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln(1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x)是（ ） A． 奇函数，且在(0，1）上是增函数 B． 奇函数，且在（0，1）上是减函数
C．
偶函数，且在（0，1)上是增函数
D．
偶函数，且在（0,1）上是减函数
考点：利 用导数研究函数的单调性． 专题：导 数的综合应用． 分析：求 出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可． 解答：解 ：函数f(x)=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），
函数f(﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣［ln(1+x）﹣ln(1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．
排除C,D,正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时,f(0）=0；
x=时，f（）=ln(1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确． 故选：A． 点评：本 题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．
3
6．（5分）(2015•湖南）已知( A．
考点： 专题： 分析：
B．﹣
﹣
)5的展开式中含xC． 6
的项的系数为30，则a=（ ) D．﹣ 6
二项式定理的应用．
二项式定理．
根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x
的指数为求得r,再代入系数求出结果．
解答:
解：根据所给的二项式写出展开式的通项， Tr+1=
=
；
展开式中含x∴
∴r=1，并且
，
的项的系数为30，
，解得a=﹣6．
故选：D．
点评： 本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项,在这种题
目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
7．（5分）（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) 附“若X﹣N=(μ，a2），则
P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0。6826． p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．
A． 2386 C． 3413 D．4 772
考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 专题： 计算题;概率与统计． 分析：
求出P(0＜X≤1）=×0.6826=0。3413,即可得出结论．
B．2 718
解答：
解：由题意P（0＜X≤1）=×0。6826=0.3413,
∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0。3413=3413,
4
故选:C．
点评： 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的
应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
8．（5分）（2015•湖南）已知A，B,C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0）,则｜
|的最大值为( ）
C． 8
D．9
A． 6 B．7
考点： 圆的切线方程． 专题： 计算题；直线与圆． 分析：
由题意,AC为直径，所以｜
｜=|2+｜=|4+|．B为（﹣1，0)时，｜
4+
解答：
|≤7，即可得出结论．
|=｜2
+
｜=|4+
|．
解：由题意，AC为直径，所以|所以B为(﹣1，0)时,|4+所以|
｜≤7．
|的最大值为7．
点评：
故选：B．
本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
9．（5分）（2015•湖南）将函数f（x)=sin2x的图象向右平移φ(0＜φ＜数g（x）的图象．若对满足｜f(x1）﹣g（x2)|=2的x1、x2,有｜x1﹣x2|min= A．
B．
C．
D．
)个单位后得到函，则φ=（ ）
考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题: 三角函数的图像与性质． 分析: 利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可． 解答:
解:因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ(0＜φ＜
)个单位
后得到函数g（x）的图象．若对满足｜f（x1）﹣g(x2）｜=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2｜min=不妨x1=时φ=
，x2=
，即g(x)在x2=
，
,取得最小值，sin（2×
﹣2φ）=﹣1，此
，不合题意，
5
x1=,x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，
满足题意．
故选：D．
点评： 本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题
解决问题的能力,是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．
10．（5分）(2015•湖南) 某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为（材料利用率=
)（ ）
A．
B．
C．
D．
考点： 专题： 分析:
简单空间图形的三视图．
创新题型;空间位置关系与距离；概率与统计．
根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1,高为2,求解体积． 利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形,高为x，
利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣），0＜x＜2，求解体积式子，利用导
解答：
数求解即可，最后利用几何概率求解即．
解：根据三视图可判断其为圆锥, ∵底面半径为1，高为2, ∴V=
×2=
6
∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件， ∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x， ∴根据轴截面图得出：=解得;n=
（1﹣
），0＜x＜2，
，
∴长方体的体积Ω=2(1﹣）2x，Ω′=x2﹣4x+2,
∵，Ω′=x2﹣4x+2=0,x=,x=2，
∴可判断（0，)单调递增，（,2）单调递减, Ω最大值=2（1﹣
）2×=
，
∴原工件材料的利用率为=×=,
点评:
故选：A
本题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题．
二、填空题，共5小题,每小题5分，共25分 11．（5分）（2015•湖南）
（x﹣1)dx= 0 ．
