浙江省温州市2012届高三第一次适应性测试数学(理)试题word版

浙江省温州市

2012届高三第一次适应性测试

数学试题（理科）

本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟． 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共50分） 注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上． 参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 棱柱的体积公式

P(AB)P(A)P(B)

如果事件A、B相互独立，那么

VSh

其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高 棱锥的体积公式

P(AB)P(A)P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是 V1Sh 3P，那么n次独立重复试验中恰好发生k 其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高 次的概率 棱台的体积公式

1kPn(k)CnPk(1P)nk(k0,1,2,,n) Vh(S1S1S2S2)

3球的表面积公式 S4R2

球的体积公式

其中S1，S2分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高

4V球R3

3其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求． 1

．

已

知

i是虚数单位，则

11 1i1i 2

A．i ．设集合（ ）

B．i C．1 D．1

AIBA，则是成立A,BAB的

（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

rrrrrrrrrr3．已知i,j是互相垂直的单位向量,设a4i3j,b3i4j，则ab

A．25

C．5 （ ） B．24 D．0

4．如图给出的是计算

1111的值的一个 L2462012程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ） A．i1005 B．i1005 C．i1006 D．i1006

开 始 i=1, s=0 否 是 输出S 结 束 a5．已知数列an满足a15,anan12n，则7（ ）

a3

A．2 C．5

B． 4 D．

5 2s=s+1 2iy06．已知实数x,y满足yx10，若zyax

y2x40i=i+1

取得最大值时的最优解(x,y)有无数个，则a的值为

A．2

（ ） B．1

C．0 D．1

7．若圆x2y24x2mym60与y轴的两交点A,B位于原点的同侧，则实数m的取

值范围是 （ ） A．m6 B．m3或6m2 C．m2或6m1 D．m3或m1

8．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子

中的小球个数都不同，则共有（ ）种不同放法 A．15 B．18 C．19 D．21 9．一个直角三角形的周长为l，面积为S，给出：

①（6，2）； ②（25，5）； ③（10，6）； ④ 2,322．

其中可作为(l,S)取值的实数对的序号是 （ ） A．① ② B．① ③ C．③ ④ D．② ④ 10．如图，直线l平面，垂足为O，正四面体ABCD的棱

Al长为4，则当O到ADC在平面内，B是直线l上的动点，

的距离为最大时，正四面体在平面上的射影面积为

D（ ） B

A．422

B．222

OC

C．4 D．43

（第10题）

非选择题部分（共100分）

注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或

钢笔描黑． 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．已知展开式(x1)6a0a1xLa6x6，则a0a6的值为 ． 12．如图，若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图相同，且均为

面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为 ． 13．函数f(x)sinxsin(x3)的最小正周期为 ．

（第12题） x2y214．已知双曲线1b0的离心率为2，则它的一焦点到其中一条

4b2渐近线的距离为 ．

15．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时f(x)exa，若f(x)在R上是单调函数，则实数a的最小值是 ．

16．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣

5分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为该学生在面试时得分的期望值为 分．

17．若不等式1ax2bxc1的解集为(1,3)，则实数a的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）如图，在ABC中，ADBC，垂足为D，且

ABD:DC:AD2:3:6． （Ⅰ）求BAC的大小；

（Ⅱ）设E为AB的中点，已知ABC的面积为15，

E求CE的长．

BD

（第18题）

2，则3C19．（本题满分14分）设等差数列an的前n项和为Sn，

若a12t,S5S2243t(t0)． （Ⅰ）求数列an的通项公式；

（Ⅱ）设bnaqnn，若b1a1,b5a5，试比较a3与b3的大小．

20．（本题满分14分）如图，在三棱锥ABCD中，

A ABCBCDCDA90，AC63,BCCD6，

设顶点A在底面BCD上的射影为E． （Ⅰ）求证:CEBD；

（Ⅱ）设点G在棱AC上，且CG2GA， 试求二面角CEGD的余弦值．

G E

D

（第20题） B C

21．（本题满分15分）如图，在矩形ABCD中，AB8,BC4,E,F,G,H分别为四边的中

uuuruuuruuuruuur点，且都在坐标轴上，设OPOF,CQCF(0)． y（Ⅰ）求直线EP与GQ的交点M的轨迹 的方程；

（Ⅱ）过圆xyr(0r2)上一点N 作圆的切线与轨迹交于S,T两点， uuruuur若NSNTr20，试求出r的值．

22．（本题满分15分）已知函数f(x)2x2alnx （Ⅰ）若a4，求函数f(x)的极小值；

（Ⅱ）设函数g(x)cos2x，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量xi(i1,2,3)使得f(xi)g(xi)的值相等，若存在，请求出a的范围，若不存在，请说明理由？

222DHAGMoE（第21题） CQFBxP参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题５分，共5０分） 题号 答案 １ A ２ C ３ D ４ C ５ B ６ B ７ B ８ B ９ D 10 A 二、填空题（本大题共7小题，每小题４分，共28分）

11．2 12． 13． 14．23 15．1 16．15 17．三、解答题（本大题共5小题，共72分） 18．（本小题满分１4分）

4311a 2211,tanCAD, ……………………………………2分 3211321, …………………5分 则tanBACtan(BADCAD)11132解：（I）由已知得tanBAD又BAC(0,),故BAC4．．…………………7分

