(新)高中数学必修4第一章知识点总结

高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角

2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

k360k36090,k k36090k360180,k第二象限角的集合为

k360180k360270,k

第三象限角的集合为

k360270k360360,k

第四象限角的集合为

k180,kx终边在轴上的角的集合为

k18090,k

终边在y轴上的角的集合为

k90,k

终边在坐标轴上的角的集合为

k360,k3、与角终边相同的角的集合为

第一象限角的集合为

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

5、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是

lr．

1801157.3180，6、弧度制与角度制的换算公式：2360，．

7、若扇形的圆心角为

为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则

112SlrrlrC2rl22，，．

8、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是

x,y，它与原点的距离是

yPTOMAxyxysincostanx0rrxy0r，r，x，则．

229、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，

看人生峰高处，唯有磨难多正果。

1 这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！

第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

10、三角函数线：sin，cos，tan． 11

、

角

三

角

函

数

2的基本关系：；

1sin2cos21sintan2cossin1cos2,cos21sin2sinsintancos,costan． 12、函数的诱导公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank． 2sinsin，coscos，tantan． 3sinsin，coscos，tantan． 4sinsin，coscos，tantan．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

5sincos2，

cossin2．

6sincos2，

cossin2．

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 13、①的图象上所有点向左（右）平移

个单位长度，得到函数

ysinx的图象；

1ysinx再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不

变），得到函数

ysinx的图象；再将函数

ysinx的图象上所有点的纵坐

的图象．

标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数

ysinx1②数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到

函数

ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，

得到函数

ysinx的图象；再将函数

ysinx的图象上所有点的纵坐标伸

看人生峰高处，唯有磨难多正果。 2

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！

长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数14、函数

ysinx的图象．

ysinx0,02的性质：

①振幅：；②周期：函数

；③频率：

，当

f12；④相位：x；⑤初相：．

ymin ；当

ysinx，则

xx1时，取得最小值为

xx2时，取得最大值

为

ymax11x2x1x1x2ymaxyminymaxymin222，，．

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 函 数 x 性 ysin质 ycosx ytanx 图象 定义R 域 值域 R xxk,k2 1,1 x2k当1,1 2R 时， k；当当x2kkymax1ymax1；当x2k 既无最大值也无最小值 最时，值 x2k2 k时，ymin1． k时，ymin1． 周2 期性 奇奇函数 偶性 2  偶函数 奇函数 看人生峰高处，唯有磨难多正果。 3

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！

2k,2k22 在单调性 k上是增函数；在 32k,2k22 在2k,2kk上2k,2k 是增函数；在k,k22 在k上是减函数． k上是增函数． k上是减函数． 对对称称性 xkkk,0k 对称中心轴 对称中心对称中心k,0k2 对称轴2k,0k2 无对称轴 xkk

看人生峰高处，唯有磨难多正果。

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第二章 平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．

17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：

ababab．

⑷运算性质：①交换律：abba；

abcabc②结合律：；③a00aa．

⑸坐标运算：设

C

．

ax1,y1，

bx2,y2，则

abx1x2,y1y218、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设

a



b

ax1,y1，

bx2,y2，

，则

abx1x2,y1y2

．

设、两点的坐标分别为19、向量数乘运算：

x1,y1x2,y2，则

x1x2,y1y2abCC

．

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a． ①

aa；

②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当

0时，a0．

⑵运算律：①

aaax,y；②

aaa；③abab．

．

⑶坐标运算：设，则

ax,yx,y20、向量共线定理：向量设

，

aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．

ax1,y1bx2,y2bb0xyx2y10，其中b0，则当且仅当12时，向量a、

5

看人生峰高处，唯有磨难多正果。

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！

共线．

21、平面向量基本定理：如果

e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面

内的任意向量a，有且只有一对实数

12eea1e12e2．、，使（不共线的向量1、2作

12、

为这一平面内所有向量的一组基底） 22、分点坐标公式：设点是线段

12上的一点，的坐标分别是

x1,y1，x2,y2，

x1x2y1y2,11时，就为中点公式。）．12当时，点的坐标是（当1

23、平面向量的数量积： ⑴

ababcosa0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0．

abab．

；

2⑵性质：设a和b都是非零向量，则①abab0．②当a与b同向时，当a与b反向时，

abab；

aaa2a或

aaa．③

abababcacbcababababba⑶运算律：①；②；③．

⑷坐标运算：设两个非零向量若

ax1,y1，或

，

bx2,y2，则

abx1x2y1y2．

，

ax,y，则

ax2y22ax2y2． 设

ax1,y1bx2,y2，则

abx1x2y1y20．

bx2,y2ax1,y1设a、b都是非零向量，，，

是a与b的夹角，则

cos

ababx1x2y1y222x12y12x2y2．

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第三章 三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴⑶

coscoscossinsinsinsincoscossintan；⑵；⑷

coscoscossinsinsinsincoscossin； ；

⑸

tantan1tantan  （tantantan1tantan）； tantan1tantan  （tantantan1tantan）．

tan⑹

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴

222sin22sincos．1sin2sincos2sincos(sincos)

⑵cos2cos2sin22cos2112sin2

2,1cos2sin2升幂公式

1cos2cos22

降幂公式

tan2 ⑶

cos2cos211cos2sin222，．

2tan1tan2．

万能公式:α2α2tan1tan22sinα ;cosα αα1tan21tan222:26、半角公式

α1cosαα1cosαcos;sin2222

α 1  cos sin 1  cos α ααtanα 2 1  cos 1  cos α sin α （后两个不用判断符号，更加好

用）

27、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的

yAsin(x)B形式。sincossin，其中

22tan．

28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，

灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

①2是的二倍；4是2的二倍；是2的二倍；2是4的二倍；

看人生峰高处，唯有磨难多正果。

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这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！

30o1545306045sincos2；问：12 ；12 ；②

ooooo③()；④42(4)；

2()()(⑤

4)(4)；等等

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余

弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 1sin2cos2tancotsin90otan45o

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式

1cos常用升幂化为有理式，常用升幂公式

有： ； ；

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

1tan1tan_____________________________1tan1tan 如：； ；

tantan____________；1tantan___________； tantan____________；1tantan___________；

2tan ；1tan2 ；

tan20otan40o3tan20otan40o ；

sincos = ；

asinbcos = ；（其中tan ；）

1cos ；1cos ；

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。

oosin50(13tan10) ； 如：

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这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！

tancot 。

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