高中数学培优试卷（一）
一．选择题（共21小题） 1．（2012•福建）设函数
A．D（x）的值域为{0，1} B． D（x）是偶函数 2．（2010•宁夏）已知函数
则下列结论错误的是（ ）
C． D（x）不是周期函数 D． D（x）不是单调函数 若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的
取值范围是（ ） A．（1，10） B． （5，6） C． （10，12） D． （20，24） 3．（2006•辽宁）已知函数f（x）=sinx+cosx﹣|sinx﹣cosx|，则f（x）的值域是（ ） A．[﹣2，2] B． C． D． 4．设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=lnx﹣x，则有（ ） A．B． C． D． 5．（2011•江西）若
，则f（x）的定义域为（ ）
A． B． C． D． （0，+∞） 6．（2011•江西）若，则f（x）的定义域为（ ）
A． B． C． D． 7．（2010•广东）函数f（x）=lg（x+1）的定义域为（ ） A．（﹣∞，+∞） B． （﹣∞，﹣1] C． （﹣1，+∞） 8．函数 A． 9．若实数X满足log3x=sinθ+cosθ，其中θ∈[﹣ A．[，2] 10．函数
D． [﹣1，+∞） 的值域为（ ）
B． （﹣∞，0] C． D． （﹣2，0] ，0]，则函数f（x）=|2x﹣1|+x的值域为（ ）
C． [，2] D． [，8] B． [，8] 的值域是（ ）
A．{﹣2，4} B． {﹣2，0，4} C． {﹣2，0，2，4} D． {﹣4，﹣2，0，4} 11．函数f（x）的定义域为M，若存在闭区间[a，b]⊆M，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
2x
①f（x）=x（x≥0）； ②f（x）=e﹣1（x∈R）； ③
①②③④ A． 12．函数 A．（﹣∞，2] 2
； ④①③ B． ①③④ C． ．
①②④ D． 的单调递减区间为（ ） B． [﹣1，2] C． [2，+∞） D． [2，5] 13．函数y=﹣x的单调递增区间为（ ） A．（﹣∞，0] B． [0，+∞） 14．函数 A． 15．已知函数f（x）= A．（﹣∞，） 的单调递减区间是（ ）
B． C． C． （0，+∞） D． （﹣∞，+∞） D． 和 （0＜a＜1），则f（x）的单调递增区间为（ ） B． （） C． （] D． [） 16．（2012•威远县）函数y=f（x）是由方程x|x|+y|y|=1确定的函数，则函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）上是（ ） A．减函数 B． 增函数 C． 奇函数 D． 偶函数 17．（2010•广东）若函数f（x）=3+3 A．f（x）与g（x）均为偶函数 f（x）与g（x）均为奇函数 C． x
﹣x
与g（x）=3﹣3x﹣x
的定义域均为R，则（ ） B． f（x）为奇函数，g（x）为偶函数 D． f（x）为偶函数，g（x）为奇函数 18．（2008•重庆）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说
法一定正确的是（ ） A．f（x）为奇函数 B． f（x）为偶函数 C． f（x）+1为奇函数 D． f（x）+1为偶函数 19．下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ） 2|x| y=2x A．B． C． D．y =x3 y=x﹣x y=2 20．下列函数是偶函数的是（ ） ﹣2﹣3 A．B． C． D．y =x1 y=x y=x 21．设函数y=f（x）的图象关于原点对称，则下列等式中一定成立的是（ ） A．f（x）﹣f（﹣x）=0 B． f（x）+f（﹣x）=0 C． f（x）+f（|x|）=0 二．填空题（共9小题）
D． f（x）﹣f（|x|）=0
22．（2012•湛江）函数 23．函数
24．函数f（x）=cos2x+sin（
25．若（x0，y0）是函数f（x）=sinx图象的对称中心，则函数g（x）=f（x+x0）+y0的奇偶性为 _________ ．
26．下列命题中，错误命题的序号有 _________ ．
2
（1）“a=﹣1”是“函数f（x）=x+|x+a+1|（ x∈R） 为偶函数”的必要条件； （2）“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直平面α”的充分条件； （3）已知a，b，c为非零向量，则“a•b=a•c”是“b=c”的充要条件；
22
（4）若p：∃x∈R，x+2x+2≤0，则￢p：∀x∈R，x+2x+2＞0．
27．判断函数的奇偶性