考点: 定积分．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值． 解答:
解:（x﹣1）dx=(﹣x）｜=0；
故答案为：0．
点评： 本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数．
7
12．（5分)（2015•湖南）在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是
4 ．
考点： 专题: 分析： 解答：
茎叶图． 概率与统计．
根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征,即可求出正确的结论． 解：根据茎叶图中的数据，得;
成绩在区间［139，151]上的运动员人数是20, 用系统抽样方法从35人中抽取7人,
成绩在区间［139，151］上的运动员应抽取
7×=4（人）．
点评：
故答案为:4．
本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题,是基础题目．
13．(5分）（2015•湖南）设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线
段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 ．
考点: 双曲线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 设F（c，0)，P（m，n），(m＜0)，设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b,
将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．
解答： 解：设F(c,0）,P(m，n)，（m＜0），
设PF的中点为M（0,b）, 即有m=﹣c，n=2b,
将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，
﹣=1,
可得e2=
=5，
点评：
解得e=． 故答案为：．
本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题．
8
14．（5分）(2015•湖南）设Sn为等比数列{an｝的前n项和，若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列，则an= 3n1 ．
考点： 等差数列与等比数列的综合． 专题： 等差数列与等比数列．
分析: 利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．
解答: 解：设等比数列的公比为q,Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1，2S2，S3成等
差数列，
可得4S2=S3+3S1,a1=1， 即4(1+q）=1+q+q2+3,q=3．
﹣
∴an=3n1．
﹣
故答案为:3n1．
点评： 本题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查．
﹣
15．（5分）(2015•湖南)已知函数f（x）=若存在实数b,使函数g（x）=f（x）
﹣b有两个零点，则a的取值范围是 ｛a｜a＜0或a＞1} ．
考点： 函数的零点．
专题： 计算题；创新题型;函数的性质及应用．
分析： 由g（x）=f(x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图
象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围
解答： 解：∵g（x）=f(x）﹣b有两个零点，
∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，
由x3=x2可得，x=0或x=1
①当a＞1时,函数f（x)的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意
②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意 ③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意
9
④a=0时,f（x）单调递增,故不符合题意
⑤当a＜0时，函数y=f(x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b有两个交点
综上可得，a＜0或a＞1 故答案为：｛a|a＜0或a＞1｝
点评： 本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．
三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲 16．（6分)（2015•湖南）如图，在⊙O中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N,直线MO与直线CD相较于点F,证明： (1）∠MEN+∠NOM=180° (2)FE•FN=FM•FO．
10
考点： 专题： 分析： 解答:
相似三角形的判定． 选作题;推理和证明．
(1）证明O,M，E，N四点共圆,即可证明∠MEN+∠NOM=180° （2)证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO． 证明：（1）∵N为CD的中点， ∴ON⊥CD，
∵M为AB的中点， ∴OM⊥AB，
在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°, ∴O，M，E，N四点共圆, ∴∠MEN+∠NOM=180°
（2）在△FEM与△FON中,∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°， ∴△FEM∽△FON，
∴=
点评:
∴FE•FN=FM•FO．
本题考查垂径定理,考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力,比较基础．
选修4—4：坐标系与方程
17．（6分）（2015•湖南)已知直线l：(t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ． （1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程; (2）设点M的直角坐标为（5,），直线l与曲线C的交点为A,B，求|MA｜•｜MB｜的值．
考点: 参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 专题： 选作题；坐标系和参数方程．
分析: （1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得
x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；
（2)直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．
22
解答： 解:（1)∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x,故它的直角坐标方程为（x﹣1）+y=1；
11
（2）直线l：(t为参数），普通方程为，（5，）在直
线l上，
过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18， 由切割线定理，可得|MT｜2=|MA｜•|MB|=18．
