(时间:120分钟 满分:150分)
滚动测试卷第5页
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.集合A={x∈N||x-1|≤1},B={x|y=√1-𝑥2},则A∩B的子集个数为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案:C
解析:∵集合A={x∈N||x-1|≤1}={0,1,2},B={x|y=√1-𝑥2}={x|-1≤x≤1}, ∴A∩B={0,1}.
∴集合A∩B的子集个数为22=4,故选C. 2.(2020山东,2)1+2i=( ) A.1 C.i 答案:D
2-i
2-i
B.-1 D.-i
(2-i)(1-2i)
2-i-4i-21+4
解析:1+2i=(1+2i)(1-2i)=
=
-5i5
=-i,故选D.
3.下列结论正确的是( ) A.若命题p:∀x>0,都有x2>0,则
2
p:∃x0≤0,使得𝑥0≤0
B.若命题p和p∨q都是真命题,则命题q也是真命题
C.在△ABC中,a,b,c是内角A,B,C所对的边,则a 解析:若命题p:∀x>0,都有x2>0,则 2 p:∃x0>0,使得𝑥0≤0.故A项错误; 若命题p和p∨q都是真命题,则命题q可能是真命题,也可能是假命题.故B项错误; 在△ABC中,由a 命题“若x2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x≠-2且x≠1,则x2+x-2≠0”.故D项错误. 故选C. 4.如图,阴影区域是由函数y=cos x的一段图象与x轴围成的封闭图形,则这个阴影区域的面积是( ) 1 / 10 A.1 答案:B B.2 C.2 3π2π2 π D.π 解析:由题意可知阴影区域的面积是S=-∫ cos xdx=-sin x|=2.故选B. 5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)=-log2(-2x),则f(32)=( ) A.-32 B.-6 C.6 D.64 答案:B 解析:因为当x<0时,f(x)=-log2(-2x),且函数f(x)是R上的偶函数,所以f(32)=f(-32)=-log264=-6,故选B. 6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中𝐴>0,|𝜑|<2)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象( )可得g(x)=sin(2𝑥+4)的图象. π π 3π2π2 A.向右平移12个长度单位 C.向左平移12个长度单位 答案:D 解析:由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知,A=1,4=∴T=𝜔=π,解得ω=2,由五点法画图知,2×3+φ=π, 解得φ=3, ∴f(x)=sin(2𝑥+3),又y=sin[2(𝑥-24)+3]=sin(2𝑥+4), ∴将函数f(x)的图象向右平移24个长度单位,可得g(x)=sin(2𝑥+4)的图象,故选D. 7.函数y=ln(1+𝑥)+sin x的图象大致为( ) 1-𝑥 π π π π π π π2π π 𝑇 7π ππ B.向左平移24个长度单位 D.向右平移24个长度单位 π π −3=4, 12 ππ 2 / 10 答案:A 解析:易知f(x)=ln(1+𝑥)+sin x的定义域为(-1,1),且f(-x)=ln(1-𝑥)+sin(-x)=-ln(1+𝑥)-sin x=-f(x),即函数f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除选项C,D;又f(2)=ln 3+sin 2=sin 2-ln 3<0,故排除选项B,所以选A. 8.在四边形ABCD中,AC⊥BD,且AC=2,BD=3,则⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵·⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷的最小值为( ) A.4 13 13 15 15 1 1 1 1 1-𝑥 1+𝑥 1-𝑥 B.-4 C.4 D.-4 答案:B 解析:设AC与BD相交于点O,以O为原点,AC,BD为坐标轴建立平面直角坐标系,设C(a,0),D(0,b),则A(a-2,0),B(0,b-3), 故⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵=(2-a,b-3),⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷=(-a,b). ∴⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵·⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷=a(a-2)+b(b-3) =(a-1)+(𝑏-2)− 2 32 134 . 313∴当a=1,b=2时,⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵·⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷取得最小值-4. 9.设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=-𝑓(𝑥),且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则f(107.5)=( ) A.10 答案:B 解析:∵f(x+3)=-𝑓(𝑥), ∴f(x+6)=-𝑓(𝑥+3)=-1 -1=f(x). 𝑓(𝑥)1 B.10 1 C.-10 D.-10 1 1 1 ∴函数f(x)是以6为周期的函数. ∴f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=-𝑓(2.5)=-𝑓(-2.5)=-4×(-2.5)=10.故选B. 10.已知函数y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=1对称,则sin 2φ=( ) A.-5 4 1 1 1 1 B.