_________ ； ： _________ ；
+x）是 _________ （填奇偶性）． 的奇偶性是 _________ ． 单调减区间是 _________ ．
： _________ ；
： _________ ．
28．已知函数f（x）=|x﹣2ax+b|（x∈R），给出下列四个命题：
①f（x）必是偶函数；
②当f（0）=f（2）时，f（x）的图象必关于x=1对称；
2
③若a﹣b≤0，则f（x）在区间[a，+∞]上是增函数；
2
④f（x）有最大值|a﹣b|．
其中所有真命题的序号是 _________ ．
29．给出下列四个结论：
①函数y=a（a＞0且a≠1）与函数y=logaa（a＞0且a≠1）的定义域相同； ②函数
是奇函数；
x
x
2
③函数y=sin（﹣2x）在区间上是减函数；
④函数y=cos|x|是周期函数；
22
⑤对于命题p：∃x∈R，使得x+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x+x+1≥0．（其中“∃”表示“存在”，“∀”表示“任意”）． 其中错误结论的序号是 _________ ．（填写你认为错误的所有结论序号）
30．（2010•重庆）已知函数f（x）满足：= _________ ．
，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f（2010）
高中数学培优试卷（一）
参考答案
一．选择题（共21小题） 1．（2012•福建）设函数
则下列结论错误的是（ ）
A．D（x）的值域为{0，1} B． D（x）是偶函数 C． D（x）不是周期函数 D． D（x）不是单调函数 考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法。 专题： 证明题。 分析： 由函数值域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知D结论正确；由偶函数定义可证明B结论正确；由函数周期性定义可判断D结论错误，故选D 解答： 解：A显然正确； ∵=D（x），∴D（x）是偶函数，B正确； ∵D（x+1）==D（x），∴T=1为其一个周期，故C错误； ∵D（）=0，D（2）=1，D（）=0，显然函数D（x）不是单调函数，D正确； 故选 C 点评： 本题主要考查了函数的定义，偶函数的定义和判断方法，函数周期性的定义和判断方法，函数单调性的意义，属基础题 2．（2010•宁夏）已知函数
若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的
取值范围是（ ） A．（1，10） B． （5，6） C． （10，12） D． （20，24） 考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图像与性质。 专题： 作图题；数形结合。 分析： 画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可． 解答： 解：作出函数f（x）的图象如图， 不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）． 故选C．
点评： 本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力． 3．（2006•辽宁）已知函数f（x）=sinx+cosx﹣|sinx﹣cosx|，则f（x）的值域是（ ） A．[﹣2，2] B． C． D． 考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域。 专题： 计算题。 分析： 去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之． 解答： 解：由题=， 当 x∈[当 x∈[﹣，，]时，f（x）∈[﹣2，]时，f（x）∈[﹣2，] ] 故可求得其值域为 故选择C． 点评： 本小题考点是在角函数求值域，表达式中含有绝对值，故应先去绝对值号，变为分段函数，再分段求值域． 4．设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=lnx﹣x，则有（ ） A．B． C． D． 考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值。 分析： 当x≥1时，f（x）=lnx﹣x，易判断f（x）为单调递减的， 又它的图象关于直线x=1对称，离x=1距离近的函数值大，转化为判断与1的距离问题． 解答： 解：当x＞1时，，故函数f（x）在（1，+∞）单调递减， ， ， ， 故即， ． 或者根据图象的对称性，离x=1距离近的函数值大解决． 故选A