点评： 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．
选修4-5：不等式选讲
18．（2015•湖南)设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：
（ⅰ）a+b≥2；
（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．
考点: 不等式的证明． 专题: 不等式的解法及应用．
分析： (ⅰ)由a＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；
（ⅱ）运用反证法证明．假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证．
解答： 证明:（ⅰ)由a＞0，b＞0，
则a+b=+=,
由于a+b＞0，则ab=1，
即有a+b≥2=2，
当且仅当a=b取得等号． 则a+b≥2；
（ⅱ）假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立． 由a2+a＜2及a＞0,可得0＜a＜1， 由b2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1, 这与ab=1矛盾．
a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．
本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题．
点评：
19．(2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=
；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．
考点: 正弦定理． 专题： 解三角形．
12
分析： （Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；
(Ⅱ）由题意可得A∈（0，
）,可得0＜sinA＜
,化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA
﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．
解答：
解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得∴sinB=cosA，即sinB=sin（又B为钝角,∴∴B=
+A∈（
；
+A)=﹣2A)
﹣2A＞0，
+A)
==
，
，π），
+A,∴B﹣A=
（Ⅱ)由(Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣(A+∴A∈(0，
），∴sinA+sinC=sinA+sin（
=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A =﹣2（sinA﹣）2+, ∵A∈（0,
)，∴0＜sinA＜
,
∴由二次函数可知＜﹣2(sinA﹣）2+≤
，]
∴sinA+sinC的取值范围为（
点评： 本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．
20．(2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球,则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 专题: 概率与统计．
分析： (1）记事件A1=｛从甲箱中摸出一个球是红球｝,事件A2={从乙箱中摸出一个球是红
球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2=｛顾客抽奖1次获二等奖}，事
件C=｛顾客抽奖1次能获奖｝，利用A1，A2相互独立，互斥，然后求出所求概率即可．
，互斥，B1,B2
13
（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X~B．求出概率,得
到X的分布列，然后求解期望．
解答： 解:（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2=｛从乙箱中摸出一个
球是红球｝，事件B1=｛顾客抽奖1次获一等奖｝，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖},
事件C=｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意A1，A2相互独立，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=（A1)=+P（=
,P(A2)=）
+
=
．
=，
+
，C=B1+B2，因为P
=，P（B2）=P（
）
，
互斥，
,所以,P（B1)=P（A1)P(A2）=
故所求概率为：P(C）=P（B1+B2）=P(B1）+P（B2）=
（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1)可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：P（X=1）=（X=3)=
故X的分布列为： X 0 P
E（X）=3×=．
点评:
期望是概率论和数理统计的重要概念之一,是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫,它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用,为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．
=
所以．X～B
=
．于是，P(X=0）=，P（X=2）=．
==,P，
1
2
3
21．（2015•湖南）如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上． （1）若P是DD1的中点,证明：AB1⊥PQ；
(2）若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．
14
考点: 专题： 分析：
二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质． 空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．
（1）首先以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上，从而可设Q（6，y1，0）,只需求即可;
（2）设P(0，y2，z2）,根据P在棱DD1上,从而由
即可得到z2=12﹣2y2，
与平面ABB1A1
从而表示点P坐标为P（0,y2，12﹣2y2)．由PQ∥平面ABB1A1便知道
的法向量垂直,从而得出y1=y2，从而Q点坐标变成Q(6,y2，0），设平面PQD的法向量为
,根据
即可表示
，平面AQD
的一个法向量为，从而由
即可求出y2，从而得出P点坐标,
解答：
从而求出三棱锥P﹣AQD的高，而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积，从而求出四面体的体积．
解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系,则：
A（0，0，0）,B（6，0,0）,D（0,6，0)，A1（0,0，6)，B1(3，0,6），D1（0，3，6）; Q在棱BC上，设Q(6,y1，0），0≤y1≤6； ∴(1）证明:若P是DD1的中点，则P∴∴∴
