发布网友 发布时间:2024-10-21 16:06
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热心网友 时间:2024-10-21 16:35
函数 f(x)=sin(x)/x 的单调性
1)
x=0 是函数 f(x)=sin(x)/x 的间断点,但是此函数在该点存在极限,是两个重要极限之一。
(x->0) lim sin(x)/x = 1
2)
f(x)=sin(x)/x 是偶函数,其图像关于 y 轴对称。因此,只需要讨论 x 正半轴的单调性,按照对称性即可得知 x 负半轴的单调性。
在 x 正半轴,sin(x)/x 的单调性与正弦函数 sin(x) 的单调性基本相同,除了区间(0,π/2)以外:
下面探讨函数 y=sin(x)/x 在区间(0,π/2)的单调性。
证明:在半径为 1 的圆中,圆心角为x(弧度),圆心角所对的弧长也为x.
当0<x<π/2时,以x为弧度的扇形面积大于同弧度内所含三角形,但小于同弧度延长线并与x轴交点为切点的切线相交所围成的直角三角形面积,即0.5*1*sin(x) <0.5*1*1*x < 0.5*1*tan(x)
∴sin(x)<x<tan(x)
∴xcos(x)-sin(x)<0
f(x)=sin(x)/x
f’(x)=[xcos(x)-sin(x)]/x²<0
∴f(x)=sin(x)/x 在 0<x<π/2 单调递减
图像如下所示:
当 x>π/2 时,函数 sin(x)/x 与正弦函数 sin(x) 保持完全一样的单调性:
在(π/2+2kπ,3π/2+2kπ)递减,在(3π/2+2kπ,5π/2+2kπ)递增(k∈Z+)
3)
综上所述,函数 sin(x)/x 的单调性结论如下:
在 x>0 时,递减区间是(0,3π/2)∪(π/2+2kπ,3π/2+2kπ),递增区间是(3π/2+2kπ,5π/2+2kπ),k∈Z+
在 x<0 时,递增区间是(-3π/2,0)∪(-3π/2-2kπ,-π/2-2kπ),递减区间是(-5π/2-2kπ,-3π/2-2kπ),k∈Z+
4)
函数 f(x)=sin(x)/x 的图像如下图红色曲线所示:
f(x)=sin(x)/x 在实数范围内除点(0,1)外处处连续。通俗地说,其曲线在此点间断,或有一个洞。它不是周期函数,函数值在 x 轴上下不断振荡,振幅随着 x 趋于 -∞ 和 +∞ 而衰减,无限靠近 x 轴。在 x=0 处,极限为零。