点评： 本题考查函数的性质、比较大小等知识，考查利用知识解决问题的能力． 5．（2011•江西）若
，则f（x）的定义域为（ ）
A． B． C． D． （0，+∞） 考点： 函数的定义域及其求法。 专题： 计算题。 分析： 求函数的定义域即求让函数解析式有意义的自变量x的取值范围，由此可以构造一个关于x的不等式，解不等式即可求出函数的解析式． 解答： 解：要使函数的解析式有意义 自变量x须满足： 即0＜2x+1＜1 解得 故选A 点评： 本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中根据让函数解析式有意义的原则构造关于x的不等式，是解答本题的关键． 6．（2011•江西）若
，则f（x）的定义域为（ ）
A． B． C． D． 考点： 函数的定义域及其求法；对数函数的定义域。 专题： 计算题。 分析： 根据分式函数的分母不能为0，再由对数函数的真数要大于零使得对数函数有意义，可得比等式组，最后两个不等式的解集取交集可得答案． 解答： 解：根据题意有： 解得：﹣＜x≠0， 所以其定义域为： 故选C． 点评： 本题主要考查给出解析式的函数的定义域的求法，常见的有分母不能为零，负数不能开偶次方根，零次幂及真数要大于零等． 7．（2010•广东）函数f（x）=lg（x+1）的定义域为（ ） A．（﹣∞，+∞） B． （﹣∞，﹣1] C． （﹣1，+∞） D． [﹣1，+∞） 考点： 函数的定义域及其求法。
专题： 计算题。 分析： 根据对数函数的性质可知，真数大于0，建立关系式，解之即可． 解答： 解：f（x）=lg（x+1） x+1＞0解得，x＞﹣1 ∴函数f（x）=lg（x+1）的定义域为（﹣1，+∞） 故选C 点评： 本题主要考查了对数函数的定义域，对数函数定义域的求解一般确保真数恒大于0，属于基础题． 8．函数 A．的值域为（ ）
B． （﹣∞，0] C． D． （﹣2，0] 考点： 函数的值域。 专题： 数形结合。 分析： 本题考查的是分段函数、分段函数图象及函数求值域的问题．在解答时，可以先根据自变量的范围将绝对值函数转化为分段函数；再根据自变量的范围画出对应解析式在直角坐标系下的图象即可；最终利用函数的图象即可读出函数的值域． 解答： 解：画出函数的图象． 如图所示： 观察图象可得：函数故选D． 的值域为：（﹣2，0]． 点评： 此题考查的是指数函数、分段函数、分段函数图象及函数求值域的问题．解答过程当中，分段函数画图知识、函数的奇偶性、函数的值域求解以及问题转化的思想都得到了充分的体现．值得同学们体会反思． 9．若实数X满足log3x=sinθ+cosθ，其中θ∈[﹣ A．[，2] 考点： 函数的值域。 ，0]，则函数f（x）=|2x﹣1|+x的值域为（ ）
C． [，2] D． [，8] B． [，8]
专题： 函数的性质及应用。 分析： 由X满足log3x=sinθ+cosθ，所以x=3sinθ+cosθ=，又θ∈[﹣，0]，所以，所以，又f（x）的表达式可化为f（x）=据此可求出函数f（x）=|2x﹣1|+x的值域． 解答： 解：∵log3x=sinθ+cosθ，∴x=3又∵θ∈[﹣∴∴． ，0]，∴，即﹣1≤sinθ+cosθ=， ， ， 因此f（x）的表达式可化为 f（x）= ①②，＜﹣x+1≤，即，，即； ． 因此，函数f（x）=|2x﹣1|+x的值域是[，8]． 故选D． 点评： 此题考查了对数式化为指数式、指数函数的单调性、三角函数式的化简、三角函数的单调性及值域、含有绝对值类型的函数的值域．熟练掌握上述有关知识及方法是解决此问题的关键．此题还用到了分类讨论的方法去掉绝对值． 10．函数 A．{﹣2，4} B． {﹣2，0，4} 的值域是（ ）
C． {﹣2，0，2，4} D． {﹣4，﹣2，0，4} 考点： 函数的值域；三角函数的化简求值。 专题： 计算题；分类讨论。 分析： 根据正切和余切的定义求出函数的定义域，分四种情况由三角函数值的符号，去掉绝对值求解． 解答： 解：由题意知，函数的定义域是{x|x≠，k∈Z}，下由各个象限中三角函数值的符号来确定在各个象限中函数的值 当x是第一象限角时，因所有三角函数值大于零，故y=4； 当x是第二象限角时，因为只有正弦值大于零，故y=1﹣1﹣1﹣1=﹣2； 当x是第三象限角时，因为正切值和余切值大于零，故y=﹣1﹣1+1+1=0； 当x是第四象限角时，因为只有余弦值大于零，故y=﹣2； 所以函数的值域是{﹣2，0，4}． 故选B．
点评： 本题主要考查了三角函数的定义以及符号，根据定义求出函数的定义域，由三角函数值的符号进行化简求值． 11．函数f（x）的定义域为M，若存在闭区间[a，b]⊆M，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
2x
①f（x）=x（x≥0）； ②f（x）=e﹣1（x∈R）； ③
； ④
．
