2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷254247

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）

理科数学

注意事项：

1。答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区

域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚

3。请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效

4。作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5。保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.

3i（ ) 1iA．12i B．12i C．2i D．2i

2。 设集合A1,2,4,Bxx4xm0．若A2B{1}，则B( ）

A．1,3 B．1,0 C．1,3 D．1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增，共

灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ )

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一

平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ )

A． 90 B．63 C．42 D．36

2x3y305. 设x，y满足约束条件2x3y30,则z2xy的最小值是（ )

y30A．15 B．9 C．1 D．9 6。 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安

排方式共有（ ）

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 7。 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2

位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）

A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 8。 执行右面的程序框图，如果输入的a1，则输出的S（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

x2y29。 若双曲线C:221（a0，b0）的一条渐近线被圆

abx22y24所截得的弦长为2,则C的离心率为( ）

A．2 B．3

C．2 D．23 310. 已知直三棱柱ABCA1B1C1中，C120，2，CCC11，则异面直

线1与C1所成角的余弦值为( ）

A．331510 B． C． D． 23552x1`11. 若x2是函数f(x)(xax1)e的极值点,则f(x)的极小值为（ )

A。1 B。2e3 C.5e3 D。1 12. 已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点,则PA(PBPC)的最

小值是（ ）

A。2 B.34 C.  D。1 23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13。 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则D ． 14。 函数fxsin2x3cosx3（x0,）的最大值是 ． 4215. 等差数列an的前项和为Sn,a33，S410,则

21 ． k1Skn16. 已知F是抛物线C：y8x的焦点，若是C上一点，F的延长线交y轴于点．

为F的中点，则FN ．

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (一）必考题：共60分。 17.（12分）

ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知sin(AC)8sin2(1）求cosB；

（2）若ac6,ABC的面积为2，求b．

B， 218.（12分）

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下：

（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,

新养殖法的箱产量不低于50kg\估计A的概率；

（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:

旧养殖法 新养殖法

（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)

P（） 0。050 3。841 0.010 6.635 0.001 10。828

箱产量＜50kg 箱产量≥50kg k 2n(adbc)2K

(ab)(cd)(ac)(bd)

19.(12分）

如图,四棱锥PABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，

ABBC1AD,BADABC90o, E是PD的中点. 2（1)证明：直线CE// 平面PAB

（2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45o ，求二面角

MABD的余弦值

20. (12分）

x2y21上，过M做x轴的垂线，垂足设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2为N，点P满足NP2NM。

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线x3上，且OPPQ1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过

C的左焦点F.

21。（12分)

已知函数fxaxaxxlnx,且fx0。

2（1）求a；

（2）证明：fx存在唯一的极大值点x0，且e2fx022.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分.

22.［选修4—4:坐标系与参数方程］(10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos4．

（1）M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上，且满足|OM||OP|16，求点P的

轨迹C2的直角坐标方程;

(2）设点A的极坐标为(2,3)，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值．

23。［选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知a0,b0,ab2,证明: （1）(ab)(ab)4; (2)ab2．

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2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2

理科数学参考答案

一、选择题:

1. D

2。 C 3。 B 4。 B 5。 A 6。 D

10. C 11。 A 12. B

7。 D 8。 B 9. A 二、填空题:

13。 1。96 三、解答题： 17。(12分)解：

14。 1 15.

2n n116。 6

（1）由题设及ABC得sinB8sin2 sinB（41cosB）B，故 2上式两边平方，整理得 17cos2B32cosB150 解得 cosB=1（舍去），cosB=（2）由cosB=15 1715814得sinB，故SABCacsinBac 171721717又SABC=2，则ac

2由余弦定理及ac6得

b2a2c22accosB(ac)22ac(1cosB)

362所以b2 18。（12分） 解：

1715(1)4 217（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”， C表示事件“新养殖法的箱产量

不低于50kg”.

