导数及其应用文科单元测试题

（满分：150分 时间：120分钟）

一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数f(x)2x的导数是（ ）

2(A) f(x)4x (B) f(x)4x (C) f(x)8x (D) f(x)16x 2．函数f(x)xex22的一个单调递增区间是（ ）

(A)1,0 (B) 2,8 (C) 1,2 (D) 0,2

3．已知对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x0时，

f(x)0，g(x)0，则x0时（ ）

A．f(x)0，g(x)0 C．f(x)0，g(x)0

3

B．f(x)0，g(x)0 D．f(x)0，g(x)0

4．若函数f(x)x3bx3b在0,1内有极小值，则（ ） （A） 0b1 （B） b1 （C） b0 （D） b41 25．若曲线yx的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为（ ）

A．4xy30 B．x4y50 C．4xy30 D．x4y30 6．曲线ye在点(2，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

x292Ａ．e

4

Ｂ．2e

2Ｃ．e

2e2Ｄ．

27．设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

8．已知二次函数f(x)axbxc的导数为f'(x)，f'(0)0，对于任意实数x都有

2f(x)0，则

f(1)的最小值为（ ） f'(0)A．3 B．

53 C．2 D． 229．设p:f(x)elnx2xmx1在(0，)内单调递增，q:m≥5，则p是q的（ ）

Ａ．充分不必要条件 Ｃ．充分必要条件

Ｂ．必要不充分条件 Ｄ．既不充分也不必要条件

x210． 函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） （A）0f(2)f(3)f(3)f(2) y （B） 0f(3)f(3)f(2)f(2) （C）0f(3)f(2)f(3)f(2) （D）0f(3)f(2)f(2)f(3) O 1 2 3 4 x

二．填空题（本大题共4小题，共20分）

11．函数f(x)xlnx(x0)的单调递增区间是＿＿＿＿．

12．已知函数f(x)x12x8在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则

3////////Mm＿＿．

13．点P在曲线yxx32上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值3范围是 14．已知函数y13xx2ax5 3 (1)若函数在,总是单调函数，则a的取值范围是 . (2)若函数在[1,)上总是单调函数，则a的取值范围 .

（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a的取值范围是 .

三．解答题（本大题共6小题，共12+12+14+14+14+14=80分）

15．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大最大体积是多少

16．设函数f(x)2x3ax3bx8c在x1及x2时取得极值．

（1）求a、b的值；

（2）若对于任意的x[0，3]，都有f(x)c成立，求c的取值范围．

17．设函数f(x)x33x2分别在x1、x2处取得极小值、极大值.xoy平面上点A、B的

232uuuruuur坐标分别为、，该平面上动点P满足PA•PB4,点Q是点P关于直（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）线y2(x4)的对称点，.求 (Ⅰ)求点A、B的坐标； (Ⅱ)求动点Q的轨迹方程.

3218. 已知函数f(x)2x3x3.

（1）求曲线yf(x)在点x2处的切线方程；

（2）若关于x的方程fxm0有三个不同的实根，求实数m的取值范围.

ax3(a1)x24x1aR 19．已知f(x)3（1）当a1时，求函数的单调区间。 （2）当aR时，讨论函数的单调增区间。

（3）是否存在负实数a，使x1,0，函数有最小值－3

a220．已知函数fxx，gxxlnx，其中a0．

x（1）若x1是函数hxfxgx的极值点，求实数a的值；

（2）若对任意的x1,x21，e（e为自然对数的底数）都有fx1≥gx2成立，求

实数a的取值范围．

【文科测试解答】 一、选择题

1．f(x)2x42x2,f(x)242xf(x)82x;

22．f(x)xexxx1exxex， 1xex.f(x)0,x1选(A) 22xxeee3.(B)数形结合

22由f(x)3x3b3xb,依题意，首先要求b>0, 所以f(x)3xbxb

由单调性分析，xb有极小值，由xb0,1得.

45．解：与直线x4y80垂直的直线l为4xym0，即yx在某一点的导数为4，而y4x，所以yx在(1，1)处导数为4，此点的切线为4xy30，故选A 6．（D） 7．（D） 8．（C） 9．（B）

10．B设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A处的切线为AT 点B处的切线为BQ，

34T

f(3)f(2)f(3)f(2)kAB y B 32f(3)kBQ,f(2)kAT, A 如图所示，切线BQ的倾斜角小于

直线AB的倾斜角小于 Q 切线AT的倾斜角 kBQkABkAT O 1 2 3 4 x

所以选B 11．,

1e12．32

3 13．0,,2414. (1)a1;(2)a3;(3)a3.

三、解答题

15. 解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为

h1812x4.53x(m)430＜x＜.

2故长方体的体积为

V(x)2x2(4.53x)9x26x3(m3)3(0＜x＜).

2从而V(x)18x18x2(4.53x)18x(1x).

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.

