定积分的重要公式及性质(例题 解析)

定积分是一个数，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限；这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

定积分的定义：

设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}f()x。iii1n（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为baf(x)dx，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。 [1] 其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

重要公式及性质：

牛顿——莱布尼兹公式

baf(x)dxF(x)baF(b)F(a)

2(a为下限，b为下限） 例： 特殊公式：

11221223xdxx(21) 212220cosxdx2sinnxdx0nn1n342•••1（n为奇数） nn253n1n331•••（n为偶数) nn2422

20cosxdx2sinnxdx0n例： 132cosxsinxdx31122••••1 223322920

上下限为相反数

aaaf(x)dx0 f(x) 为偶函数

f(x)dx2f(x)dx f(x) 为奇函数

0a-a奇函数：y=x , x3 , sinx , tanx 偶函数：y= x2, cosx , lxl 例： （xcosxx)dx2xdx0 -110142dx011