①②③④ ①③ ①③④ ①②④ A．B． C． D． 考函数的单调性及单调区间；指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质。 点： 专新定义；函数的性质及应用。 题： 分由新概念“倍值区间”的定义可以看出：若区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”，除了a，b满足定义中的①②两析： 个条件外，a，b必是方程f（x）=2x的两个不同解． 222①易知：函数f（x）=x在x≥0时单调递增，令x=2x，解得x=0或2，经验证区间[0，2]是函数f（x）=x的倍值区间； xx②易知函数单调递增，令e﹣1=2x，再令g（x）=e﹣2x﹣1，求导得g（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）22递增，故在x=ln2时g（x）取得最小值g（ln2）=2﹣1﹣2ln2=1﹣ln4＜0，又g（2）=e﹣5＞0，g（1）=e﹣3xb＜0，所以e﹣1=2x有两解0与b，其中b满足1＜b＜2且e﹣2b﹣=0，满足题意； ③由④，则在a＞1时，区间=0或1，并且函数在[0，1]上单调递增，满足题意； 满足题意． 22解解：①由二次函数的单调性知道：函数f（x）=x在x≥0时单调递增，令x=2x，解得x=0或2，f（x）在区间答： [0，2]上的值域为[0，4]． 2由此可知：区间[0，2]是函数f（x）=x的倍值区间． xx②由于函数y=e在R上单调递增，所以f（x）=e﹣1在R上单调递增． xx′xx令e﹣1=2x，再令g（x）=e﹣2x﹣1，求导得g（x）=e﹣2，令e﹣2=0，解得x=ln2． 经判断得到：g（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故在x=ln2时，g（x）取得最小值g（ln2）=2﹣1﹣2ln2=1﹣ln4＜0， 2xb又g（2）=e﹣5＞0，g（1）=e﹣3＜0，所以e﹣1=2x有两解0与b，其中b满足1＜b＜2且e﹣2b﹣1=0． x可知：f（0）=0，f（b）=2b，满足题意，所以区间[0，b]是函数f（x）=e﹣1的倍值区间． ③由解得x=0或1；又当0≤x≤1时，≤0，所以函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，所以区间[0，1]是函数f（x）的倍值区间． ④要使函数f（x）有意义，则满足． 由于函数y=logax在x＞0时单调递增，所以当a＞1时，函数f（x）在区间所以区间
，取a＞1，令，则，解得上单调递增，是函数f（x）的倍值区间．
综上可知①②③④皆正确． 故选A． 点考查新定义，以及二次函数、指数函数、对数函数、分式函数等的单调性与值域问题．另外还考查了函数的零评： 点的判断及数形结合的思想方法． 12．函数 A．（﹣∞，2] 的单调递减区间为（ ） B． [﹣1，2] C． [2，+∞） D． [2，5] 考点： 函数的单调性及单调区间。 专题： 计算题。 分析： 根据偶次被开方数不小于0，我们可以求出函数的定义域，进而根据幂函数的单调性，二的单调递减区间． 次函数的单调性，及复合函数单调性“同增异减”的原则，即可求出函数解答： 解：∵函数的定义域为[﹣1，5] 函数y=为增函数 2函数u=﹣x+4x+5在[2，5]上为减函数 故函数的单调递减区间为[2，5] 故选D 点评： 本题考查的知识点是函数的单调性及单调区间，幂函数的单调性，二次函数的单调性，及复合函数单调性，其中复合函数单调性“同增异减”的原则，是解答此类问题的关键，其中本题解答时易忽略函数的定义域为[﹣1，5]，而错解为C． 13．函数y=﹣x的单调递增区间为（ ） A．（﹣∞，0] B． [0，+∞） C． （0，+∞） D． （﹣∞，+∞） 考点： 函数的单调性及单调区间。 专题： 常规题型。 知分析： 由函数y=﹣x2其图象为开口向下的抛物线，并且其对称轴为y轴故其单调增区间为（﹣∞，0] 解答： 解：∵函数y=﹣x2 ∴其图象为开口向下的抛物线，并且其对称轴为y轴 ∴其单调增区间为（﹣∞，0] 故选A． 点评： 本题考查了函数的单调性及单调区间，注意常见函数的单调性，是个基础题． 2
14．函数 A． 的单调递减区间是（ ）
B． C． D． 和 考点： 函数的单调性及单调区间。 专题： 计算题。 分析： 由函数的单调性定义，本题作差 f（x1）﹣f（x2），变形得到（x1﹣x2）•，分两种情况进行讨论，不能写成可以得到函数的单调区间，要注意两个单调减区间
，
