对数的公式都有哪些
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发布时间：2022-04-22 00:37
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热心网友
时间：2022-05-29 13:04
以常用对数为例，公式有：
lg(ab)=lga+lgb
lg(a/b)=lga-lgb
lg(a^n)=nlga
10^(lga)=a
热心网友
时间：2022-05-29 13:04
性质
①loga(1)=0； ②loga(a)=1； ③负数与零无对数.
运算法则
①loga(MN)=logaM+logaN；
②loga(M/N)=logaM－logaN；
③对logaM中M的n次方有=nlogaM；
如果a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数的底。
定义： 若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b)
基本性质：1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
5、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)
推导： 1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
2、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] ,由指数的性质a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} ,又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
3、与（2）类似处理 M/N=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)], 由指数的性质a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} ,又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)
4、与（2）类似处理 M^n=M^n
由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n ,由指数的性质 a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n},又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
基本性质4推广 log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下： 由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
换底公式的推导： 设e^x=b^m,e^y=a^n 则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y x=ln(b^m),y=ln(a^n) 得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
由基本性质4可得 log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]} ,再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]
换底公式
设x=a^m，a=b^n，则x=(b^n)^m=b^(mn)……①对①取以a为底的对数，有：log(a, x)=m……②对①取以b为底的对数，有：log(b, x)=mn……③③/②，得：log(b, x)/log(a, x)=n=log(b, a)
∴log(a, x)=log(b, x)/log(b, a)注：log(a, x)表示以a为底x的对数。
换底公式拓展:以e为底数和以a为底数的公式代换：logae=1/（lna）
推导公式
log(1/a)(1/b)=loga(b) loga(b)*logb(a)=1
求导数
(logax)'=1/xlna
特殊的即a=e时有 (logex)'=(lnx)'=1/x