; ；
，
； ；
∴AB1⊥PQ;
（2)设P（0，y2,z2)，y2,z2∈[0，6］，P在棱DD1上； ∴
,0≤λ≤1；
15
∴（0，y2﹣6，z2）=λ(0，﹣3，6）; ∴
；
∴z2=12﹣2y2；
∴P（0，y2，12﹣2y2）； ∴
；
平面ABB1A1的一个法向量为;
∵PQ∥平面ABB1A1； ∴
=6（y1﹣y2）=0；
∴y1=y2；
∴Q（6，y2，0）； 设平面PQD的法向量为
，则：
；
∴,取z=1，则;
又平面AQD的一个法向量为；
又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；
∴;
解得y2=4，或y2=8（舍去）； ∴P（0，4，4)；
∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且；∴V四面体ADPQ=V三棱锥P﹣ADQ=
．
16
点评:
考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量基本定理，直线和平面平行时，直线和平面法向量的关系，平面法向量的概念,以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式．
22．(13分）(2015•湖南）已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2：的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2（Ⅰ）求C2的方程；
．
+
=1（a＞b＞0）
（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．
（ⅰ）若｜AC|=|BD|，求直线l的斜率；
（ⅱ)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题： 创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析： （Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同,得到a2﹣b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2，得
到=1，解得即可求出；
（Ⅱ）设出点的坐标，（ⅰ）根据向量的关系,得到(x1+x2)2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4,设直线l的方程,分别与C1，C2构成方程组,利用韦达定理,分别代入得到关于k的方程，解得即可;
（ⅱ）根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明．
解答:
解：（Ⅰ）抛物线C1:x2=4y的焦点F的坐标为（0，1）,因为F也是椭圆C2的一个焦点， ∴a2﹣b2=1，①，
又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y， 由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±所以
=1，②，
，),
联立①②得a2=9,b2=8，
17
故C2的方程为+=1．
（Ⅱ）设A（x1，y1)，B（x2,y2），C（x3,y3)，A（x4，y4）, （ⅰ）因为与同向,且｜AC｜=|BD｜，
所以
=
，
从而x3﹣x1=x4﹣x2，即x1﹣x2=x3﹣x4，于是 (x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，③ 设直线的斜率为k,则l的方程为y=kx+1， 由
,得x2﹣4kx﹣4=0，而x1,x2是这个方程的两根,
所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，④
由
，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0,而x3，x4是这个方程的两根，所以x3+x4=，x3x4=﹣，⑤
将④⑤代入③，得16(k2+1）=
+，
即16（k2+1）=,
所以（9+8k2）2=16×9， 解得k=±
．
（ⅱ）由x2=4y得y′=x，
所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1（x﹣x1)， 即y=x1x﹣x12， 令y=0，得x=x1， M（x1，0）， 所以
=（x1，﹣1)，
18
而于是
=（x1，y1﹣1）， •
=x12﹣y1+1=x12+1＞0，
点评:
因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角， 故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于k的方程，计算量大，属于难题．
23．(13分）（2015•湖南）已知a＞0，函数f（x）=eaxsinx（x∈［0,+∞]）．记xn为f（x)的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明： （Ⅰ)数列{f（xn）}是等比数列; （Ⅱ)若a≥
，则对一切n∈N*，xn＜｜f（xn）｜恒成立．
考点： 利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题： 创新题型;导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
分析： (Ⅰ)求出导数，运用两角和的正弦公式化简,求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符
号相反,即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；
（Ⅱ）由sinφ=
，可得对一切n∈N,xn＜｜f（xn）|恒成立．即为nπ﹣φ＜
＊
ea
（nπ﹣φ）
恒成立⇔＜,①设g（t）=（t＞0),求出导数,求得最小值，
由恒成立思想即可得证．
解答：
证明:(Ⅰ)f′（x）=eax（asinx+cosx）=tanφ=，0＜φ＜
，
•eaxsin(x+φ），
令f′（x)=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，
对k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2)π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2)π﹣φ， 则f′（x）＜0，因此在（（m﹣1）π,mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，mπ）上f′（x）符号总相反． 于是当x=nπ﹣φ,n∈N*，f（x）取得极值,所以xn=nπ﹣φ，n∈N,
（﹣）﹣）
此时f（xn）=eanπφsin（nπ﹣φ）=(﹣1)n+1ea(nπφsinφ，
＊
易知f（xn)≠0，而=
（π﹣φ）
=﹣eaπ是常数，
sinφ，公比为﹣eaπ的等比数列;
故数列{f（xn）}是首项为f（x1)=ea（Ⅱ）由sinφ=
,可得对一切n∈N*，xn＜｜f(xn）|恒成立．
19
即为nπ﹣φ＜
ea
（nπ﹣φ）
恒成立⇔＜，①
设g（t)=（t＞0），g′（t)=，
当0＜t＜1时,g′（t）＜0,g（t）递减，当t＞1时，g′(t）＞0，g(t）递增．
t=1时，g(t）取得最小值，且为e． 因此要使①恒成立,只需
＜g(1)=e，
只需a＞，当a=，tanφ==，且0＜φ＜，