的形式 解答： 解：设0＜x1＜x2，则 f（x1）﹣f（x2）=（=（x1﹣x2）+（﹣） ）﹣（） =（x1﹣x2）• 因为0＜x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1•x2＞0， 所以当0＜x1＜x2≤时，x1•x2﹣2＜0，所以＜0 所以：f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2） 所以f（x）在（0，]上是减函数． 同理可证：f（x）在[﹣，0）上也是减函数． 故应选：D 点评： 本题考查函数的单调性以及单调区间的求法，利用定义解答求单调区间的时候，要注意x1，x2的任意性，本题中求间区间 需要分0＜x1＜x2≤和﹣≤x1＜x2＜0进行讨论． 15．已知函数f（x）= A．（﹣∞， 考点： 函数的单调性及单调区间。 专题： 计算题。 分析： 外层函数是一个递减函数，而所给的指数位置的代数式是一个二次函数，二次函数在（﹣∞，）单减，在（0＜a＜1），则f（x）的单调递增区间为（ ） B． （） C． （] D． [） ） （，+∞）单增，根据复合函数的同增异减得到当指数位置也是减函数时，原函数是一个递增函数，得到区间． 解答： 解：∵f（x）=ax，（0＜a＜1） ∴函数是一个递减函数， 而所给的指数位置的代数式是一个二次函数， 二次函数在（﹣∞，）单减，在（，+∞）单增， ∴根据复合函数的同增异减得到当指数位置也是减函数时， 原函数是一个递增函数， ∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，） 故选C． 点评： 本题考查复合函数的单调性，本题解题的关键是看出这个复合函数是由什么函数复合而成，本题是一个基础题． 16．（2012•威远县）函数y=f（x）是由方程x|x|+y|y|=1确定的函数，则函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）上是（ ） A．减函数 B． 增函数 C． 奇函数 D． 偶函数
考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明。 专题： 计算题。 分析： 先利用分类讨论的方法对x，y的取值进行讨论，化去绝对值符号，化简曲线的方程，再结合方程画出图形，由图观察即得． 22解答： 解：解：①当x≥0且y≥0时，x+y=1， 22②当x＞0且y＜0时，x﹣y=1， 22③当x＜0且y＞0时，y﹣x=1， ④当x＜0且y＜0时，无意义． 由以上讨论作图：结合图象知函数y=f（x）是减函数． 故选A． 点评： 本小题主要考查函数单调性的应用、函数单调性的判断与证明等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题． 17．（2010•广东）若函数f（x）=3+3与g（x）=3﹣3的定义域均为R，则（ ） A．f（x）与g（x）均为偶函数 B． f（x）为奇函数，g（x）为偶函数 f（x）与g（x）均为奇函数 C．D． f（x）为偶函数，g（x）为奇函数 考点： 函数奇偶性的判断。 专题： 函数思想。 分析： 首先应了解奇函数偶函数的性质，即偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）．然x﹣xx﹣x
后在判断定义域对称性后，把函数f（x）=3+3与g（x）=3﹣3代入验证．即可得到答案． 解答： 解：由偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）． 对函数f（x）=3+3有f（﹣x）=3+3满足公式f（﹣x）=f（x）所以为偶函数． ﹣x﹣xxx对函数g（x）=3﹣3有g（﹣x）=3﹣3=﹣g（x）．满足公式g（﹣x）=﹣g（x）所以为奇函数． 所以答案应选择D． 点评： 此题主要考查函数奇偶性的判断，对于偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）做到理解并记忆，以便更容易的判断奇偶性． 18．（2008•重庆）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（ ） A．f（x）为奇函数 B． f（x）为偶函数 C． f（x）+1为奇函数 D． f（x）+1为偶函数 考点： 函数奇偶性的判断。 专题： 计算题。 分析： 对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，由此得f（0）=﹣1，f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1]，所以f（x）+1为奇函数． 解答： 解：∵对任意x1，x2∈R有 f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1， ∴令x1=x2=0，得f（0）=﹣1 ∴令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1， ∴f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1]， ∴f（x）+1为奇函数． 故选C 点评： 本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答． x﹣xx﹣xx﹣x﹣xx
