2020年全国3卷-文科数学

文科数学试卷

试卷编辑:石廷有

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A{1,2,3,5,7,11},B{x|3x15},则AB中元素个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2.复数z(1i)1i,则z ( )

！

A. 1i B. 1i C. i D. i

3.设一组样本数据x1,x2,,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,,10xn的方差为( )

A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 10

模型是常用的数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)*K1e0.23(t53),其中K为最大确诊病例数.当I(t)0.95K*时,标志着已经初步遏制疫情,则t约为(ln193)( )

A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 5.已知sinsin(3)1,则sin(6) ( )

A.

3212 B. C. D.

32236.在平面内,A,B是两个定点,C为动点.若ACBC1,则点C的轨迹为( )

】

A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线

7.设O为坐标原点,直线x2与抛物线C:y2px(p0)交于D,E两点,若ODOE,则C的焦点坐标为( )

A. (,0) B. (,0) C. (1,0) D. (2,0) 8.点(0,1)到直线yk(x1)距离的最大值为( ) A. 1 B.

￥

214122 2 2 C. 3 D. 2

2 9.右图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是 ( )

A. 642 B. 442 C. 632 D. 432 10.设alog32,blog53,c2,则( ) 3

A. acb B. abc C. bca D. cab 11.在ABC中,cosCA.

2,AC4,BC3,则tanB( ) 35 B. 25 C. 45 D. 85

12.已知函数f(x)sinx1,则 sinxA. f(x)的最小值为2 B.f(x)的图象关于y轴对称

)

C. f(x)的图象关于直线x D.f(x)的图象关于直线x

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2轴对称

xy013.若x,y满足2xy0,则z3x2y的最大值为

x1x2y214.设双曲线C:221(a0,b0)的一条渐近线为y2x,则C的离心率为 abexe15.设函数f(x),若f'(1),则a

xa416.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为

·

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生必须作答。第22、23题为选做题，考生根据要求作答。 (一)必做题：共60分。 17.(12分)

设等比数列{an}满足a1a24,a3a18. (1)求{an}的通项公式;

(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和.若SmSm1Sm3,求m.

…

：

18.(12分)

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到公园锻炼的人数,整理数据得到下表(单位:天): % 锻炼人次 (200,400] (400,600] 空气质量等级 [0,200] 2 @1(优) 2(良) 3(轻度污染) 4(中度污染) 16 10 7 2 25 12 8 0 5 6 【 7 (1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;

(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)

(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面22列联表,并根据列联表,判断能否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天空气质量有关 # 人次400 人次400 # 空气质量好 空气质量不好 n(adbc)2附: K,

(ab)(cd)(ac)(bd)2P(K2k)

k

（

19. (12分)

如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DEED1,BF2FB1.证明: (1)当ABBC时,EFAC. (2) C1在平面AEF内;

;

C D E

A

B

F

【

20. (12分)

设函数f(x)xkxk.

(1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有三个零点,求k的取值范围. !

21. (12分)

3215x2y2,A,B分别为C的左、右顶点. 21(0m5)的离心率为已知椭圆C:425m(1)求C的方程;

(2)若点P在C上,点Q在直线x6上,且|BP||BQ|,BPBQ,求APQ的面积.

?

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按照所做的第一题计分。 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

2x2tt,(t为参数且t1),C与坐标轴交于A,B两点. 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为2y23tt(1)求|AB|;

(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.

23.[选修4-5:不等式选讲](10分)

设a,b,cR,abc0,abc1. (1)证明:abbcca0;

(2)用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,证明:max{a,b,c}34.