可得＜φ＜，
，于是π﹣φ＜＜，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞
因此对n∈N*,axn=故①亦恒成立． 综上可得，若a≥
≠1，即有g（axn）＞g（1）=e=,
，则对一切n∈N*，xn＜|f(xn）|恒成立．
点评： 本题考查导数的运用：求极值和单调区间,主要考查三角函数的导数和求值,同时考查等比
数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题．
20
2015年湖南省高考数学试卷（理科)
一、选择题，共10小题，每小题5分,共50分 1．（5分）(2015•湖南）已知
=1+i（i为虚数单位）,则复数z=（ ）
A． 1+i B．1 ﹣i C． ﹣1+i D．﹣ 1﹣i 2．（5分）（2015•湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B=A\"是“A⊆B”的( ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C．
充要条件
D．
既不充分也不必要条件
3．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（5分（)2015•湖南)若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（ ）
A． ﹣7 B．﹣ 1 C． 1 D．2
5．(5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x)，则f（x）是（ ） A． 奇函数，且在（0，1)上是增函数 B． 奇函数,且在（0,1）上是减函数 C． 偶函数，且在（0，1)上是增函数 D． 偶函数，且在（0，1）上是减函数
21
6．(5分）（2015•湖南）已知（﹣
5
）的展开式中含x
的项的系数为30，则a=（ )
A． B．﹣ C． 6 D．﹣ 6
7．(5分）（2015•湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） 附“若X﹣N=（μ，a2），则
P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0。6826． p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ)=0。9544．
A． 2386 C． 3413 D．4 772
8．(5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC,若点P的坐标为(2，0），则| A． 6
|的最大值为（ ) B．7
C． 8
D．9
B．2 718
9．(5分）（2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜函数g（x）的图象．若对满足｜（fx1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有｜x1﹣x2｜min= A．
B．
C．
D．
）个单位后得到，则φ=( ）
10．（5分)(2015•湖南） 某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=
）（ ）
22
A．
B．
C．
D．
二、填空题，共5小题,每小题5分,共25分 11．（5分）（2015•湖南）
（x﹣1）dx= ．
12．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151］上的运动员人数
是 ．
13．（5分）（2015•湖南）设F是双曲线C：
﹣
=1的一个焦点．若C上存在点P,使线
段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 ．
14．(5分）（2015•湖南)设Sn为等比数列{an｝的前n项和，若a1=1,且3S1，2S2，S3成等差数列，则an= ．
15．（5分)（2015•湖南）已知函数f（x)=b有两个零点，则a的取值范围是 ．
23
若存在实数b,使函数g（x)=f（x）﹣
三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答,如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲 16．（6分）（2015•湖南)如图，在⊙O中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N,直线MO与直线CD相较于点F，证明： （1）∠MEN+∠NOM=180° （2）FE•FN=FM•FO．
选修4-4:坐标系与方程
17．(6分)(2015•湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为（5，),直线l与曲线C的交点为A,B，求｜MA｜•｜MB｜的值．
选修4-5：不等式选讲
18．（2015•湖南）设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：
（ⅰ）a+b≥2；
(ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立． 19．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA,且B为钝角． (Ⅰ）证明：B﹣A=
；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 20．（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中,若都是红球，则获一等奖,若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
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(1）求顾客抽奖1次能获奖的概率； （2）若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望． 21．（2015•湖南)如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上． （1）若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ；
(2）若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积．
22．(13分)（2015•湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2(Ⅰ）求C2的方程;
．
+
=1（a＞b
（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．
（ⅰ)若｜AC｜=|BD|,求直线l的斜率；
（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明:直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
23．（13分)（2015•湖南）已知a＞0，函数f(x）=eaxsinx（x∈［0，+∞])．记xn为f（x）的从小到大的第n(n∈N*）个极值点．证明： (Ⅰ）数列｛f（xn）｝是等比数列； （Ⅱ)若a≥
，则对一切n∈N*，xn＜｜f(xn）|恒成立．
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