19．下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ） 2|x|3 y=2x A．B． C． D． y=x﹣x y=2 y=x 考点： 函数奇偶性的判断。 专题： 阅读型。 分析： 本题利用直接法解决，即根据判断函数奇偶性的一般步骤：如果定义域不关于原点对称，那么f（x）是非奇非偶函数，当定义域关于原点对称时，求出 f（﹣x）与﹣f（x）判断f（﹣x）=f（x），f（﹣x）=﹣f（x）是否成立，如果满足 f（﹣x）=﹣f（x），那么 f（x）就是奇函数．如果满足 f（﹣x）=f（x），那么 f（x）就是偶函数．如果都不满足，那么f（x）是非奇非偶函数．一一进行判定即可． 解答： 解：由题意知：A，B，C，D定义域都关于原点对称 A中满足∵y=2 |x|∴f（﹣x）=2 ∴f（﹣x）=f（x） ∴f（x）是偶函数． 2B∵y=x﹣x 22∴f（﹣x）=（﹣x）﹣（﹣x）=x+x 2﹣f（x）=﹣（x﹣x） ∴f（x）≠f（﹣x），f（﹣x）≠﹣f（x） 故不是奇函数也不是偶函数 C∵y=2x ∴f（﹣x）=﹣2x，﹣f（x）=﹣2x ∴f（﹣x）=﹣f（x） ∴f（x）是奇函数 D∵y=x 33∴f（﹣x）=（﹣x），﹣f（x）=﹣x ∴f（﹣x）=﹣f（x）， ∴f（x）是奇函数 故选B 点评： 本题考查了函数的函数奇偶性的判断，属于基础题． 20．下列函数是偶函数的是（ ） ﹣23 A．B． C． y=x y=x 考点： 函数奇偶性的判断。 分析： 根据偶函数的定义，函数的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x），可知A，函数的定义域不关于原点对称；B，D，函数满足f（﹣x）=﹣f（x）；C，函数满足f（﹣x）=f（x），故可判断． 解答： 解：根据偶函数的定义，函数的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x），可知 A，函数的定义域不关于原点对称，故函数非奇非偶 B，D，函数满足f（﹣x）=﹣f（x），故函数是奇函数 C，函数满足f（﹣x）=f（x），故函数是偶函数 故选C． 点评： 本题的考点是函数奇偶性的判断，考查偶函数的定义，解题的关键是利用偶函数的定义，函数的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x）． 21．设函数y=f（x）的图象关于原点对称，则下列等式中一定成立的是（ ） A．f（x）﹣f（﹣x）=0 B． f（x）+f（﹣x）=0 C． f（x）+f（|x|）=0 D． f（x）﹣f（|x|）=0 考点： 函数奇偶性的判断。 |x|31D． y=x ﹣
专题： 计算题。 分析： 根据函数y=f（x）的图象关于原点对称，从而函数y=f（x）为奇函数，根据奇函数的性质可知f（﹣x）=﹣f（x），从而得到结论． 解答： 解：∵函数y=f（x）的图象关于原点对称 ∴函数y=f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x） 即f（x）+f（﹣x）=0，则选项B正确； 选择A与D为偶函数的性质，故不正确； 选项C，当x=1时，f（1）+f（|1|）=0不一定成立 故选：B 点评： 本题主要考查了函数的奇偶性图象的性质，属于基础题之列． 二．填空题（共9小题） 22．（2012•湛江）函数 考点： 函数的单调性及单调区间。 专题： 计算题。 分析： 求导函数，利用导数小于0，可得函数的单调减区间． 解答： 解：求导函数可得y′=﹣＜0 单调减区间是 （﹣∞，0）和（0，+∞） ．
∴函数单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞） 故答案为：（﹣∞，0）和（0，+∞） 点评： 求函数单调区间时，易错误地在多个单调区间之间添加“∪”和“或”字；有时还会错误的将区间表示成集合或不等式． 23．函数 考点： 函数奇偶性的判断。 专题： 综合题。 分析： 先求函数的定义域，观察是否关于原点对称，再看f（﹣x）与f（x）的关系． 解答： 解：定义域为R，关于原点对称 的奇偶性是 奇函数 ．
∴= f（﹣x）+f（x）=+ ==0， ∴f（﹣x）=f（x） 则函数f（x）为奇函数．
故答案为：奇函数． 点评： 本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及化简转化的能力，属于基础题． 24．函数f（x）=cos2x+sin（ 考点： 函数奇偶性的判断。 分析： 本题为判断函数奇偶性的题目，应判断函数f（x）的定义域，再判断f（﹣x）与f（x）的关系． 解答： 解：函数f（x）的定义域为全体实数； +x）是 偶函数 （填奇偶性）．