由题意知P(A)P(BC)P(B)P(C) 旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62，

故P(B)的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为

(0.0680.0460.0100.008)50.66，

故P(C)的估计值为0.66

因此,事件A的概率估计值为0.620.660.4092 （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

旧养殖法 新养殖法 2箱产量50kg 箱产量50kg 62 34 38 66 200(62663438)2K15.705

10010096104由于15.7056.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。 (3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为

(0.0040.0200.044)50.340.5，

箱产量低于55kg的直方图面积为

(0.0040.0200.0440.068)50.680.5，

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

5019。（12分) 解:

0.50.3452.35(kg)

0.068(1）取PA的中点F，连接EF,BF，

因为E是PD的中点, 所以EF//AD，EF1AD 2由BADABC90 得BC//AD， 又BC1AD, 2所以EF//BC，

四边形BCEF是平行四边形，CE//BF，

又BF平面PAB，CE平面PAB， 故CE//平面PAB

(2）由已知得BAAD，以A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建

立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则

A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3)， PC(1,0,3),AB(1,0,0)

设M(x,y,z)(0x1),则

BM(x1,y,z),PM(x,y1,z3)

因为BM与底面ABCD所成的角为45，而

n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，

所以|cosBM,n|sin45,|z|(x1)2y2z2

2， 2①

即(x1)yz0

222又M在棱PC上，设PMPC，则

x,y1,z33

②

22x1,x1,22由①,②解得y1,（舍去），y1,

6zz622所以M(12626,1,)，从而AM(1,1,) 2222设m(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量，则

mAM0,(22)x02y06z0)0, 即 x00,mAB0,所以可取m(0,6,2),

于是cosm,nmn10 |m||n|510 5因此二面角MABD的余弦值为20。 (12分） 解：

（1）设P(x,y)，M(x0,y0),

则N(x0,0),NP(xx0,y),NM(0,y0) 由NP2NM得

x0x,y02y 2x2y21 因为M(x0,y0)在C上,所以22因此点P的轨迹方程为xy2 (2）由题意知F(1,0)

设Q(3,t),P(m,n)，则

22OQ(3,t),PF(1m,n),OQPF33mtn， OP(m,n),PQ(3m,tn)

22由OQPQ1得3mmtnn1

又由（1)知mn2，故

2233mtn0

所以OQPF0，即OQPF。 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，

所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。 21.（12分） 解：

(1）f(x)的定义域为(0,)

设g(x)axalnx,则f(x)xg(x),f(x)0等价于g(x)0 因为g(1)0,g(x)0, 故g(1)0， 而g(x)a得a1

若a1，则g(x)11,g(1)a1， x1 x当0x1时，g(x)0,g(x)单调递减； 当x1时，g(x)0,g(x)单调递增

所以x1是g(x)的极小值点,故g(x)g(1)0 综上,a1

2（2)由（1）知f(x)xxxlnx,f(x)2x2lnx

设h(x)2x2lnx,则h(x)21 x当x(0,)时，h(x)0;当x(,)时,h(x)0。

121211221112又h(e)0,h()0,h(1)0,所以h(x)在(0,)有唯一零点x0，在[,)有唯

222所以h(x)在(0,)单调递减，在(,)单调递增。

一零点1，且当x(0,x0)时，h(x)0；当x(x0,1)时，h(x)0；当x(1,)时，h(x)0。

因为f(x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一极大值点. 由f(x0)0得lnx02(x01)，故f(x0)x0(1x0). 由x0(0,1)得f(x0)1。 411因为xx0是f(x)在(0,1)的最大值点,由e(0,1),f(e)0得

f(x0)f(e1)e2.

所以e2f(x0)22

（二)选考题： 22.解：

(1）设P的极坐标为(,)(0)，M的极坐标为(1,)(10).

由题设知|OP|,|OM|14 cos由|OM||OP|16得C2的极坐标方程4cos(0) 因此C2的直角坐标方程为(x2)y4(x0) （2）设点B的极坐标为(B,)(B0)。

由题设知|OA|2,B4cosa， 于是OAB面积

22S1|OA|BsinAOB 24cosa|sin(a)|

332|sin(2a)|

3223. 当a12时，S取得最大值23

所以OAB面积的最大值为23 23。解：

（1）(ab)(ab)aababb

556556(a3b3)22a3b3ab(a4b4) 4ab(a2b2)2

4

（2）因为(ab)a3ab3abb

3322323ab(ab)

3(ab)22(ab)

43(ab)32

4所以(ab)8，因此ab2.

3