-5 3 C.5 3 / 10 3 D.5 4 答案:A 解析:y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ) =√5sin(πx+φ-α), 其中sin α=5,cos α=5. √√21∵函数y的图象关于直线x=1对称, ∴π+φ-α=2+kπ,k∈Z, 即φ=α-2+kπ,k∈Z. ∴sin 2φ=sin 2(𝛼-2+𝑘π) =sin(2α-π+2kπ)=sin(2α-π) =-sin 2α=-2sin αcos α =-2×2√π ππ ×51√=-,故选A. 55 1sin𝐶 √15,则4 4 11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若cos B=4,sin𝐴=2,且S△ABC=b=( ) A.4 答案:C 1 B.3 C.2 √15. 4 D.1 解析:由cos B=4,0 sin𝐶 𝑐 =2acsin B=a2·4,得a=1. 1 1√15所以c=2. 由b2=a2+c2-2accos B=1+4-2×1×2×4=4,得b=2. 12.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,不等式f(x)+x·f'(x)<0成立,若a=30.2f(30.2),b=(logπ2)f(logπ2),c=(log24)𝑓(log24),则a,b,c之间的大小关系为( ) A.a>c>b B.c>a>b C.c>b>a D.b>a>c 答案:C 解析:构造函数g(x)=xf(x),则g'(x)=f(x)+xf'(x),当x>0时,不等式f(x)+x·f'(x)<0成立, ∴当x>0时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减. 1 1 4 / 10 ∵函数y=f(x)是定义在R上的偶函数, ∴g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x), ∴g(x)在R上是奇函数, ∴g(x)在R上是减函数. ∵a=30.2f(30.2),b=(logπ2)f(logπ2),c=(log24)𝑓(log24),log24=-2,而-2 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知tan(𝑥+4)=-2,则sin 2x+2cos2x= . 答案:5 解析:∵tan(𝑥+4)=∴tan x=3, 则sin 2x+2cos2x=tan2𝑥+1=5. -2e𝑥,𝑥≤0, 14.已知函数f(x)={(其中e为自然对数的底数),则函数y=f(f(x))的零点 ln𝑥,𝑥>0是 . 答案:e 解析:令f(x)=t,则y=f(t). 由f(t)=0,可得t=1; 由f(x)=1,可得x=e. 故函数y=f(f(x))的零点是e. 15.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题 目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田,三边分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为 米. 答案:4 062.5 解析:由题意画出图象,如图所示,且AB=13里=6 500米, 2tan𝑥+2 4 π tan𝑥+11-tan𝑥 4 π 1 1 1 =-2, BC=14里=7 000米,AC=15里=7 500米, 在△ABC中,由余弦定理有cos B= 𝐴𝐵2+𝐵𝐶2-𝐴𝐶2 2𝐴𝐵·𝐵𝐶 = 132+142-1522×13×14 =13,B为锐角, 5 5 / 10 sin B=√1-cos2𝐵=13, 设△ABC外接圆半径为R, 则由正弦定理有sin𝐵=2R,R=2sin𝐵= 𝑏 𝑏 7 5002× 12=4 062.51312 米. ⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,则16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵·⃗𝐴𝐶𝐵𝐴·𝐵𝐶 c= . 答案:√2 解析:由内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,可知AB=c,AC=b,BC=a. ⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , 由⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵·⃗𝐴𝐶𝐵𝐴·𝐵𝐶得cbcos A=cacos B. 故由正弦定理,得sin Bcos A=cos Bsin A, 即sin(B-A)=0. 因为-π ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,得accos B=1. 由已知⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐴·𝐵𝐶故由余弦定理知ac·𝑎2+𝑐2-𝑏2 2𝑎𝑐 =1, 即a2+c2-b2=2,故c=√2. 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(10分)设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β). (1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若tan αtan β=16,求证:a∥b. 答案:(1)解因为a与b-2c垂直,所以a·(b-2c)=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin β=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,因此tan(α+β)=2. (2)解由b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β), 得|b+c|=√(sin𝛽+cos𝛽)2+(4cos𝛽-4sin𝛽)2=√17-15sin2𝛽≤4√2. 又当β=kπ-4(k∈Z)时,等号成立,所以|b+c|的最大值为4√2. (3)证明由tan αtan β=16, 得16cos αcos β=sin αsin β, 故a∥b. 18.