f（x）=cos2x+sin（）=cos2x+cosx ）=cos2x+cosx f（﹣x）=cos（﹣2x）+sin（∴f（﹣x）=f（x） ∴f（x）是偶函数． 点评： 此题为用定义判断函数奇偶性的题目，其中还考查了三角函数的诱导公式．函数的奇偶性的判断是高考的常考题目． 25．若（x0，y0）是函数f（x）=sinx图象的对称中心，则函数g（x）=f（x+x0）+y0的奇偶性为 奇函数 ． 考点： 函数奇偶性的判断；奇偶函数图象的对称性。 专题： 计算题。 分析： 根据（x0，y0）是函数f（x）=sinx图象的对称中心，求出x0=kπ，y0=0，代入g（x），通过讨论k的奇偶数，判断出g（x）的奇偶性． 解答： 解：因为（x0，y0）是函数f（x）=sinx图象的对称中心， 所以x0=kπ，y0=0 所以g（x）=f（x+x0）+y0=sin（kπ+x） 当k为偶数时，g（x）=sinx为奇函数；当k为奇数时，g（x）=﹣sinx为奇函数； 总之，g（x）为奇函数， 故答案为奇函数． 点评： 本题是基础题，考查正弦函数的对称性，能够利用基本函数的性质求解函数 y=Asin（ωx+φ）+k的有关性质，是高考常考题． 26．下列命题中，错误命题的序号有 （1）、（2）、（3） ．
2
（1）“a=﹣1”是“函数f（x）=x+|x+a+1|（ x∈R） 为偶函数”的必要条件； （2）“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直平面α”的充分条件； （3）已知a，b，c为非零向量，则“a•b=a•c”是“b=c”的充要条件；
（4）若p：∃x∈R，x+2x+2≤0，则￢p：∀x∈R，x+2x+2＞0． 考点： 函数奇偶性的判断；相等向量与相反向量；空间中直线与平面之间的位置关系。 专题： 综合题。 分析： 若p⇒q，则p是q的充分条件；若p⇐q，则p是q的必要条件．由此可判断（1）、（2）、（3）的正误． 由特称命题“∃x∈M，p（x）”的否定为“∀x∈m，￢p（x）”，可判断（4）正确．则问题解决． 222解答： 解：（1）a=﹣1⇒f（x）=x+|x+a+1|=x+|x|（x∈R）⇒函数f（x）=x+|x+a+1|（x∈R）为偶函数 22
∴“a=﹣1”一定是“函数f（x）=x+|x+a+1|（ x∈R） 为偶函数”的一个充分条件，则（1）错误； （2）“直线l垂直平面α内无数条直线”，可以是“直线l垂直平面α内无数条互相平行的直线”此时不能判断“直线l垂直平面α”．∴“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直平面α”的不充分条件，则（2）错误； 2
（3）已知，，为非零向量，若•=•=，则⊥，⊥，所以∥，未必有=，所以（3）错误； （4）若p：∃x∈R，x+2x+2≤0，则￢p：∀x∈R，x+2x+2＞0．正确． 故答案为：（1）、（2）、（3）． 点评： 本题主要考查充分条件、必要条件的含义及特称命题的否定形式，同时对偶函数、线面垂直及向量知识进行了考查，考查知识点还是比较多的． 27．判断函数的奇偶性
既是奇函数又是偶函数 ； ： 是非奇非偶函数 ；
22： 是奇函数 ；
： 是非奇非偶函数 ．
考点： 函数奇偶性的判断。 专题： 计算题。 分析： 先求出函数的定义域，再看定义域是否关于原点对称，当定义域不关于原点对称的函数是非奇非偶函数，定义域关于原点对称时，看f（﹣x）与f（x）的关系，依据奇偶函数的定义得出结论． 解答： 解：第一个函数的定义域是{x|x=±3}，解析式为：f（x）=0，f（﹣x）=f（x）=﹣f（x），∴f（x）既是奇函数又是偶函数． 第二个函数的定义域是{x|﹣1≤x＜1}，定义域不关于原点对称，∴f（x）是非奇非偶函数． 第三个函数的定义域是{x|x是实数}，解析式为分段函数的形式，设x＜0，则，﹣x＞0， 22f（﹣x）=﹣x﹣x，f（x）=x+x，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数． 第四个函数的定义域是{x|x=1}，定义域不关于原点对称，故f（x）是非奇非偶函数． 故答案为 既是奇函数又是偶函数、是偶函数、是奇函数、是非奇非偶函数． 点评： 本题考查判断函数的奇偶性的方法，先看定义域是否关于原点对称，再看f（﹣x）与f（x）的关系，依据奇偶函数的定义得出结论． 28．已知函数f（x）=|x﹣2ax+b|（x∈R），给出下列四个命题： ①f（x）必是偶函数；
②当f（0）=f（2）时，f（x）的图象必关于x=1对称；
2
③若a﹣b≤0，则f（x）在区间[a，+∞]上是增函数；
2
④f（x）有最大值|a﹣b|．
