高次不等式的解法完整版

高次不等式的解法

标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]

高次不等式的解法---穿根法

一．方法:先因式分解,再使用穿根法.

注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.

使用方法:

①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.

②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).

③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.

例1:解不等式

(x+4)(x+5)2(2-x)3<0

(1)

(2)

x2-4x+1

≤1

3x2-7x+2

解:

原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0

(1)

根据穿根法如图

不等式解集为{x∣x>2或x<-4且x≠5}. -5 (2x-1)(x-1)

≥0

(3x-1)(x-2)

-4 2 (2) 变形为

根据穿根法如图

不等式解集为

3 1 2 11 2 1 1 {xx<或≤x≤1或x>2}.

3 2

【例2】 解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．

【分析】 如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．

解：(1)原不等式可化为

x(2x+5)(x-3)＞0

顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．

(2)原不等式等价于 (x+4)(x+5)2(x-2)3＞0

∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．

【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中的系数必为正；②对于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x．．．．．．．．．．．偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．数轴标根法”又称“数轴穿根法”

第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为

正数）

例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0

第二步：将不等号换成等号解出所有根。

例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1

第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。

例如：-1 1 2

第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。

第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。

例如：

若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。

在数轴上标根得：-1 1 2

画穿根线：由右上方开始穿根。

因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-12。

【典型例题】

例1、解不等式 (1)2x3-x2-15x＞0； (2)(x+4)(x+5)2(2-x)4＜0．

例2、解下列不等式：

⑴ (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0； ⑵ (x+2)(x2+x+1)>0； ⑶ (x+2)2(x+1)<0； （4）(x+2)2(x+1)0； （5） (x2-1)(x2-5x-6)> 0

例3、解下列不等式：

⑴(x2-1)(x-1)(x2-x-2)<0； ⑵(x+1)2(x-2)2(x-1)0； ⑶(x-1)2(x2-x-2)0；

x23x2例4、解不等式：20

x7x12x29x11例5、解不等式：27

x2x1x25x60 例6、解不等式：2x3x2例7、解不等式：

2x12x1 x33x223x3（不能十字相乘分解因式；无法分解因式） 2xx1例8、解不等式：

例9、解下列不等式。

1182x>7+； ⑵1； x10x10x3x2⑴x+2+

(x1)(x1)2(x2)3 ⑷(x3)4(x4)5(x5)60。 【巩固练习】

1、解下列不等式：

⑴(x+1)2(x-1)(x-4)>0； ⑵(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0 ； ⑶(x+2)(x+1)2(x-1)3(3-x))0 ⑷(x2-1)(x-1)(x2-x-2)0；

⑸x+14x1 ⑻(x1)2(x2)(x3)(x4)0； 2：解不等式：

1、

x32x0 2x23、3x2x22x30 4

、2x1x31 、x22x1x20

x1x2x6xx35、 6、00 229xx33