A（II）设BD2t(t0),则DC3t,AD6t, 由已知得15t15,则t1,

故BD2,DC3,AD6, …………………………………10分

2EAB10,AC35， …………………12分 2由余弦定理得CE5． ……………………………………14分

则AE19．（本小题满分14分）

BDC解：（I）方法一：设等差数列an的公差为d，则S5S23a19d243t．………2分

又a12t，则d2， …………………………………4分 故an2nt．…………………………………………………6分

方法二：S5S2a3a4a53a4243t，则a48t得d2． （II）方法一：由已知可得aq1t0,aq5t， ……………………………………8分 相加得3t551(aqaq5)， …………………………………………………10分 2442又aqaqaq(q1)4，则q1，得q1 ……………13分

则a3b33taq3aq2(q1)20，故a3b3． ………………14分 2n方法二：设cnnt，dnaq，则cn为等差数列，dn为等比数列，

由题意得c1d10,c5d50，且d1d5 则c3c1c5d1d5d1d5d3，故a3b3． 2220．（本小题满分１4分）

证明：（I）方法一：由AE平面BCD得AECD， 又ADCD，则CD平面AED，

故CDDE，…………………………………………3分

同理可得CBBE，则BCDE为矩形，又BCCD， 则BCDE为正方形，故CEBD．…………………6分

方法二：由已知可得ABBDAD62，设O为BD的中点，则

AOBD,COBD，则BD平面AOC，故平面BCD平面AOC，则顶点A在

底面BCD上的射影E必在OC，故CEBD．

（II）方法一:由（I）的证明过程知OD平面AEC，过O作OFEG，垂足为F，则易证得DFEG，故O……………………………9FD即为二面角CEGD的平面角，分

由已知可得AE6，则AEAGAC，故EGAC，则OF2CG23， 2故

又OD32，则DF30，………………………………………………………………

cosOFD1010，即二面角CEGD的余弦值为．………………………14分 55方法二: 由（I）的证明过程知BCDE为正方形，如图建立坐 标系，则E(0,0,0),D(0,6,0),A(0,0,6),B(6,0,0),C(6,6,0)，

uuuruuur可得G(2,2,4)，则ED(0,6,0),EG(2,2,4)，易知平面CEG

uuur的一个法向量为BD(6,6,0)，设平面DEG的一个法向量为

ruuurrnED0r得n(2,0,1)， n(x,y,1)，则由ruuurnEG0uuurruuurr10BDn10则cosBD,nuuu，即二面角CEGD的余弦值为． rr55BDn

21．（本小题满分１5分）

解：（I）设M(x,y)，由已知得P(4,0),Q(4,22)， 则直线EP的方程为y分

xx2，直线GQ的方程为y2， ………………………422x2y21(x0)．……………………………6分 消去即得M的轨迹的方程为

164（II）方法一：由已知得NSNTON，又ONST，则OSOT，……………8分 设

直

线

2S:Ty(k代x入mx2y21m164y得

(14k2)x28kmx4m2160，

设S(x1,y1),T(x2,y2)，

DGSo8km4m216,x1x2则x1x2．…10分 2214k14k由OSOT得x1x2y1y20，

22即km(x1x2)(1k)x1x2m0，

NTCFxHAEB则5m16(1k)， ……………………12分 又O到直线ST的距离为r22m1k2，故r45(0,2)． 5经检验当直线ST的斜率不存在时也满足． …………………………………15分

2222方法二：设N(x0,y0)，则x0y0r，且可得直线ST的方程为x0xy0yr

x2y21得(y024x02)x28r2x0x4r416y020， 代入

164x022由NSNTON得(12)(x2x0)(x0x1)r2，即x0(x1x2)x1x2r，

y02458r2x024r416y022r(0,2)． 则，故r5y024x0222．（本小题满分１5分）

44(x21)解：（I）由已知得f(x)4x， …………………………………………2分

xx'则当0x1时f(x)0，可得函数f(x)在(0,1)上是减函数，

当x1时f(x)0，可得函数f(x)在(1,)上是增函数， …………………………5分 故函数f(x)的极小值为f(1)2．．……………………………………………6分

（II）若存在，设f(xi)g(xi)m(i1,2,3)，则对于某一实数m方程f(x)g(x)m在(0,)上有三个不等的实根， …………………………………………………………………8分 设F(x)f(x)g(x)m2xalnxcos2xm， 则F(x)4x方法一：

'2''a2sin2x(x0)有两个不同的零点． ………………………10分 xa42x2xsinx2有x(两个0不)同的解，设

G(x)4x22xsin2x(x0)，

则G(x)8x2sin2x4xcos2x2(2xsin2x)4x(1cos2x)，

设h(x)2xsin2x，则h(x)22cos2x0，故h(x)在(0,)上单调递增， 则当x0时h(x)h(0)0，即2xsin2x，…………………………………12分 又1cos2x0，则G(x)0故G(x)在(0,)上是增函数， ……………………14分 则a4x2xsin2x(x0)至多只有一个解，故不存在．………………………15分 方法二：关于方程04x2sin2x2'''a(x0)的解， x当a0时，由方法一知2xsin2x，则此方程无解,当a0时，可以证明

aH(x)4x2sin2x(x0)是增函数，则此方程至多只有一个解，故不存在．

x