其中所有真命题的序号是 ③ ． 考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义。 分析： 当a≠0时，f（x）不具有奇偶性，故①不正确；令a=0，b=﹣2，则f（x）=|x2﹣2|，此时f（0）=f（2）=2，222但f（x）=|x﹣2|的对称轴为y轴而不关于x=1对称，故②不正确；若b﹣a≥0，即f（x）的最小值b﹣a≥022时，f（x）=（x﹣a）+（b﹣a），显然f（x）在[a，+∞]上是增函数，故③正确；又f（x）无最大值，故④不正确． 解答： 解：当a≠0时，f（x）不具有奇偶性，①错误； 2令a=0，b=﹣2，则f（x）=|x﹣2|， 此时f（0）=f（2）=2， 2但f（x）=|x﹣2|的对称轴为y轴而不关于x=1对称，②错误； 2
又∵f（x）=|x﹣2ax+b|=|（x﹣a）+b﹣a|，图象的对称轴为x=a． 22根据题意a﹣b≤0，即f（x）的最小值b﹣a≥0， 22f（x）=（x﹣a）+（b﹣a），显然f（x）在[a，+∞]上是增函数， 故③正确； 又f（x）无最大值，故④不正确． 答案：③． 点评： 本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答． 29．给出下列四个结论：
①函数y=a（a＞0且a≠1）与函数y=logaa（a＞0且a≠1）的定义域相同； ②函数
是奇函数；
x
x
222③函数y=sin（﹣2x）在区间④函数y=cos|x|是周期函数；
上是减函数；
⑤对于命题p：∃x∈R，使得x+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x+x+1≥0．（其中“∃”表示“存在”，“∀”表示“任意”）． 其中错误结论的序号是 ③ ．（填写你认为错误的所有结论序号） 考点： 函数奇偶性的判断；命题的否定；函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；函数的周期性。 专题： 综合题。 xx分析： 对各个选项依次加以判断：对于①，函数y=a（a＞0且a≠1）的定义域与函数y=logaa（a＞0且a≠1）的定22
义域都是R，命题正确；对于②，令函数，可以证明得=﹣f（x），故原函数是奇函数；对于③，函数y=sin（﹣2x）=﹣sin（2x）在区间上是增函数，命题错误；对于④，由于余弦函数是偶函数，故函数y=cos|x|=cosx，函数是周期函数最小正同期为2π，命题正确；对于⑤，这是一个含有量词的命题，否定时要先改下量词，再否定结论，由此可得命题⑤正确．说明只有③是错误的． 解答： 解：对于①，函数y=a（a＞0且a≠1）的定义域为R， x函数y=logaa（a＞0且a≠1）的定义域也是R， 故两个函数定义域相同，命题正确； 对于②，令函数， x则， 而=﹣f（x），故原函数是奇函数； 对于③，函数y=sin（﹣2x）=﹣sin（2x）在 区间上是增函数，命题错误； 对于④，由于余弦函数是偶函数，故函数y=cos|x|=cosx， 函数是周期函数最小正同期为2π，命题正确；
对于⑤，对于命题p：∃x∈R，使得x+x+1＜0， 这是一个含有量词的命题，否定时要先改下量词，再否定结论 2则¬p：∀x∈R，均有x+x+1≥0，命题⑤正确． 故答案为：③ 点评： 本题考查了命题真假的判断，其中包含了函数的奇偶性与单调性，含有量词的命题等等，知识点较多，属于中档题． 30．（2010•重庆）已知函数f（x）满足：=
．
，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f（2010）
2 考点： 抽象函数及其应用；函数的周期性。 专题： 计算题。 分析： 由于题目问的是f（2010），项数较大，故马上判断函数势必是周期函数，所以集中精力找周期即可；周期的寻找方法可以是不完全归纳推理出，也可以是演绎推理得出． 解答： 解：取x=1，y=0得 法一：根据已知知 取x=1，y=1得f（2）=﹣（） 取x=2，y=1得f（3）=﹣（） 取x=2，y=2得f（4）=﹣（） 取x=3，y=2得f（5）=﹣（取x=3，y=3得f（6）=（） 猜想得周期为6 法二：取x=1，y=0得 ） 取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n﹣1）， 同理f（n+1）=f（n+2）+f（n） 联立得f（n+2）=﹣f（n﹣1） 所以f（n）=﹣f（n+3）=f（n+6） 所以函数是周期函数，周期T=6， 故f（2010）=f（0）= 点评： 准确找出周期是此类问题（项数很大）的关键，分别可以用归纳法和演绎法得出周期，解题时根据自己熟悉的方法得出即可．
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