第8讲 幂函数与函数应用

第8讲 幂函数与函数应用

1.幂函数

(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较

(3)幂函数的性质比较 函数 特征 性质 定义域 值域 奇偶性 单调性 R R 奇函数 增 R [0，＋∞) 偶函数 x∈[0，＋∞)时，增； x∈(－∞，0]时，减 R R 奇函数 增 [0，＋∞) [0，＋∞) 非奇非偶函数 增 {x|x∈R且x≠0} {y|y∈R且y≠0} 奇函数 x∈(0，＋∞) 时，减； x∈(－∞，0)时，减 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x 12y＝x1 －(4)幂函数的共性 α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降.

幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

[玩转典例]

题型一 幂函数的概念 例1 函数f(x)＝(m－m－1)x的解析式.

[玩转跟踪]

2

m2m3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)

2mm3(m)为偶函数，且在(0,)上为增函数. 1.已知函数f(x)x2

题型二 幂函数的图像

例2 如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±1

2四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为( )

A.－2，－12，1

2，2

B.2，12，－1

2，－2

C.－112，－2,2，2

D.2，12，－2，－12

[玩转跟踪]

1.如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( ) A.－1＜n＜0＜m＜1 B.n＜－1,0＜m＜1 C.－1＜n＜0，m＞1 D.n＜－1，m＞1

题型三 幂函数的性质

11例3 若(2m＋1)2 >(m2＋m－1) 2，则实数m的取值范围是( )

A.－5－1－∞，2

B.

5－12，＋∞



C．(－1,2)

D.

5－12，2



例4 比较下列各组数中两个数的大小： 11(1)132与142；(2)－23－1与－35－1； (3)0.25114与6.254；(4)0.20.6与0.30.4.

[玩转跟踪]

12121.若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________． 2．比较下列各组数的大小： 20.530.533(1)与；(2)－3.14与－π； 351432(3)2与4.

3.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A.y＝x2

－

31B.y＝x1

－

C.y＝x2

题型四 函数应用

D.y＝x

13例5 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销1

售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，

2t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)． (1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系； (2)求日销售额S的最大值．

[玩转跟踪]

1.手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)、60分钟以上(不包括60分钟)按30元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费． ①12月份小王手机上网使用量20小时，要付多少钱？

②小舟10月份付了90元的手机上网费，那么他上网时间是多少？ ③电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？

[玩转练习]

1．下列函数中是幂函数的是( ) A．y＝x4＋x2 1

C．y＝3

x

B．y＝10x D．y＝x＋1

2．下列幂函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A．y＝x2

－

B．y＝x1

－

C．y＝x

122

D．y＝x

133．已知f(x)＝x，若0A．f(a)15.如图所示曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则对应于曲2线C1，C2，C3，C4的指数α依次为( )

11

A．－2，－，，2

2211

B．2，，－，－2

2211

C．－，－2,2， 2211D．2，，－2，－

22

6．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．

7．已知m＝(a2＋3)1(a≠0)，n＝31，则m与n的大小关系为________．

－

－

8．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x数，则n的值为________．

n2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函

x9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·

函数；(3)幂函数．

m2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例

1

－2，－分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x分别为何值时，有10．点(3，3)与点2f(x)>g(x)；f(x)＝g(x)；f(x)11．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：

(1)求y关于x的函数解析式；

(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？

12．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司有电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A，B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A，B两地每台电脑的运费分别是80元和50元．

(1)设甲地调运x台至B地，该公司运往A，B两地的总运费为y元，求y关于x的函数解析式；

(2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？