小升初奥数++新定义计算

教学课题 奥数—— 定义新运算 教学过程 我们学过的常用运算有：+、－、×、÷等，在这一讲中，我们将定义一些新的运算。对这些新的运算符号同学们可能会感到陌生，但是解题时只在抓住新运算的运算法则，问题就迎刃而解了。 【例1】定义一种运算△： a△b=3×a－2×b, (1) 求3△2，2△3； （2）这个运算“△”有交换律吗？ （3）求（17△6）△2，17△（6△2）； （4）这个运算“△”有结合律吗？ 【分析】解这类题的关键是抓住新运算的本质，本题的本质是：用运算符前面的3倍减去运算符号后面数的2倍。 【解】（1）3△2＝3×3－2×2＝9－4＝5 2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0 （2）由（1）的运算结果可知“△”没有交换律。 （3）要计算（17△6）△2 ，先计算括号内的数，有： 17△6＝3×17－2×6＝39 再计算第二步：39△2＝3×39－2×2＝113 所以（17△6）△2＝113 对于17△（6△2）可同样计算: 6△2=3×6－2×2=14 17△14=3×17－2×14=23 所以17△（6△2）=23 (4)由(3)的运算结果可知“△”也没有结合律。 【例2】定义新的运算a◎b=a×b＋a＋b （1） 求6◎2，2◎6； （2） 求（1◎2）◎3，1◎（2◎3）； （3） 这个运算有交换律和结合律吗？ 【分析与解】 （1）6◎2＝6×2＋6＋2＝20 2◎6＝2×6＋2＋6＝20 （2）（1◎2）◎3＝（1×2＋1＋2）◎3 ＝5◎3 ＝5×3＋5＋3 ＝23 1◎（2◎3）＝1◎（1×2＋1＋2） ＝1◎11 ＝1×11＋1＋11 ＝23 （3）由（1）的运算结果6◎2＝2◎6＝20，可知◎满足交换律。 由（2）的运算结果（1◎2）◎3＝1◎（2◎3）＝23，可知◎满足结合律。

巩固练习。 1、对于数a、b定义运算“※”为a※b＝（a＋3）×(b－5)，求5※（6※7）的值。 2、 对于数x、y定义两种运算“＃”及“□”如下： x＃y＝6×x＋5×y，x□y=3×x×y，求（2＃3）□4的值。 【例3】对于任意的两个整数a、b，定义两种运算“※”，“◎”： a※b=a＋b－1,a◎b=a×b－1，计算4◎［（6※8）※（3※5）］的值。 【解】4◎［（6※8）※（3※5）］ ＝4◎［（6＋8－1）※（3+5－1）］ ＝4◎[13※7] ＝4◎[13+7-1] ＝4◎19 ＝4×19－1 ＝75 【例4】定义x*y=a×x＋2×y,并且已知5*6＝6*5，求a是几？ 【解】根据题意， 5*6＝5×a＋2×6=5a＋12 6*5=6×a＋2×5=6a＋10 且5a＋12=6a＋10 可以解出a=2

巩固练习。 定义运算“*”为a*b=a×b－(a＋b)求： （1）5*7，7*5 （2）12*（3*），（12*3）*4 （3）这个运算“*”有交换律、结合律吗？ 【例5】 定义一种运算A＊B=A×(A+1) ×(A+2) ×…×(A+B) 求：（6＊4）-（5＊2） 敏捷思维 式子中包括两次A＊B，就要进行两次对应的运算。 【解】 （6＊4）-（5＊2） =6×（6+1）×(6+2) ×(6+3) ×(6+4)-5×(5+1) ×(5+2) =6×7×8×9×10-5×6×7 =30240-210 =30030 每出现一次A＊B这样的形式就要进行一次对应的运算。 巩固练习 X§Y=X+(X+1)+(X+2)+ …+(X+Y) 求：1§99 一、专项练习。 1、对于数a、b定义运算“※”为a※b＝6×a－2×b，求4※（5※6）的值。

2、 对于数x、y定义两种运算“＃”及“□”如下： x＃y＝8×x－4×y，x□y=6×x×y，求（5＃7）□8的值。 3、设a,b都表示数，规定a△b=3×a-2×b。 （1）求4△3，3△4。这个运算“△”有交换律吗？ （2）求（17△6）△2，17△（6△2）。这个运算“△”有结合律吗？ （3）如果已知5△b=5，求b。 4、设a▽b=a×b+a-b,求5▽8。 5.如果规定3○3=3+4+5 4○6=4+5+6+7+8+9=39 求：2○8 6、有两个整数是A、B，A☆B表示A与B的平均数，已知A☆6＝17求A。

7、对于两个数a与b规定，a◎b=a×b+a×b，如果5◎x＝30求x. 8、对于两个数a与b，规定a□b=a＋（a+1）+（a+2）+……（a－b－1），已知x□6=27求x。 9、设a※b=3×a-2b,已知x※（4※1）=7，求x。 10、规定：符号“△”为选择两个数中较大的数的运算，“○”为选择两个数中较小的数的运算，例如：3△5＝5，3○5＝3。请计算下式： [（7○3）△5]×[5○（3△7）] 11、有一个数学符号“△”使下列算式成立：6△2＝12、4△3＝13、3△4＝15、5△1＝8。按此规律计算：8△4