(12分)某公司为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销,经调查,每年投入广告费t百万元,可增加销售额约为-t2+7t百万元. π 6 / 10 (1)若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此增加的收益最大? (2)现该公司准备共投入5百万元,分别用于广告促销和技术改造,经预测,每投入技术改造费x(1≤x≤5)百万元,可增加的销售额约为2x2+4ln x百万元,请设计一个资金分配方案,使该公司由此增加的收益最大. (注:收益=销售额-投入,这里除了广告费和技术改造费,不考虑其他的投入) 解:(1)设每年投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元, 则由f(t)=(-t2+7t)-t=-t2+6t=-(t-3)2+9(0≤t≤4). ∴当t=3时,f(t)取得最大值9,即投入3百万元的广告费时,该公司由此增加的收益最大. (2)用于技术改造的资金为x百万元,则用于广告促销的资金为(5-x)百万元, 设由此增加的收益是g(x)百万元. 则g(x)=2x2+4ln x+[-(5-x)2+7(5-x)]-5=-2x2+3x+4ln x+5. g'(x)=-x+3+𝑥=-4 𝑥2-3𝑥-4𝑥 1 1 1 =-(𝑥-4)(𝑥+1) 𝑥 ,1≤x≤5. 则当1≤x<4时,g'(x)>0;当4 π (1)求f(x)的解析式; (2)设g(x)=[𝑓(𝑥-12)],求函数g(x)在区间[-6,3]上的最大值,并确定此时x的值. 解:(1)由题图,知A=2,4=3, 则𝜔=4×3,即ω=2. 又f(-6)=2sin[2×(-6)+𝜑]=2sin(-4+𝜑)=0, ∴sin(𝜑-4)=0, ∵0<φ<2,-4<φ-4<4, 7 / 10 ππ π π ππ 3 π π 2π π 3 𝑇 π π 2 ππ ∴φ-4=0,即φ=4, ∴f(x)的解析式为f(x)=2sin(2𝑥+4). (2)由(1)可得f(𝑥-12)=2sin[2(𝑥-12)+4]=2sin(2𝑥+8), g(x)=[𝑓(𝑥-12)]=4×∵x∈[-6,3], ∴-4≤3x+4≤ π4 π π 5π4 ππ π 2 1-cos(3𝑥+)2 π4ππ 3π π3ππ3π =2-2cos(3𝑥+4), π , π4 ∴当3x+=π,即x=时,g(x)max=4. 20.(12分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x+2√3sin xcos x(x∈R). (1)求f(x)的最小正周期; (2)在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,若f(A)=2,c=5,cos B=7,求△ABC的中线AD的长. 解:(1)f(x)=-cos 2x+√3sin 2x=2sin(2𝑥-6), ∴T=2=π, ∴函数f(x)的最小正周期为π. (2)由(1)知f(x)=2sin(2𝑥-6), ∵在△ABC中f(A)=2, ∴sin(2𝐴-6)=1, ∴2A-6=2, ∴A=3, 又cos B=7, ∴sin B= 4√3, 7 √31 1 4√37 1ππ ππ π 2π π 1 ∴sin C=sin(A+B)=2×7+2× = 5√3, 14 8 / 10 在△ABC中,由正弦定理sin𝐶=sin𝐴,得5√3= 14𝑐𝑎5𝑎√3, 2∴a=7,∴BD=2, 在△ABD中,由余弦定理得 AD=AB+BD-2AB×BD×cos B=5+(2)-2×5×2×7=21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f'(3). (1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)设函数g(x)=(f(x)-x3)·ex,若当x∈[-3,2]时,函数g(x)单调递增,求实数c的取值范围. 解:(1)由f(x)=x3+ax2-x+c,得f'(x)=3x2+2ax-1. 当x=3时,得a=f'(3)=3×(3)+2a×3-1, 解得a=-1. (2)由(1)可知,f(x)=x3-x2-x+c, 则f'(x)=3x2-2x-1=3(𝑥+3)(x-1), 由f'(x)>0,得x<-3或x>1; 由f'(x)<0,得-3 有g'(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex=(-x2-3x+c-1)ex, 因为函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增, 所以h(x)=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3,2]上恒成立. 故只要h(x)在区间[-3,2]上的最小值h(2)≥0即可,解得c≥11,所以c的取值范围是[11,+∞). 22.(12分)(2020全国Ⅱ,理21)已知函数f(x)=sin2xsin 2x. (1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性; (2)证明:|f(x)|≤ 3√3; 8 3𝑛 1 1 1 1 1 2 2 22 2 2 2 2 2 2 7 72 711294 ,∴AD= √129. 2 (3)设n∈N*,证明:sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤4𝑛. 9 / 10 答案:(1)解f'(x)=cos x(sin xsin 2x)+sin x(sin xsin 2x)' =2sin xcos xsin 2x+2sin2xcos 2x =2sin xsin 3x. 当x∈(0,3)∪(3,π)时,f'(x)>0;当x∈(3, π 2π π 2π π2π 3 )时,f'(x)<0. π2π 3 所以f(x)在区间(0,3),(3,π)单调递增,在区间(3,(2)证明因为f(0)=f(π)=0, 由(1)知,f(x)在区间[0,π]的最大值为f(3)=而f(x)是周期为π的周期函数,故|f(x)|≤(3)证明由于(sinxsin2x…sin2x) 2 2 2n 32)单调递减. π 3√3,最小值为8 f(3)=- 2π 3√3. 8 3√3. 8 =|sin3xsin32x…sin32nx| =|sin x||sin2xsin32x…sin32n-1xsin 2nx||sin22nx| =|sin x||f(x)f(2x)…f(2n-1x)||sin22nx|≤|f(x)f(2x)…f(2n-1x)|, 所以sinxsin2x…sin2 2 2 2n 3√3x≤(8) 2𝑛3=4𝑛. 3𝑛 10 / 10 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容