二次函数基础知识

 概念及定义：

b，c是常数，a0）的函数，➢ 二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，c可叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，以为零．二次函数的定义域是全体实数． ➢ 二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a， 二次函数各种形式之间的变换：

➢ 二次函数yax2bxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中

2b4acb2h，k.

2a4a➢ 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①yax2；②yax2k；③yaxh；④yaxhk；⑤yax2bxc.

 二次函数解析式的表示方法：

➢ 一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；

22➢ 顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

➢ 两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. ➢ 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可

以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. ➢ 二次函数yax2的性质：

a0 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 0 0，性质 x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0． y轴 y轴 a0 向下 0 0，x0时，y随x的增大增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值0．  二次函数yax2c的性质

a0 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 c 0，c 0，性质性质 x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随y轴 x的增大而减小；x0时，y有最小值c． x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0 向下 2y轴 x的增大而增大；x0时，y有最大值c．  二次函数yaxh的性质：

a0开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 0 h，0 h，性质 xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的 a0X=h 增大而减小；xh时，y有最小值0． xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的 向下 X=h 增大而增大；xh时，y有最大值0．

 二次函数yaxhk的性质：

2a的符号 a0 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随h，k X=h x的增大而减小；xh时，y有最小值k． xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随a0 向下 h，k X=h x的增大而增大；xh时，y有最大值k．  抛物线yax2bxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

➢

a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；

b.特别地，y轴记作直线x0. 2aa相等，抛物线的开口大小、形状相同.

➢ 对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作xb4acb2（，）➢ 顶点坐标坐标：

2a4a➢ 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线

的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.  抛物线yax2bxc中，a,b,c与函数图像的关系 ➢ 二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．

⑴ 当a0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．

➢ 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a0的前提下，

b当b0时，0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；

2ab当b0时，0，即抛物线的对称轴就是y轴；

2ab当b0时，0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．

2a⑵ 在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即

b当b0时，0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；

2ab当b0时，0，即抛物线的对称轴就是y轴；

2ab当b0时，0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．

2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置． ➢ 常数项c

⑴ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a， 求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4acb2b4acb2（，）➢ 公式法：yaxbxcax，顶点是，2a4a2a4ab对称轴是直线x.

2a2➢ 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶

点为(h,k)，对称轴是直线xh.

22➢ 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线

的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点与用公式法或对称性得到的顶点是一致的.  用待定系数法求二次函数的解析式

➢ 一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. ➢ 顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

2➢ 交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2.  直线与抛物线的交点

➢

y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0, c).

(h,ahbhc).

2➢ 与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点➢ 抛物线与x轴的交点:二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标

x1、x2，是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情

况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切； ③没有交点0抛物线与x轴相离.

➢ 平行于x轴的直线与抛物线的交点

可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐

2➢ 一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yaxbxca0的图像G标为k，则横坐标是axbxck的两个实数根.

2ykxn的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解2yaxbxc时l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

2➢ 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yaxbxc与x轴两交点为

Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的两个根，故

bcx1x2,x1x2aaABx1x2x1x22x1x22b24acb4c4x1x2

aaaa2 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

➢ 关于x轴对称

yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk； ➢ 关于y轴对称

yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

22yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk； ➢ 关于原点对称

yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc； yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk；

➢ 关于顶点对称

2222b2 yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc；

2a22yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．

22n对称 ➢ 关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nk yaxhk关于点m，22➢ 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，

因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原

则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．