《近世代数》模拟试题1及答案72397

一. 单项选择题(每题5分，共25分）

1、在整数加群(Z，＋）中，下列那个是单位元（ ).

A。 0 B. 1 C. －1 D。 1/n，n是整数 2、下列说法不正确的是（ ）.

A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群； B 。 G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群; C 。 G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群； D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群。

3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是（ )。 A . 反身性 B。 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4。 对整数加群Z来说，下列不正确的是（ ）。 A。 Z没有生成元。 B. 1是其生成元. C。 －1是其生成元。 D。 Z是无限循环群。 5。 下列叙述正确的是（ ）。 A。 群G是指一个集合. B。 环R是指一个集合。

C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律，并且单位元,逆

元存在.

D。 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元,

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逆元存在.

二. 计算题（每题10分,共30分） 1。 设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成

的群,试求中G中下列各个元素c12101,d0阶。

2。 试求出三次对称群

S3(1),(12),(13),(23),(123),(132) 的所有子群.

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31,cd，

的

3. 若e是环R的惟一左单位元,那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明。

三. 证明题(第1小题10分,第2小题15分，第3小题20分，共45分）。

1. 证明： 在群中只有单位元满足方程

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x2x.

2． 设G是正有理数乘群,G是整数加群. 证明： :2nban

是群G到G的一个满同态，其中a,b是整数，而(ab,2)1。

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3． 设S是环R的一个子环.证明: 如果R与S都有单位元，但不相等，则S的单位元必为R的一个零因子.

近世代数模拟试题答案

2008年11月

一、单项选择题（每题5分，共25分)

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1. A 2。 D 3. D 4 . A 5 。 C

二. 计算题(每题10分，共30分） 1。 解：

易知 c的阶无限, （3分）

d的阶为2. （3分）

但是 cd11,01 （2分）

的阶有限，是2。 (2分） 2. 解：S3的以下六个子集

H1(1),H2(1),(12),H3(1),(13),

H4(1),(23),H5(1),(123),(132),H6S3 (7分）

对置换乘法都是封闭的,因此都是S3的子集。 (3分) 3. 解:

e是R的单位元。

事实上，任取a,bR, 则因e是R的左单位元，故

(aeae)ba(eb)abebababbb,

即 aeae也是R的左单位元。故有题设得 aeaee,aea. 即

e是R的单位元.

三、证明题（每小题15分共45分） 1． 证明：

设e是G的单位元,则e显然满足所说的方程 (3分） 另外， 设aG且aa，则有

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a1a2a1a, 即ae, （5分）

即只有e满足方程 x2x. （2分）

2。 证明： 显然是G到G的一个满射 （3分）

又由于 当(ab,2)1,(cd,2)1时有

(abcd,2)1 (2nb2md)(2nmbd且

acac)nm(2nb)(2mdac).故 是群G到G的一个同态满射.

3 证明:

分别用e和e表示R与S的单位元，且ee，于是e不是R的单位元. (3因此，存在0aR，使

aea或eaa 如果aea，则aea0,且

(aea)eaeae0, 即e是R的（右)零因子. (3同理，如果eaa,则e是R的（左）零因子。

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（4分）

（6分）

2分） 分） （5分）

（4分）

分) （5分) （