当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜

2时，V′（x）＜0， 3故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。

从而最大体积V＝V′（x）＝9×1-6×1（m），此时长方体的长为2 m，高为 m. 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为 m时，体积最大，最大体积为3 m。 3

2

3

3

16．解：（1）f(x)6x26ax3b，

因为函数f(x)在x1及x2取得极值，则有f(1)0，f(2)0．

即66a3b0，2412a3b0．

解得a3，b4．

（2）由（Ⅰ）可知，f(x)2x39x212x8c，

f(x)6x218x126(x1)(x2)．

当x(01)，时，f(x)0； 当x(1，2)时，f(x)0； 当x(2，3)时，f(x)0．

所以，当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c，又f(0)8c，f(3)98c． 则当x0，3时，f(x)的最大值为f(3)98c． 因为对于任意的x0，3，有f(x)c2恒成立，

所以 98cc2， 解得 c1或c9，

因此c的取值范围为(，1)U(9，)． 17．解: (1)令f(x)(x33x2)3x230解得x1或x1

当x1时,f(x)0, 当1x1时,f(x)0 ,当x1时,f(x)0

所以,函数在x1处取得极小值,在x1取得极大值,x11,x21,f(1)0,f(1)4

故

所以, 点A、B的坐标为A(1,0),B(1,4).

(2) 设p(m,n)，Q(x,y)，PA•PB1m,n•1m,4nm21n24n4

yn1yn1xm24 所以又PQ的中点在y2(x4)上，所以kPQ，，

22xm22消去m,n得x8y29.

222另法：点P的轨迹方程为mn29,其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆；

2设点（0，2）关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由

b21b2a024得a=8,b=-2 ，2a022

218．解（1）f(x)6x6x,f(2)12,f(2)7, ………………………2分

∴曲线yf(x)在x2处的切线方程为y712(x2)，即12xy170；……4分 （2）记g(x)2x3xm3,g(x)6x6x6x(x1)

令g(x)0,x0或1. …………………………………………………………6分 则x,g(x),g(x)的变化情况如下表

322x g(x) g(x) (,0) 0  0 (0,1)  1 0 (1,)  极大 极小 Z ] Z 当x0,g(x)有极大值m3;x1,g(x)有极小值m2. ………………………10分

g(0)0由g(x)的简图知，当且仅当,

g(1)0m30即,3m2时，

m20函数g(x)有三个不同零点，过点A可作三条不同切线.

所以若过点A可作曲线yf(x)的三条不同切线，m的范围是(3,2).…………14分

19．（1）x,2,或x2,,f(x)递减; x2,2,f(x)递增; （2）1、当a0, x,2,2f(x)递增;2、当a0,x,2,f(x)递增;3、当0a1,x,2,或

a2f(x)递增;当a1,x,,或x2,,f(x)a2x,,f(x)递增; 当a1,x,,a递增;（3）因a0,由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”：

321、当21,a2, x1,0,2,f(x)递增，f(x)minf(1)3，解得a2, 4aa2、当21,a2,由单调性知：f(x)minf()3，化简得：3a23a10，解得

aaa233212,不合要求；综上，a为所求。

46

a2lnx，其定义域为0，20．（1）解法1：∵hx2x ， xa21∴hx22．

xx2∵x1是函数hx的极值点，∴h10，即3a0．

∵a0，∴a经检验当a∴a3．

3时，x1是函数hx的极值点，

3．

a2lnx，其定义域为0，解法2：∵hx2x， xa21∴hx22．

xxa2122令hx0，即220，整理，得2xxa0．

xx2∵18a0，

118a2118a2∴hx0的两个实根x1（舍去），x2，

44当x变化时，hx，hx的变化情况如下表：

x 0,x2 — x2 0 极小值 x2, ＋ hx hx ] Z 118a21，即a23， 依题意，

4∵a0，∴a3． （2）解：对任意的x1,x21，e都有fx1≥gx2成立等价于对任意的

x1,x21，e都有fxmin≥gxmax．

1当x［1，e］时，gx10．

x∴函数gxxlnx在1，e上是增函数．

∴gxmaxgee1．

a2xaxa∵fx12，且x1,e，a0． 2xxxaxa0，

①当0a1且x［1，e］时，fxx2a2∴函数fxx在［1，e］上是增函数，

x2∴. fxf11amin由1a≥e1，得a≥e，

又0a1，∴a不合题意．

②当1≤a≤e时， 若1≤x＜a，则fx2x2xaxa0． 若a＜x≤e，则fxx2a2∴函数fxx在1,a上是减函数，在a，e上是增函数．

x∴fxminfa2a.

由2a≥e1，得a≥又1≤a≤e，∴

xaxa0，

e1， 2e1≤a≤e． 2③当ae且x［1，e］时，fxxaxa0x2，

a2∴函数fxx在1，e上是减函数．

xa2∴fxminfeee.

a2

由e≥e1，得a≥e，

e

又ae，∴ae．

e1,． 综上所述，a的取值范围为2